M1 Mathématiques de l'université Rennes 1 TD de Statistique

1. Pour chaque θ ∈ R, on note F θ la fonction de répartition de la loi P θ . Montrer que pourchaque x ∈ R, F θ (x) = F 0 (x − θ).2. On suppose que pour chaque θ ∈ R, P θ possède une densité f θ par rapport à la mesure deLebesgue sur R. Montrer que f 0 (. − θ) est une version de f θ .Exercice 5 On considère une v.a. X définie par X = ε +Y (1 − ε), où α ∈ [0,1], ε ∼ B(α) etY ∼ N(0,1) sont 2 v.a. indépendantes.1. Calculer la loi de X.2. On considère une expérience aléatoire dans laquelle on observe n réalisations indépendantesde la loi de X. Préciser le modèle statistique. Donner une mesure dominante du modèle et lafamille des densités associées.Exercice 6 Soit (R n ,{P θ } θ∈Θ ) un modèle statistique.1. On suppose que le modèle est dominé par µ.a. Montrer qu’il existe une suite d’événements (B i ) i disjoints et de mesure finie non nulletelle que R n = ∪ i B i .b. Soit (a i ) i une suite de réels positifs telle que ∑ i a i = 1. On note ν i la mesure de densité1 Bi /µ(B i ) par rapport à µ. Montrer que la mesure ∑ i a i ν i est une probabilité qui domine lemodèle (R n ,{P θ } θ∈Θ ).2. On suppose que le modèle est dominé par µ, et pour chaque θ ∈ Θ, on note f θ la densitéde P θ par rapport à µ. Montrer que pour chaque θ ∈ Θ, f θ > 0 P θ -p.s. Donner un exemple demodèle où f θ n’est pas strictement positive µ-p.p.3. On dit que le modèle est homogène si, pour chaque (θ,θ ′ ) ∈ Θ 2 , P θ ≪ Pθ ′ . Montrer quecette propriété équivaut à l’existence d’une mesure dominante µ et, pour chaque θ ∈ Θ, d’unedensité f θ telle que f θ > 0 µ-p.p.Exercice 7 Un circuit électrique est composé de 2 type de diodes A et B montées en série.Les durées de vie des diodes suivent des loi E (λ 1 ) et E (λ 2 ).1. Quelle est la loi suivie par la durée de vie du circuit ?1. On a n circuits indépendants de ce type. Pour chacun d’entre eux, on dispose de sa duréede vie. Quel est le modèle statistique associé à cette expérience aléatoire ? Exhiber une mesuredominante.2. On a n circuits indépendants de ce type. Pour chacun d’entre eux, on dispose non seulementde sa durée de vie, mais aussi du type de diode (A ou B) qui a défailli. Quel est le modèlestatistique associé à cette expérience aléatoire ? Exhiber une mesure dominante.2