Corrigé feuille 3 : Lois discr`etes - ENS de Cachan - Antenne de ...

Université Rennes 1 Année 2005/2006ENS Cachan Antenne de BretagneMagistère MITCorrigé feuille 3 : Lois discrètesExercice 1 : La loi géométrique1. Pour tout n 1, P[X = n] = (1 − p) n−1 p.2. Comme X est à valeurs dans N ∗ , la fonction de répartition de X est constante surles intervalles [n, n + 1[. Elle est donc entièrement déterminée par les valeurs P[X n],pour n 1. On a :F X (n) = P[X n] =n∑n∑P[X = i] = p (1 − p) i−1 = 1 − (1 − p) n .i=1i=13. Propriété d’absence de mémoire. Soit k, n ∈ N ∗ .Par définition, P[Y = k|X > n] = . Mais, par construction de Y , on aP[{Y =k}∩{X>n}]P[X>n]{Y = k} ∩ {X > n} = {X = n + k}. Donc P[{Y = k} ∩ {X > n}] = (1 − p) n+k−1 p.D’autre part, P[X > n] = 1 − F X (n) = (1 − p) n . Aussi,P[Y = k|X > n] = (1 − p) k−1 p = P[X = k].La loi géométrique est la seule loi discrète ayant cette propriété.4. Déterminons la fonction génératrice de X.g X (s) = ∑ n1P[X = n]s n = ∑ n1(1 − p) n−1 ps n = ps ∑ n1[(1 − p)s] n−1 =ps1 − s(1 − p) .On trouve ensuite l’espérance et la variance de X à l’aide des dérivées de g X en 1 viales expressions suivantes :E[X] = g ′ X(1) et V[X] = g ′′ X(1) + g ′ X(1) − g ′ X(1) 2 .Après calculs, on a E[X] = 1 pet V[X] =1−pp 2 .Exercice 2 : La loi binomiale négative1. Pour tout n r, P[X = n] = Cn−1 r−1 pr (1 − p) n−r puisqu’on a r − 1 succès parmi lesn − 1 premières épreuves et un succès à la dernière épreuve.2. Déterminons la fonction génératrice de X. Soit s ∈ [−1, 1].g X (s) =+∞∑n=rs n C r−1n−1 pr (1 − p) n−r =+∞∑ (ps)r(r − 1)!j=0(j + r − 1)![(s(1 − p)] j .j!1

Y suit aussi la loi de Bernoulli de paramètre 1/2. On remarque que les distributionsmarginales ne dépendent pas de a. Ainsi, à partir des distributions de X et Y , on nepeut pas trouver la distribution de (X, Y ).Exercice 6 :Soit X i les variables associées aux appels. Les X i sont des variables de Bernoulli deparamètre p, indépendantes (entre elles) et indépendantes de la variable N qui suit laloi de Poisson de paramètre λ. On note Y la variable égale au nombre de livraisonseffectuées à la bonne adresse en une journée. On cherche à déterminer la loi de Y . Yest à valeurs dans N donc il suffit de déterminer les P[Y = k] pour k ∈ N.[ N]∑P[Y = k] = P X i = k==i=1+∞∑n=1+∞∑n=1[∑ NP X i = k ∣ ] N = n P[N = n] car N est à valeurs dans Ni=1[ n∑P X i = ki=1]P[N = n] par indépendance de N avec les X i .n∑Or X i est la somme de n variables de Bernoulli de paramètre p indépendantes, donci=1[ n∑]elle suit la loi binômiale de paramètres n et p. Aussi, P X i = k = Cnp k k (1 − p) n−ki=1si n k, 0 sinon. Donc,Après simplifications,P[Y = k] =+∞∑n=kCnp k k (1 − p) n−k −λ λnen! .−λp (pλ)kP[Y = k] = e .k!Y suit la loi de Poisson de paramètre λp.Exercice 7 :On veut tout d’abord calculer E[S N ] = ∑ k kP[S N = k]. On utilise la même méthodeque dans l’exercice précédent : on conditionne suivant les valeurs de N et on utilisel’indépendance de N avec les X i . Après calculs, on trouve :E[S N ] = E[X 1 ]E[N].Ici, on utilise le fait que les X i sont identiquement distribuées mais pas qu’elles sontindépendantes.Pour trouver la variance, on détermine E[S 2 N ] puis on retranche E[S N] 2 . La méthode estla même que précédemment. Dans ce calcul, on utilise le fait que les variables X i sontindépendantes en plus du fait qu’elles sont identiquement distribuées et indépendantesde N. Après calculs, on trouve :V[S N ] = V[X 1 ]E[N] + E[X 1 ] 2 V[N].3

Exercice 8 :Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètresrespectifs λ et µ.1. Déterminons la loi de X + Y .- par calcul direct∀k ∈ N, P[X + Y = k] ===k∑P[X + Y = k | Y = n]P[Y = n]n=0k∑P[X + Y = k]P[Y = n] par indépendancen=0k∑n=0e −λλk−n(k − n)!−(λ+µ) (λ + µ)k= e .k!e−µµnn!X + Y suit une loi de Poisson de paramètre λ + µ.- à l’aide des fonctions génératricesComme X et Y sont indépendantes, g X+Y = g X g Y . On en déduit immédiatementque g X+Y (s) = e −(λ+µ)(1−s) . Comme la fonction génératrice caractérise la loi, on peutconclure que X + Y suit une loi de Poisson de paramètre λ + µ.2. En utilisant la formule de Bayes puis l’indépendance de X et Y , on aP[X = k | X + Y = n] ===P[X + Y = n | X = k]P[X = k]P[X + Y = n]P[Y = n − k]P[X = k]P[X + Y = n]⎧⎨ 0 si k > n,⎩e−µ µn−k λke−λ(n−k)! k!e−(µ+λ) (µ+λ)nn!= C k n( ) n−k ( k µλλ+µ λ+µ)sinon.On reconnaît la loi binômiale de paramètres n etλλ+µ .4