THEOREMES D'ARRETS POUR LES MARTINGALES - ENS de ...

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Théorème 5.2 [LFGN POUR LES MARTINGALES] Soit X = (X n ) n≥0 une martingale de carré intégrable.(i) Pour P-p.t. ω ∈ {〈X〉 ∞ < ∞}, la suite (X n (ω)) n≥0 converge.(ii) Soit f : R + → R + croissante telle que ∫ ∞0 (1 + f (x)) −2 dx < ∞. Pour P-p.t. ω ∈ {〈X〉 ∞ = ∞} :X n (ω)f (〈X〉 n (ω)) → 0.6. APPLICATION : UNE STRATEGIE DE DECISIONUne usine produit des composants électroniques qui peuvent sortir défectueux de la chaîne de fabrication.Le nombre de pièces fabriquées étant gigantesque et l’examen de chaque pièce étant relativement coûteux,il est impensable d’évaluer la qualité de toute sa production. Dans la suite, p 0 désigne la probabilité, inconnue,qu’une pièce soit défectueuse.Un acheteur cherchera à n’accepter un stock de pièces tel que p 0 ≥ p a qu’avec une probabilité ≤ β etl’industriel cherchera à ne rejeter un stock tel que p 0 ≤ p i (avec 0 deux exigences ?Il s’agit donc de construire une stratégie de décision respectant les consignes ci-dessus. Dans la suite, x k = 1si le k-ième composant électronique est défectueux, et 0 sinon. Puis,z k = x k ln p ap i+ (1 − x k )ln 1 − p a1 − p i.Le test séquentiel du rapport de vraisemblance est la stratégie de décision suivante :On examine successivement des pièces du stock. Après l’examen de la n-ième pièce, trois décisions doivent être envisagées :⊲ examiner la (n + 1)-ème pièce, si z 1 + ··· + z n ∈]lnβ,ln(1/α)[;⊲ rejeter le stock, si z 1 + ··· + z n ≥ ln(1/α) ;⊲ accepter le stock, si z 1 + ··· + z n ≤ lnβ.Vérifions maintenant que cette stratégie répond aux exigences. Pour p ∈]0,1[, soit P p la probabilité sur{0,1} N dont la restriction à {0,1} n vaut B(p) ⊗n pour tout n ≥ 1. On considère l’échantillon canonique(X 1 ,X 2 ,···) sur ({0,1} N ,P p ). Par analogie au cas où le nombre d’observations est fixé, on défini la vraisemblancedu sous-échantillon (X 1 ,··· ,X n ) de loi B(p) ⊗n parL n (p) = L n (X 1 ,··· ,X n ; p) = p ∑n i=1 X i(1 − p) n−∑n i=1 X i.En notant pour chaque k ≥ 1 :on a alorsZ k = X k ln p ap i+ (1 − X k )ln 1 − p a1 − p i,S n = ln L n(p a )L n (p i ) = Z 1 + ··· + Z n .La stratégie de décision consiste à arrêter l’examen des pièces à partir de la ν-ème, où{ν = inf n ≥ 1 :L n (p a )L n (p i ) ≥ 1 α ou L n(p a )}L n (p i ) ≤ β = inf{n ≥ 1 : S n /∈]lnβ,ln 1 }α [ .4
Soit E p l’espérance sous la loi P p . Posons m p = EZ 1 et S 0 = 0. Comme (S n∧ν − n ∧ ν m p ) n≥0 est une P p -martingale et |S n∧ν | ≤ max(|lnα|,|lnβ|), on déduit que ν ∈ L 1 (P p ) si m p ≠ 0 (le cas m p = 0 est traité parun argument similaire). En particulier, ν est P p -p.s. fini pour tout p ∈]0,1[, donc l’algorithme de décision aune fin.De plus, la vraisemblance L ν (p) de l’observation (X 1 ,··· ,X ν ) a un sens. Pour toute fonction à valeurspositives φ, on a( Lν (p a ))E pa φ(X 1 ,··· ,X ν ) = E piL ν (p i ) φ(X 1,··· ,X ν ) .Par suite,(P pa Sν ≤ lnβ ) ( Lν (p a ))= E piL ν (p i ) 1 ({ L ν (pa)Lν (p i ) ≤β} ≤ β et P pi Sν ≥ ln(1/α) ) ( Lν (p i ))= E paL ν (p a ) 1 { L ν (p i ) ≤ α.Lν (pa) ≤α}Par ailleurs, on vérifie que :(P p0 Sν ≥ ln(1/α) ) (≤ P pi Sν ≥ ln(1/α) ) ≤ α si p 0 ≤ p( iet P p0 Sν ≤ lnβ ) (≤ P pa Sν ≤ lnβ ) ≤ β si p 0 ≥ p a .En conclusion, la stratégie de décision rempli les conditions imposées : si p 0 ≤ p i , la probabilité de rejeter lestock en adoptant cette stratégie est ≤ α et, si p 0 ≥ p a , la probabilité d’accepter le stock avec cette stratégieest ≤ β.REFERENCES• P. Billingsley, Probability and Measure, 3rd Edition, Wiley, 1995.• D. Dacunha-Castelle et M. Duflo, Probabilités et statistiques - Tome 2 : Problèmes à temps mobile (Courset Exercices), Masson, 1983.• R. Durrett, Probability : Theory and Examples, 4th Edition, Cambridge University Press, 2010.• D. Foata et A. Fuchs, Processus stochastiques - Processus de Poisson, chaînes de Markov et martingales,Dunod, 2002.• J. Neveu, Martingales à temps discret, Masson, 1972.• J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 : maîtrise agrégation, Cassini, 2001.• D. Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press, 1991.5
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