M1 Mathématiques de l'université Rennes 1 TD de Statistique

M1 Mathématiques de l’université Rennes 1TD de StatistiqueFeuille 1Exercice 11. On tire avec remise des boules dans une urne contenant N boules dont M sont blanches, Nétant connu et M inconnu. On arrête le tirage dès que r boules blanches ont été tirées. Proposerun modèle statistique adapté sur le nombre de tirages effectués.2. On tire sans remise n boules dans une urne contenant N boules dont M sont blanches, N étantconnu et M inconnu. Proposer un modèle statistique adapté sur le nombre de boules blanchestirées.Exercice 2 Un avion se déplace de A vers B. Il est censé suivre une trajectoire théoriqueconnue des contrôleurs aériens. Cependant, la trajectoire réelle de l’avion peut s’écarter desa trajectoire théorique. On note x 1 ,··· ,x n les écarts de trajectoire aux instants 1,··· ,n. Poursimplifier, on suppose que l’avion évolue dans un espace de dimension 1. On modélise l’observation(x 1 ,···x n ) comme étant une réalisation d’une v.a. (X 1 ,··· ,X n ) définie par la relation derécurrence suivante : {εk si k = 1;X k =θX k−1 + ε k si k ∈ {2,··· ,n},où ε 1 ,··· ,ε n est une suite de v.a.i.i.d. de loi commune N(0,σ 2 ), et θ ∈ R, σ 2 ≠ 0.1. Commenter cette modélisation. En particulier, que représente le paramètre θ ? Quelles valeursde θ sont associées à un pilote expérimenté ? non expérimenté ? à un pilote qui ne veut pascorriger ses erreurs de trajectoire ? Pourquoi est-il raisonable de supposer que θ ∈]0,1[ ?2. Construire le modèle statistique associé à cette expérience aléatoire.Exercice 3 On considère le modèle statistique de Kotz (R n ,{P θ } θ∈R ), tel que pour chaqueθ ∈ R, P θ admet la densité f θ (par rapport à la mesure de Lebesgue sur R n ) définie par :1f θ (x) =n(2π) n/2 ‖x − θe‖2 exp(− 1 )2 ‖x − θe‖2 ,où e désigne le vecteur de R n : e = (1···1) T et ‖.‖ est la norme euclidienne.1. Montrer que les lois marginales de P θ sont identiques.2. Montrer qu’on ne peut pas écrire P θ sous une forme du type Q ⊗nθ .Exercice 4 Soit (R,{P θ } θ∈R ) un modèle statistique à paramètre de position, i.e. pour chaqueθ ∈ R, P θ est l’image de P 0 par la translation x ↦→ x + θ.1

1. Pour chaque θ ∈ R, on note F θ la fonction de répartition de la loi P θ . Montrer que pourchaque x ∈ R, F θ (x) = F 0 (x − θ).2. On suppose que pour chaque θ ∈ R, P θ possède une densité f θ par rapport à la mesure deLebesgue sur R. Montrer que f 0 (. − θ) est une version de f θ .Exercice 5 On considère une v.a. X définie par X = ε +Y (1 − ε), où α ∈ [0,1], ε ∼ B(α) etY ∼ N(0,1) sont 2 v.a. indépendantes.1. Calculer la loi de X.2. On considère une expérience aléatoire dans laquelle on observe n réalisations indépendantesde la loi de X. Préciser le modèle statistique. Donner une mesure dominante du modèle et lafamille des densités associées.Exercice 6 Soit (R n ,{P θ } θ∈Θ ) un modèle statistique.1. On suppose que le modèle est dominé par µ.a. Montrer qu’il existe une suite d’événements (B i ) i disjoints et de mesure finie non nulletelle que R n = ∪ i B i .b. Soit (a i ) i une suite de réels positifs telle que ∑ i a i = 1. On note ν i la mesure de densité1 Bi /µ(B i ) par rapport à µ. Montrer que la mesure ∑ i a i ν i est une probabilité qui domine lemodèle (R n ,{P θ } θ∈Θ ).2. On suppose que le modèle est dominé par µ, et pour chaque θ ∈ Θ, on note f θ la densitéde P θ par rapport à µ. Montrer que pour chaque θ ∈ Θ, f θ > 0 P θ -p.s. Donner un exemple demodèle où f θ n’est pas strictement positive µ-p.p.3. On dit que le modèle est homogène si, pour chaque (θ,θ ′ ) ∈ Θ 2 , P θ ≪ Pθ ′ . Montrer quecette propriété équivaut à l’existence d’une mesure dominante µ et, pour chaque θ ∈ Θ, d’unedensité f θ telle que f θ > 0 µ-p.p.Exercice 7 Un circuit électrique est composé de 2 type de diodes A et B montées en série.Les durées de vie des diodes suivent des loi E (λ 1 ) et E (λ 2 ).1. Quelle est la loi suivie par la durée de vie du circuit ?1. On a n circuits indépendants de ce type. Pour chacun d’entre eux, on dispose de sa duréede vie. Quel est le modèle statistique associé à cette expérience aléatoire ? Exhiber une mesuredominante.2. On a n circuits indépendants de ce type. Pour chacun d’entre eux, on dispose non seulementde sa durée de vie, mais aussi du type de diode (A ou B) qui a défailli. Quel est le modèlestatistique associé à cette expérience aléatoire ? Exhiber une mesure dominante.2