PCSI1 11-12 TD no15 : Thermodynamique (1)

(b) L’argon étant dans l’état initial E 1 , l’opérateur lâche le piston et n’agit plus sur lui ( −→ F = −→ 0 ).Le système évolue vers un état d’équilibre E 2 , où x 2 = L 0 et où la température est égale àT 2 . Montrer que l’énergie interne est conservée au cours de l’évolution de l’état E 1 à l’état E 2 .Calculer la température T 2 .(c) L’argon étant dans l’état E 1 , l’opérateur exerce sur le piston une force constante −→ F = −P 3 σ⃗u x ,P 3 étant choisie de telle sorte que le système évolue vers un état d’équilibre E 3 (x 3 = 3L 04 ,P 3,T 3 ).Exprimer le travail W fourni par l’opérateur, en fonction de P 3 , σ, L 0 , puis en fonction de R etT 3 . Calculer la température T 3 du gaz dans l’état d’équilibre final.(d) L’argon étant dans l’état E 1 , on remplace l’opérateur par un ressort de raideur k exerçant sur lepiston une force −→ F = −kx⃗u x et on lâche le piston. Le système évolue alors vers un état d’équilibreE 4 (x 4 = 3L 04 ,P 4,T 4 ). Établir l’expression de k en fonction de P 4, σ et L 0 , puis en fonction de R,T 4 et L 0 . Montrer que −→ F dérive d’une énergie potentielle E p . Exprimer E p en fonction de k etde x en adoptant la convention E p = 0 pour x = 0. Montrer qu’au cours de l’évoluion de l’étatE 1 à l’état E 4 , la somme U + E p est conservée. En déduire la température T 4 .(e) On étudie désormais de petits déplacements du piston autour de la position d’équilibre x 4 = 3L 04 .On pose x = x 4 (1 + ε) avec |ε| ≪ 1. On suppose en outre que le piston a une masse m non nulleet que l’argon évolue de manière adiabatique et réversible.i. Montrer que la pression P de l’argon et le volume V qu’il occupe vérifie la relation PV 5 3 =P 4 V 5 34 .ii. En limitant les calculs à l’ordre 1 en ε, montrer que la pression exercée par l’argon sur lepiston s’écrit P = α − βε et exprimer la constante β en fonction de R, T 4 et V 4 .iii. En déduire la période τ des petites oscillations du piston autour de sa position d’équilibre enfonction de β, k, m, x 4 et σ.iv. En pratique, les oscillations sont amorties. Pourquoi? Commentaire?9. ClimatisationOn envisage une machine frigorifique à gaz parfait dont on donne le schéma de principe ci-dessous.Le fluide qui décrit le cycle est de l’hélium pour lequel γ = 5 et M = 4 3 g.mol−1 . Tous les calculs sontrapportés à 1 kg d’hélium.Le fluide traverse successivement :localT 1 = 293 K(E 1 )AF(C)(D)BEatmosphèreextérieureT 2 = 313 K(E 2 )On donne : T 1 = 293 K, T 2 = 313 K, P 1 = 2 bar et P 2 = 3 bar.• un compresseur (C) où le fluide subitune compression adiabatique réversible quil’amène de A(T 1 ,P 1 ) à B(T 3 ,P 2 ),• un échangeur (E 2 ) où le transfert thermiqueentre le fluide et la source chaude est q 2 , cequi amène le fluide au point E(T 2 ,P 2 ),• un détendeur (D) où le fluide se détend defaçon adiabatique réversible, ce qui l’amèneen F(T 4 ,P 1 ),• un échangeur (E 1 ) où le transfert thermiqueentre le fluide et la source froide est q 1 , ce quiramène le fluide au point A(T 1 ,P 1 ).(a) Déterminer pour l’hélium la capacité thermique massique c P .(b) Déterminer les températures T 3 et T 4 .(c) Déterminer les volumes massiques v A , v B , v E et v F .(d) Tracer l’allure du cycle en coordonnées (P,v). On fera apparaître les isothermes T 1 et T 2 . Préciserle sens de parcours du cycle et conclure.(e) Déterminer les transferts thermiques q 1 et q 2 reçus par l’hélium lors de la traversée des échangeurs(E 1 ) et (E 2 ).(f) En déduire le travail reçu par le fluide au niveau de compresseur.