PCSI1 11-12 TD no12 : Force centrale nextonienne

(e) Déterminer la durée du transfert entre la Terre et Mars (en années terrestres).√√ √GMRéponses : v 0 = s(, v a 1 = √ v 00 n, T 1 = T 0 n 3 22n, v P = v 0 n+1 , v 2A = v 1 n+1 , τ = T 0 n+1) 322 25. MétéoriteUne météorite, assimilée à un point matériel M de masse m,est soumise à l’attraction d’un astre A sphérique de centre F, ⃗v 0de rayon R et de masse M A . On étudie la trajectoire de MMdans le référentiel galiléen de centre F. À l’instant initial, Mest à l’infini, animé d’une vitesse ⃗v 0 (de norme v 0 ) et présenteun paramètre d’impact b. L’axe (Fx) est l’axe polaire et onpose η = GM A. v0 2b (a) Pourquoi la trajectoire est-elle hyperbolique?(b) Déterminer l’énergie mécanique E m et la constante des aires C de M en fonction de b, v 0 etm.(c) On note P le point de la trajectoire de M le plus proche de F. On note v P la norme dela vitesse de M lorsqu’il passe en P. Déterminer r P = FP et v P en fonction de b, v 0 et η.Discuter les cas η → 0 et η → +∞.(d) Donner l’équation polaire générale de l’hyperbole en fonction du paramètre p, de l’excentricitée et de θ 0 , l’angle définissant la position de l’axe focal de l’hyperbole par rapport à l’axe polaire(Fx). Faire un schéma.(e) Déterminer p, e et cos θ 0 en fonction de b et η. En déduire l’équation polaire r(θ) en fonctionde b, η et θ.√Réponses : E m = 1 2 mv2 0 , C = −bv 0, r P = b(√1 + η 2 − η), p = b η , e = 1 + 1η 2 , cos θ 0 =6. Aplatissement de Marsη √ 1+η 2On considère une sonde S, de masse m, en orbite autour de Mars. On suppose que la sonde n’estsoumise qu’à la force d’attraction de Mars et que le référentiel ayant comme origine le centre O deMars est galiléen. On donne la masse et le rayon moyen de Mars : M M = 6.10 23 kg et R M = 3400km. Mars est aplatie aux pôles. En conséquence, le potentiel gravitationnel de la sonde évoluantdans le plan équatorial est donné approximativement par l’expression suivante :V (r) = − GM Mr(1 + α R M 2 )r 2α est une constante caractérisant l’effet de l’aplatissement (α ≪ 1) et r = OS.(a) Déterminer la force de gravitation −→ F = −m −−→ gradV à laquelle est soumise la sonde.(b) En déduire l’équation différentielle en u = 1 donnant l’équation de la trajectoire. On pourrarpour cela utiliser une des relations de Binet sans la démontrer.(c) On se place dans le cas d’un mouvement elliptique de faible excentricité e (e ≪ 1). Montrerque :pr =1 + e cos(γ θ)est solution de l’équation différentielle déterminée dans la question précédente. Exprimer p enfonction de G, M M et de la constante des aires C du mouvement, et une expression approchéede 1 − γ en fonction de p, α et R M . On fera un calcul à l’ordre 0 en α pour p, et à l’ordre 1pour 1 − γ.(d) Quelle est alors l’allure de la trajectoire? Exprimer l’avance δθ du périgée de la trajectoire,c’est à dire l’angle dont les axes de l’ellipse ont tourné après une révolution de la sonde. Onexprimera δθ en fonction de e, R et du demi-grand axe a de la trajectoire.bFx