THEOREMES D'ARRETS POUR LES MARTINGALES - ENS de ...

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3. TEMPS D’ARRETPour une filtration (F n ) n , on notera F ∞ = σ(∪ n F n ).Définition 3.1 Soit (F n ) n une filtration. Une v.a. T à valeurs dans N ∪ {∞} est un (F n ) n -temps d’arrêt(t.a.) si ∀n, {T = n} ∈ F n ou bien, de façon équivalente, si ∀n, {T ≤ n} ∈ F n .Noter que, alors, {T = ∞} ∈ F ∞ .Exemples 3.1• Une v.a. entière et p.s. constante est un t.a. pour toute filtration ;• INSTANT DE 1ÈRE ENTRÉE DANS UN BORÉLIEN. Soit (X n ) n un processus (F n ) n -adapté et B unborélien de R. Avec la convention inf /0 = ∞, la v.a. T = inf{n : X n ∈ B} est un (F n ) n -t.a.• Si k ∈ N, en adoptant la convention sup /0 = 0, S = sup{n ≤ k : X n ∈ B} n’est en général pas un t.a.Propriétés 3.1 Soient S,T deux (F n ) n -t.a. Alors S ∨ T , S ∧ T et S + T sont des (F n ) n -t.a.Définition-Proposition 3.2 Soit T un (F n ) n -t.a. On noteF T = { A ∈ F ∞ : A ∩ {T = n} ∈ F n , ∀n } = { A ∈ F ∞ : A ∩ {T ≤ n} ∈ F n , ∀n } .La classe d’événements F T est une tribu, appelée tribu des événements antérieurs à T .Noter que σ(T ) ⊂ F T , l’égalité étant fausse en général. Il faut comprendre cette tribu de la manière suivante: si (F n ) n≥0 est la filtration naturelle du processus (X n ) n≥0 et T est un t.a. relatif à cette filtration, l’informationcontenue dans F T comprend, d’une part, la valeur de T et d’autre part, les valeurs de X 0 ,··· ,X T .Propriétés 3.2 Soient S,T deux (F n ) n -t.a. Alors, F S∧T = F S ∩ F T et en particulier, si S ≤ T , F S ⊂ F T .Propriété 3.3 Soit (X n ) n un processus (F n ) n -adapté et T un (F n ) n -t.a. p.s. fini. On note X T l’applicationdéfinie pour chaque ω ∈ Ω par X T (ω) = X T (ω) (ω). Alors X T est une v.a.r. F T -mesurable.Définition 3.3 Soit (X n ) n un processus (F n ) n -adapté et T un (F n ) n -t.a. On appelle processus arrêté àl’instant T le processus X T = (X T n ) n défini pour chaque n par X T n = X n∧T .Il faut remarquer ici que pour chaque n, X T n est F n∧T -mesurable et donc F n -mesurable.4. THEOREMES D’ARRET POUR LES MARTINGALESThéorème 4.1 [THÉORÈME D’ARRÊT 1] Soit (X n ) n une (F n ) n -sous-martingale et S,T deux (F n ) n -t.a.bornés tels que S ≤ T . Alors, X S ,X T ∈ L 1 et de plus, E[X T |F S ] ≥ X S p.s.Exercice 4.1 Soit S = (S n ) n≥0 , la marche aléatoire simple symétrique issue de 0 et définie sur les entiersrelatifs, et T l’instant de 1ère entrée dans l’état 1. En utilisant le théorème ci-dessus, montrer que T < ∞p.s.Dans cet exemple, on a donc 1 = ES T ≠ ES 0 = 0 : ainsi, dans le théorème précédent, l’hypothèse debornitude des t.a. joue un rôle essentiel. Lorsque ce n’est pas le cas, il faut pouvoir préciser le comportementasymptotique de la martingale.2
Pour un processus (X n ) n qui converge, on note X ∞ sa limite et on convient que X T = X ∞ sur l’événement{T = ∞}.Théorème 4.2 [THÉORÈME D’ARRÊT 2] Soit (X n ) n une (F n ) n -sous-martingale, et S,T deux (F n ) n -t.a.(finis ou non) tels que S ≤ T p.s. Si (X n ) n est EI, alors X S ,X T ∈ L 1 et E[X T |F S ] ≥ X S p.s.Une conséquence de ce théorème est que si (X n ) n est une (F n ) n -martingale EI, {X T , T un (F n ) n -t.a.} estune famille EI.Exercice 4.2 [RUINE DU JOUEUR] Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Si il fait "pile"(resp. "face"), il gagne 1$ (resp. perd 1$). Il s’arrête de jouer lorsque son gain vaut 0 ou m ≥ 1. Sa fortuneavant de commencer le jeu est 0 ≤ k ≤ m. Montrer que le jeu finira par s’arrêter, et calculer la loi du gainlorsque la partie est terminée.5. DECOMPOSITION DE DOOBDéfinition 5.1 Soit (X n ) n≥0 un processus stochastique et (F n ) n≥0 une filtration. On dit que (X n ) n≥0 est(F n ) n≥0 -prévisible si, pour tout n ≥ 0, X n est F n−1 -mesurable (avec la convention F −1 = {/0,Ω}).En clair, le processus (X n ) n≥0 est (F n ) n≥0 -prévisible si, à l’instant n, l’information disponible F n permetde connaître la valeur prise par X n+1 : on peut donc "prédire" la valeur future.Théorème 5.1 [DÉCOMPOSITION DE DOOB] Soit (X n ) n≥0 une (F n ) n≥0 -sous-martingale. Il existe unedécomposition unique de (X n ) n≥0 sous la forme X n = X 0 + M n + A n p.s. pour tout n, avec :• (M n ) n≥0 une (F n ) n≥0 -martingale telle que M 0 = 0 p.s. ;• (A n ) n≥0 est prévisible, croissant, et A 0 = 0 p.s..Remarque 5.1 Le processus (A n ) n se calcule par récurrence, en utilisant la relationA n+1 − A n = E[X n+1 |F n ] − X n .Le théorème 5.1 est souvent utilisé sous la forme suivante : si Y = (Y n ) n≥0 est une martingale de carréintégrable, (Y 2 n ) n≥0 est une sous-martingale. Le processus prévisible et croissant (A n ) n≥0 intervenant dansla décomposition de Doob de (Y 2 n ) n≥0 est appelé crochet de la martingale Y, et est noté 〈Y〉 n . En particulier,si Y 0 = 0, on a la relation EY 2 T = E〈Y〉 T , pour tout t.a. borné T .Exercice 5.1 Soient ξ 1 ,ξ 2 ,··· des v.a.r.i.i.d. dont la loi est de carré intégrable, et M = (M n ) n≥0 le processusdéfini par M 0 = 0 et M n = ξ 1 + ··· + ξ n pour n ≥ 1.a. Montrer que si ξ est centrée, alors 〈M〉 n = nEξ 2 .b. Dans le contexte de l’exercice 4.1, en déduire que T /∈ L 1 .c. Soit S un t.a. pour M, avec ES < ∞. Montrer l’identité de Wald : EM S = ESEξ .Exercice 5.2 Deux joueurs, André et Berthe, jouent simultanément à pile ou face, chacun avec sa proprepièce, qui est équilibrée. Les joueurs lancent la pièce, jusqu’à ce que l’un d’entre eux ait fait r piles de plusque son adversaire. Il est alors déclaré vainqueur de la partie. Montrer que le nombre de jeux d’une partieest fini, et même intégrable. Calculer le nombre moyen de jeux.A titre de complément, et pour bien voir à quel point la convergence des martingales de carrés intégrablesest liée à celle de leur crochet :3
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