PCSI1 11-12 TD no12 : Force centrale nextonienne

PCSI 111-12 TD n o 12 : Force centrale nextonienne1. Satellite terrestreUn satellite terrestre a son périgée à 350 km d’altitude et une période de 5843 s.(a) Calculer le demi-grand axe a de sa trajectoire. On donne le rayon de la Terre R T = 6, 4.10 6 met le champ de gravité à la surface de la Terre : G 0 = GM T= 9, 8 m.s −2 .RT2(b) Calculer l’excentricité e de cette trajectoire ainsi que l’altitude de l’apogée.2. Stabilité des trajectoires circulairesOn considère un satellite de la Terre, de masse m, gravitant à la vitesse v 0 sur une orbite circulairede rayon r 0 . On note T le centre de la Terre, m T sa masse et G la constante universelle degravitation.(a) Déterminer la constante des aires C en fonction de r 0 et v 0 . Déterminer une relation entre G,m T , r 0 et v 0 . Déterminer l’énergie mécanique E m du satellite en fonction de r 0 , G, m T et m.(b) Le satellite est lancé à t = 0 en un point M 0 à la distance r 0 de T, avec une vitesse orthoradialev 0 et une vitesse radiale αv 0 . Déterminer la nouvelle constante des aires C ′ en fonction de r 0et v 0 , et le paramètre p de la nouvelle trajectoire. Déterminer la nouvelle énergie mécaniqueE ′ m en fonction de r 0 , G, m T , m et α. En déduire l’excentricité e de la nouvelle trajectoire enfonction de |α|. À quelle condition la trajectoire est-elle elliptique? On se place à partir demaintenant dans ce cas, avec α > 0.(c) On fixe θ = 0 à t = 0. L’équation polaire de la trajectoire elliptique, avec origine en T, estpdonc r = . Représenter la trajectoire et placer le point M 1+e cos(θ+ϕ) 0. Comment est alorsdéfini θ?Réponses : C = r 0 v 0 , v0 2 = Gm T, E r m = − Gm T m, C0 2r ′ = C, r 0 = p, E ′ 0m = Gm T m(α 2r 2 − 1), e = |α|03. ComèteLa Terre décrit autour du Soleil S une orbite pratiquement circulaire de rayon a = 1, 5.10 8 km, àla vitesse u = 30 km.s −1 . En 1843, une comète C est passée extrêmement près du Soleil : distanceau périhélie SP = d = 6, 1.10 −3 a.(a) En considérant que l’orbite de C est parabolique, calculer la vitesse maximale de C.(b) Des mesures ont montré que l’orbite de C était en fait elliptique d’excentricité e = 1 − x, avecx = 9, 4.10 −5 ≪ 1. Jusqu’à quelle distance D la comète va-t-elle s’éloigner du Soleil ? Calculersa vitesse v à cette distance. En quelle année reviendra-t-elle ?4. Ellipse de HohmannOn assimile la trajectoire de la Terre autour du Soleil à un cercle de rayon a 0 décrit à la vitessev 0 = 30, 0 km.s −1 en une année T 0 . La trajectoire de Mars autour du Soleil est assimilée à une orbitecirculaire coplanaire à l’orbite terrestre, de rayon a 1 = na 0 avec n = 1, 524. On veut transférerun satellite de l’orbite terrestre à l’orbite martienne. On néglige dans ce transfert l’attraction desplanètes pour ne retenir que celle du Soleil. L’une des trajectoires possibles est une demi-ellipse,dite de Hohmann, dont le Soleil est un foyer, tangente à l’orbite terrestre en son péricentre P,tangente à l’orbite martienne en son apocentre A et coplanaire à l’orbite terrestre.(a) Déterminer la vitesse orbitale v 1 de Mars et la durée T 1 de l’année martienne (en annéesterrestres).(b) Faire un dessin. On représentera l’orbite terrestre, l’orbite martienne, l’ellipse de Hohmannainsi que les points A et P.(c) Quelle doit être la vitesse v P de l’engin spatial au point P de l’ellipse de Hohmann? Déterminerv P en fonction de v 0 et de n. Commentaire.(d) Quelle doit être la vitesse v A de l’engin spatial au point A de l’ellipse de Hohmann? Déterminerv A en fonction de v 1 et de n. Commentaire.

(e) Déterminer la durée du transfert entre la Terre et Mars (en années terrestres).√√ √GMRéponses : v 0 = s(, v a 1 = √ v 00 n, T 1 = T 0 n 3 22n, v P = v 0 n+1 , v 2A = v 1 n+1 , τ = T 0 n+1) 322 25. MétéoriteUne météorite, assimilée à un point matériel M de masse m,est soumise à l’attraction d’un astre A sphérique de centre F, ⃗v 0de rayon R et de masse M A . On étudie la trajectoire de MMdans le référentiel galiléen de centre F. À l’instant initial, Mest à l’infini, animé d’une vitesse ⃗v 0 (de norme v 0 ) et présenteun paramètre d’impact b. L’axe (Fx) est l’axe polaire et onpose η = GM A. v0 2b (a) Pourquoi la trajectoire est-elle hyperbolique?(b) Déterminer l’énergie mécanique E m et la constante des aires C de M en fonction de b, v 0 etm.(c) On note P le point de la trajectoire de M le plus proche de F. On note v P la norme dela vitesse de M lorsqu’il passe en P. Déterminer r P = FP et v P en fonction de b, v 0 et η.Discuter les cas η → 0 et η → +∞.(d) Donner l’équation polaire générale de l’hyperbole en fonction du paramètre p, de l’excentricitée et de θ 0 , l’angle définissant la position de l’axe focal de l’hyperbole par rapport à l’axe polaire(Fx). Faire un schéma.(e) Déterminer p, e et cos θ 0 en fonction de b et η. En déduire l’équation polaire r(θ) en fonctionde b, η et θ.√Réponses : E m = 1 2 mv2 0 , C = −bv 0, r P = b(√1 + η 2 − η), p = b η , e = 1 + 1η 2 , cos θ 0 =6. Aplatissement de Marsη √ 1+η 2On considère une sonde S, de masse m, en orbite autour de Mars. On suppose que la sonde n’estsoumise qu’à la force d’attraction de Mars et que le référentiel ayant comme origine le centre O deMars est galiléen. On donne la masse et le rayon moyen de Mars : M M = 6.10 23 kg et R M = 3400km. Mars est aplatie aux pôles. En conséquence, le potentiel gravitationnel de la sonde évoluantdans le plan équatorial est donné approximativement par l’expression suivante :V (r) = − GM Mr(1 + α R M 2 )r 2α est une constante caractérisant l’effet de l’aplatissement (α ≪ 1) et r = OS.(a) Déterminer la force de gravitation −→ F = −m −−→ gradV à laquelle est soumise la sonde.(b) En déduire l’équation différentielle en u = 1 donnant l’équation de la trajectoire. On pourrarpour cela utiliser une des relations de Binet sans la démontrer.(c) On se place dans le cas d’un mouvement elliptique de faible excentricité e (e ≪ 1). Montrerque :pr =1 + e cos(γ θ)est solution de l’équation différentielle déterminée dans la question précédente. Exprimer p enfonction de G, M M et de la constante des aires C du mouvement, et une expression approchéede 1 − γ en fonction de p, α et R M . On fera un calcul à l’ordre 0 en α pour p, et à l’ordre 1pour 1 − γ.(d) Quelle est alors l’allure de la trajectoire? Exprimer l’avance δθ du périgée de la trajectoire,c’est à dire l’angle dont les axes de l’ellipse ont tourné après une révolution de la sonde. Onexprimera δθ en fonction de e, R et du demi-grand axe a de la trajectoire.bFx