PCSI1 11-12 TD no15 : Thermodynamique (1)

PCSI 1 11-12 TD n o 15 : Thermodynamique (1)1. Étude d’un compresseur isothermeUn compresseur prélève de l’air dans l’atmosphère à la pression P 0 et à la température T 0 , le comprimejusqu’à la pression finale P f puis le refoule à pression constante dans un réservoir d’air comprimé dontla pression est toujours égale à P f . On suppose que toutes les transformations sont réversibles. L’airest assimilé à un gaz parfait diatomique.Données : P 0 = 10 5 Pa ; T 0 = 295 K ; P f = 15 × 10 5 Pa ; R = 8, 31 J.mol −1 .K −1 ; γ = 1, 40Le compresseur de la figure ci-dessous est constitué d’un cylindre d’axe horizontal, d’un piston pouvantcoulisser sans frottement et de deux soupapes S et S ′ .On peut décomposer un aller et retour du piston en trois phases (en partant de la position AA ′ dupiston) :• Phase 1 : admission isobare d’une mole d’air prélevée dansl’atmosphère, la soupape d’admission S étant ouverte et lasoupape d’échappement S ′ étant fermée. Soit V le volumemaximal du cylindre.• Phase 2 : compression isotherme et mécaniquementréversible de P 0 à P f , S et S ′ étant fermées. Soit V 1 levolume du gaz après compression et avant refoulement.• Phase 3 : refoulement isobare de la mole d’air à la pressionP f vers le réservoir, S étant fermée et S ′ ouverte.A BP 0 , T 0S P 0P fS ′A ′ B ′(a) On suppose que la face droite du piston est soumise à la pression atmosphérique P 0 . Déterminer,en fonction de T 0 , P 0 et P f , les travaux W 1 , W 2 et W 3 fournis par l’opérateur qui déplace le pistonau cours de chacune des trois phases. On déterminera pour cela la relation entre le travail reçupar le gaz, le travail fourni par l’opérateur et le travail fourni par l’atmosphère extérieure à lapression P 0 .(b) En déduire le travail W op fourni par l’opérateur quand le piston a fait un aller et retour. Fairel’application numérique.(c) Tracer le diagramme de Clapeyron pour un aller et retour.2. Déplacement de deux paroisPréliminaires : n moles d’un gaz parfait évoluent d’un état initial (P i ,V i ,T i ) vers un état final(P f ,V f ,T f ). On désigne par γ le rapport des capacités thermiques que l’on suppose constantes.Exprimer la variation ∆U d’énergie interne de ce gaz parfait.piston mobileUn récipient cylindrique horizontal muni d’un piston mobilequi peut coulisser sans frottement le long du cylindrePest séparé en deux compartiments A et B par une paroi0fixe. L’ensemble constitué par le cylindre, le piston et lesA B parois est calorifugé. Sur la face externe du piston s’exercela pression atmosphérique P 0 que l’on suppose uniforme etconstante. Dans la situation initiale, le compartiment A devolume Vparoi fixeA contient n moles d’un gaz parfait à la pressionP 0 , le compartiment B de volume V B étant vide.On perce dans la paroi fixe un orifice suffisamment petit pour que le piston se déplace infinimentlentement. On suppose, dans un premier temps, que V B est suffisamment petit pour que dans l’étatd’équilibre final le piston n’arrive pas en butée sur la paroi fixe.(a) Déterminer le volume V b balayé par le piston lors de l’évolution du gaz vers l’état d’équilibre finalcaractérisé par le volume final V f1 de l’ensemble des deux compartiments. On exprimera V b enfonction de V A , V B et V f1 .(b) Déterminer en fonction de V A , V B et γ, en appliquant le premier principe de la Thermodynamique,le volume final V f1 du gaz.

(c) Déterminer la température finale T f1 en fonction de P 0 , n, V A , V B et γ.(d) On suppose maintenant que V B est suffisamment grand pour que dans l’état d’équilibre final lepiston soit en butée sur la paroi fixe. Déterminer la pression finale P f2 et la température finaleT f2 en fonction de P 0 , n, V A , V B et γ.3. Effet JouleUn fil conducteur, de masse m, de résistance R indépendante de la température, et de capacitéthermique massique c, est parcouru à partir de t = 0 par un courant constant I. Ce fil s’échauffe pareffet Joule, mais perd par rayonnement dans l’atmosphère une puissance P = K(T − T a ) où T est latempérature variable du fil et T a celle de l’atmosphère supposée constante.Établir l’expression de T en fonction du temps t.4. Calorimétrie(a) Un calorimètre contient 95 g d’eau à 20 o C. On ajoute 71 g d’eau à 50 o C. Quelle serait latempérature d’équilibre si l’on pouvait négliger la capacité thermique du vase et des accessoires?(b) La température d’équilibre observée est 31,3 o C. En déduire “la valeur en eau” du vase et desaccessoires.(c) Le même calorimètre contient maintenant 100 g d’eau à 15 o C. On y plonge un échantillonmétallique pesant 25 g sortant d’une étuve à 95 o C. La température d’équilibre étant 16,7 o C,calculer la capacité thermique massique du métal.Pour l’eau, on a c 0 = 4, 18 J.g −1 .K −1 .5. Étude d’un cycle moteurOn considère une mole de gaz carbonique initialement portée à la température T 1 = 100 o C dansun récipient de volume V 1 = 1 L sous une pression P 1 (état A). On effectue d’abord une détenteadiabatique réversible qui amène le gaz à une température T 2 et un volume V 2 = 10V 1 (état B). Oneffectue ensuite une compression isotherme réversible qui amène le gaz à la pression P 1 (état C). Onréchauffe ensuite le gaz de façon mécaniquement réversible jusqu’à la température T 1 en maintenantla pression extérieure à P 1 . On assimilera le gaz carbonique à un gaz parfait de rapport γ = 4 3 .(a) Tracer l’allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron.(b) Calculer la pression initiale P 1 .(c) Calculer la température T 2 .(d) Calculer les quantités de chaleur reçues par le gaz au cours des différentes transformations.(e) Calculer le travail W reçu par le gaz sur un cycle.(f) Calculer le rendement r = −WQ C→A. Comparer ce rendement à celui du cycle de Carnot fonctionnantentre T 1 et T 2 . Commentaire?(g) Tracer avec soin sur papier millimétré le cycle.6. Transformations coupléespistonE(K)R(C 1 )(C 2 )Un cylindre horizontal, clos, de volume invariable,est divisé en deux compartiments (C 1 ) et(C 2 ) parfaitement fermés par un piston mobile,de masse négligeable et coulissant sans frottement.Les parois du cylindre, ainsi que celles dupiston, sont calorifugées. Dans l’état initial, lesdeux compartiments contiennent un même volumeV 0 d’hélium, à la même pression P 0 et à lamême température T 0 .Par fermeture d’un interrupteur (K), le gaz du compartiment (C 1 ) peut recevoir lentement, de lapart d’un résistor soumis à l’effet Joule, de l’énergie thermique. La capacité thermique du résistorest négligée. Entre l’état initial (fermeture de l’interrupteur) et l’état final de la transformation(ouverture de l’interrupteur), le gaz du compartiment (C 1 ) reçoit une quantité de chaleur Q 1 . Lapression finale P 1f atteinte par le gaz du compartiment (C 1 ) est P 1f = 2P 0 .

(a) Déterminer la pression finale P 2f du gaz dans le compartiment (C 2 ).(b) Exprimer, en fonction de V 0 et γ, les volumes respectifs V 1f et V 2f des compartiments (C 1 ) et(C 2 ) dans l’état final.(c) Déterminer, en fonction de T 0 et γ, les températures finales respectives T 1f et T 2f des gaz contenusdans (C 1 ) et (C 2 ).(d) Exprimer, en fonction des données de l’énoncé, les variations d’énergie interne ∆U 1 et ∆U 2 desgaz contenus dans (C 1 ) et (C 2 ).(e) Comment déterminer, à partir des bilans d’énergie précédents, la quantité de chaleur Q 1 reçuepar le gaz du compartiment (C 1 )?(f) Applications numériques : on donne R = 8, 31 J.mol −1 .K −1 , γ = 1, 66, P 0 = 1 bar, V 0 = 20 L,T 0 = 273K. Calculer les grandeurs T 1f , T 2f , ∆U 1 , ∆U 2 et Q 1 . Pourrait-on calculer la durée del’expérience?7. Étude d’un échangeur à deux fluxC’est un dispositif qui permet, pour des fluides en écoulement stationnaire, de transférer l’énergiethermique, pour faire des économies. Les gaz sont supposés parfaits, de capacité thermique massiqueà pression constante c p constante.(a) On considère un gaz parfait de capacité thermique c P en écoulement stationnaire très lent dansune conduite horizontale calorifugée. Le débit massique est noté D. En entrée, on note T 1 , P 1 eth 1 respectivement la température, la pression et l’enthalpie massique du gaz. En sortie, on noteT 2 , P 2 et h 2 respectivement la température, la pression et l’enthalpie massique du gaz. Le gaztraverse un échangeur où il reçoit exclusivement de l’énergie sous forme thermique. On note q letransfert thermique massique reçu par le gaz dans l’échangeur. Donner la relation entre h 1 , h 2 etq. En déduire une relation simple entre c P , T 2 , T 1 et q, puis entre D, c P , T 2 , T 1 et P th où P th estla puissance thermique reçue par le gaz lors du passage dans l’échangeur.(b) Dans un échangeur, un flux de gaz de débit massique D entre au niveau (1) avec une températureT 1 dans l’échangeur et ressort au niveau (2) avec une température T 2 . Dans le même temps, lemême gaz entre dans l’échangeur avec le même débit D au niveau (1’) avec une température T ′ 1et ressort au niveau (2’) avec une température T ′ 2. Les deux gaz sont en contact thermique étroitentre eux dans l’échangeur sans pour autant se mélanger. L’échangeur est calorifugé de manièreà ce que toute la chaleur perdue par l’un des gaz soit gagnée par l’autre.i. Déterminer la relation entre T ′ 1, T ′ 2, T 1 et T 2 .ii. On suppose que l’échange est suffisamment bon pour que T 2 = T ′ 1. Que peut-on dire alors deT 1 et T ′ 2?iii. Que devient la relation du i) si le gaz passant de (1) à (2) a le débit massique D et le gazpassant de (1 ′ ) à (2 ′ ) le débit massique D ′ ≠ D ?8. Détente d’un gaz parfaitxUn récipient cylindrique calorifugé, de section σ = 0, 10 m 2 et delongueur totale L⃗u 0 = 2, 0 m, est partagé en deux compartiments parxun piston mobile calorifugé de masse négligeable (sauf à la questione) et se déplaçant sans frottements. Dans le compartiment de gauche,de longueur x et de volume V = σx, se trouve une mole d’argon. Leargon vide compartiment de droite, de longueur L 0 − x, est vide. Le piston dedéplace sous le seul effet des forces de pression exercées par l’argonL 0et éventuellement d’une force −→ F exercée par un opérateur ou par unressort.On assimile l’argon à un gaz parfait de capacité calorifique molaire à volume constant C V m = 3R.2(a) Dans l’état initial E 1 , l’argon occupe le volume V 1 = σx 1 avec x 1 = L 02. Sa température est égaleà T 1 = 300 K. Calculer dans l’état E 1 la pression P 1 .

(b) L’argon étant dans l’état initial E 1 , l’opérateur lâche le piston et n’agit plus sur lui ( −→ F = −→ 0 ).Le système évolue vers un état d’équilibre E 2 , où x 2 = L 0 et où la température est égale àT 2 . Montrer que l’énergie interne est conservée au cours de l’évolution de l’état E 1 à l’état E 2 .Calculer la température T 2 .(c) L’argon étant dans l’état E 1 , l’opérateur exerce sur le piston une force constante −→ F = −P 3 σ⃗u x ,P 3 étant choisie de telle sorte que le système évolue vers un état d’équilibre E 3 (x 3 = 3L 04 ,P 3,T 3 ).Exprimer le travail W fourni par l’opérateur, en fonction de P 3 , σ, L 0 , puis en fonction de R etT 3 . Calculer la température T 3 du gaz dans l’état d’équilibre final.(d) L’argon étant dans l’état E 1 , on remplace l’opérateur par un ressort de raideur k exerçant sur lepiston une force −→ F = −kx⃗u x et on lâche le piston. Le système évolue alors vers un état d’équilibreE 4 (x 4 = 3L 04 ,P 4,T 4 ). Établir l’expression de k en fonction de P 4, σ et L 0 , puis en fonction de R,T 4 et L 0 . Montrer que −→ F dérive d’une énergie potentielle E p . Exprimer E p en fonction de k etde x en adoptant la convention E p = 0 pour x = 0. Montrer qu’au cours de l’évoluion de l’étatE 1 à l’état E 4 , la somme U + E p est conservée. En déduire la température T 4 .(e) On étudie désormais de petits déplacements du piston autour de la position d’équilibre x 4 = 3L 04 .On pose x = x 4 (1 + ε) avec |ε| ≪ 1. On suppose en outre que le piston a une masse m non nulleet que l’argon évolue de manière adiabatique et réversible.i. Montrer que la pression P de l’argon et le volume V qu’il occupe vérifie la relation PV 5 3 =P 4 V 5 34 .ii. En limitant les calculs à l’ordre 1 en ε, montrer que la pression exercée par l’argon sur lepiston s’écrit P = α − βε et exprimer la constante β en fonction de R, T 4 et V 4 .iii. En déduire la période τ des petites oscillations du piston autour de sa position d’équilibre enfonction de β, k, m, x 4 et σ.iv. En pratique, les oscillations sont amorties. Pourquoi? Commentaire?9. ClimatisationOn envisage une machine frigorifique à gaz parfait dont on donne le schéma de principe ci-dessous.Le fluide qui décrit le cycle est de l’hélium pour lequel γ = 5 et M = 4 3 g.mol−1 . Tous les calculs sontrapportés à 1 kg d’hélium.Le fluide traverse successivement :localT 1 = 293 K(E 1 )AF(C)(D)BEatmosphèreextérieureT 2 = 313 K(E 2 )On donne : T 1 = 293 K, T 2 = 313 K, P 1 = 2 bar et P 2 = 3 bar.• un compresseur (C) où le fluide subitune compression adiabatique réversible quil’amène de A(T 1 ,P 1 ) à B(T 3 ,P 2 ),• un échangeur (E 2 ) où le transfert thermiqueentre le fluide et la source chaude est q 2 , cequi amène le fluide au point E(T 2 ,P 2 ),• un détendeur (D) où le fluide se détend defaçon adiabatique réversible, ce qui l’amèneen F(T 4 ,P 1 ),• un échangeur (E 1 ) où le transfert thermiqueentre le fluide et la source froide est q 1 , ce quiramène le fluide au point A(T 1 ,P 1 ).(a) Déterminer pour l’hélium la capacité thermique massique c P .(b) Déterminer les températures T 3 et T 4 .(c) Déterminer les volumes massiques v A , v B , v E et v F .(d) Tracer l’allure du cycle en coordonnées (P,v). On fera apparaître les isothermes T 1 et T 2 . Préciserle sens de parcours du cycle et conclure.(e) Déterminer les transferts thermiques q 1 et q 2 reçus par l’hélium lors de la traversée des échangeurs(E 1 ) et (E 2 ).(f) En déduire le travail reçu par le fluide au niveau de compresseur.