PCSI1 11-12 TD no13 : Référentiel non galiléen

PCSI 111-12 TD n o 13 : Référentiel non galiléen1. Système bielle-manivelleUne manivelle OA tourne à la vitesse angulaire ω > 0 constante autour de O dans le plan (xOy).La bielle AB de même longueur a que la manivelle est reliée en B au coulisseau qui a une trajectoirerectiligne portée par l’axe (Ox). On appelle (R) le référentiel centré en O, de vecteurs unitaires ⃗u xporté par OB et ⃗u y perpendiculaire à ⃗u x . À t = 0, on suppose −→ OA colinéaire et de même sens que(Ox).(a) Déterminer la trajectoire du milieu M de la bielle dans (R). Déterminer l’accélération de cemême point M par rapport à (R). L’exprimer en fonction de −−→ OM.(b) On considère le référentiel (R ′ ) en translation par rapport à (R) centré en A. Déterminerl’accélération de M dans (R ′ ), l’accélération d’entrainement ainsi que l’accélération de Coriolis.Retrouver ainsi l’accélération dans (R).(c) On appelle (R ′′ ) le référentiel centré en O de vecteurs unitaires ⃗u x′′porté par OA et ⃗u y′′perpendiculaire à ⃗u x ′′ . Retrouver l’accélération de M dans (R) par la loi de composition desaccélérations.Réponses : ⃗a (R)M2. Étude d’un ressort= −−→−ω2 (R OM, ⃗a ′ )M = −−→−ω2 AMy ′y(R)x ′(R ′ )k, l 0M⃗u y′⃗u zO⃗u y⃗u x⃗u x′θxOn note (R) le référentiel du laboratoire assimilé à un référentiel galiléen et associé au repère(O,⃗u x ,⃗u y ,⃗u z ). Le champ de pesanteur est suivant la verticale (Oz) : ⃗g = −g ⃗u z avec g > 0. Unanneau M de masse m est enfilé sur une tige le long de laquelle il peut glisser sans frottement.Cette tige tourne dans le plan (xOy) à la vitesse angulaire constante ω > 0 autour de l’axe (Oz).L’anneau est accrochée à l’extrémité d’un ressort de longueur √ à vide l 0 , de raideur k, dont l’autreextrémité est fixée en O. On note r = OM. On pose ω 0 = ket on suppose dans tout le problèmemque ω ≠ ω 0 .(a) Le référentiel (R ′ ) lié à la tige est-il galiléen? On justifiera avec soin la réponse. Faire le bilandes forces s’appliquant sur l’anneau dans le référentiel (R ′ ). On ne demande pas d’expliciterdans cette question les expressions des différentes forces. Quelle est la nature de la liaisonentre l’anneau et la tige?(b) Déterminer les expressions de la force d’inertie d’entraînement et de la force d’inertie de Coriolisen fonction de m, ω, r, ṙ et des vecteurs de la base (⃗u x ′,⃗u y ′,⃗u z ). Justifier que la réaction de latige peut se mettre sous la forme : −→ R = R y ′ ⃗u y ′ + R z ⃗u z . On ne cherchera pas à exprimer R y ′et R z .(c) En utilisant les lois de Newton, montrer que : ¨r+(ω 0 2 −ω 2 )r = ω0 2 l 0 . Commenter. Déterminerla longueur l e correspondant à la position d’équilibre dans le référentiel (R ′ ). À quelle conditionsur ω le résultat est-il possible? Cet équilibre est-il stable? Si initialement r = l e et ṙ = 0,quel est ensuite le mouvement de M dans (R)?

(a) En raisonnant dans le référentiel lié à la plate-forme, montrer que :¨q + 2ω 0 ε ˙q + ω 2 0 q = −ẍ(b) Le déplacement imposé à la plate-forme est sinusoïdale et son accélération est de la forme :γ(t) = Γ cos(ωt)où Γ est une constante positive. En régime permanent la réponse est de la forme :q(t) = Q cos(ωt + ϕ)où Q est une constante positive. Exprimer Q et ϕ en fonction de u = ω ω 0.(c) Étudier les variations de X = ω2 0 Q en fonction de u. Tracer sommairement les courbes correspondantà ε = 0 ; ε = 0, 5 ; ε = √ 12Γet ε = 1. Dans quel domaine de pulsations la réponsedépend-elle le moins de cette pulsation ? Comment choisir ε pour que ce domaine soit le plusétendu possible ?8. HockeyUn joueur de hockey se trouve en un point O, de latitude λ, sur une surface gelée horizontaleparfaitement lisse et sans frottement. À l’aide de sa crosse, il propulse suivant un axe (Ox) dirigévers le sud un palet de 300 g à la vitesse initiale de 10 m.s −1 vers un mur vertical situé à unedistance D = 1 km. On donne la vitesse angulaire de rotation propre de la Terre ω T = 7, 3.10 −5rad.s −1 et λ = 51 o Nord.(a)Étudier le mouvement du palet dans le référentiel terrestre (Oxyz) tournant avec la Terre, l’axe(Oz) étant vertical et l’axe (Ox) dirigé vers le Sud. En déduire les équations différentiellesdans le plan horizontal (Oxy).(b) Le palet touchera-t-il le mur à l’est ou à l’ouest du point A, point d’intersection de (Ox) avecle mur?(c) Déterminer l’équation de la trajectoire dans le plan (Oxy). Calculer numériquement la déviationy lorsque le palet touche le mur.Réponse : y D =√ ( v0ω 0) 2 − D 2 − v 0ω 0avec ω 0 = 2ω T sin λ