PCSI1 11-12 TD no6 : Lois de Newton et énergie

PCSI 111-12 TD n o 6 : Lois de Newton et énergie1. Oscillateur : lois de Newton et énergie⃗gOxθdMl 0O ′yOn considère un pendule constitué d’une tige de massenégligeable, de longueur d et d’un point matériel M de massem. La liaison en O ′ est parfaitement coulissante de sorte que leressort est constamment horizontal. Le ressort est idéal de constantede raideur k et de longueur à vide l 0 . On néglige toutfrottement.En utilisant les lois de Newton, déterminer l’équationdifférentielle du deuxième ordre régissant θ. En déduire la périodedes petites oscillations.Retrouver les résultats précédents en utilisant le théorème de lapuissance mécanique.2. Glissement d’un solide sur un plan inclinéxAαt = 0⃗u xOHUn solide supposé ponctuel de masse m est déposé à l’extrémitésupérieure de la ligne de plus grande pente Ox d’un plan inclinéd’angle α, sans vitesse initiale.On note H la distance de ce point initial O au plan horizontal(figure ci-contre) et g l’accélération (constante) de la pesanteur.(a) Absence de frottement- En utilisant le PFD, déterminer l’accélération du mobile à l’instant t, lorsque les frottementsde glissement sont négligés. En déduire la vitesse du mobile au point A.- Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème de l’énergie mécanique.(b) Existence de frottement de glissement- Quelle est la condition sur le coefficient f de frottement pour que le solide commence à glisserà t = 0 ?- Déterminer le travail de la réaction du support lorsque le point passe de O à A. En déduire,par un raisonnement énergétique, la vitesse du mobile au point A.Réponses : a) v A = √ √ ( )2gH, b) f < tan α ; W = − fmgHtan α ; v A = 2gH 1 − ftan α3. Mouvement d’un point sur une héliceUne hélice est décrite par la donnée de ses coordonnéescylindriques (ρ,θ,z) sous la forme ρ = a et z = h θ. Unpetit anneau assimilé à un point matériel M est enfilésur l’hélice en M 0 d’altitude H = 2πh, et lâché sansvitesse initiale dans le champ de pesanteur terrestre.On néglige les frottements de l’anneau sur l’hélice.(a) Par un raisonnement énergétique, déterminer la x θvitesse V de l’anneau lorsqu’il atteint le plan z = 0. M f(b) Déterminer à un instant t quelconque (0 ≤ t ≤ T avec T la durée du trajet de M 0 à M f )l’expression de ˙θ en fonction de g, a, h et θ. En déduire, par une séparation des variables, ladurée T de ce trajet.(c) Déterminer en fonction de a, h et dθ, la norme, noté ds, du vecteur déplacement élémentairede M sur l’hélice. En déduire par intégration la longueur L du trajet de M 0 à M f . Discuter sih → 0.Réponse : V = √ 2gH ; T = 2√ π(a 2 +h 2 )gh ; L = 2π √ a 2 + h 2M 0OzMy

4. Sphère creuseAACθ 0M⃗gCθ 0MSoit une sphère creuse de centre C et de rayonR, d’axe vertical OA, fixe dans le référentiel terrestregaliléen. On considère un point matérielM de masse m qui peut glisser sans frottementsur les deux faces interne et externe de la sphère.OO(a) On positionne sans vitesse initiale M à l’intérieur de la sphère à un angle θ 0 = (CO,CM) (figurede gauche). Établir l’équation différentielle en θ et l’expression de la composante −→ R N de laréaction de la sphère. Donner θ(t) et −→ R N dans le cas d’un petit angle θ 0 .Indication : on se limitera aux termes au plus d’ordre un.(b) On positionne sans vitesse initiale M à l’extérieur de la sphère à un angle θ 0 = (CA,CM) (figurede droite). Établir les équations donnant θ et −→ R N . Résoudre l’équation en θ pour les petitsangles. On se limitera aux termes au plus d’ordre un. Quelle est la trajectoire? Discuter lavalidité de l’expression donnant θ si les angles ne sont pas petits.Pour quel angle le point matériel M quitte-t-il la surface sphérique?Réponses : a) θ(t) = θ 0 cos√ gR t, b) θ(t) = θ 0ch√ gR t5. Anneau sur une cerceauUn anneau M, de masse m = 2 g, peut glisser sans frottement le long d’uncerceau vertical de rayon R = 10 cm. Il est soumis de la part du point Afixe à une force attractive F ⃗ = −kAM −−→ avec k = 1 N.m −1 . M est repérépar l’angle θ.On prend g = 9, 81 m.s −2 .(a) Déterminer, en appliquant le principe fondamental, les positions d’équilibre de M. Discuterphysiquement leur stabilité.(b) Exprimer le travail élémentaire de ⃗ F, en déduire l’énergie potentielle dont dérive ⃗ F.(c) Déterminer l’énergie potentielle de M. Retrouver les positions d’équilibre précédentes et étudierleur stabilité.6. Particule dans un puits de potentielUne particule de masse m se déplace sans frottements sur un axe (Ox) dans un référentiel galiléendans le champ de force −→ F = F(x)⃗u x dérivant de l’énergie potentielle :E p (x) = m 2 ω2 (x 2 + a4x 2)où ω > 0 et a > 0. On négligera l’existence de toute autre force. On se limite au domaine x > 0.Déterminer les positions d’équilibre et leur stabilité. Calculer la période des oscillations de faibleamplitude autour de la position d’équilibre, si elle existe. Que devient-elle si les oscillations ne sontpas de faible amplitude (on l’exprimera dans ce cas en fonction d’une intégrale qu’on ne chercherapas à calculer)?On prendra comme condition initiale x = a et ẋ = v 0 .Réponse : T = π ω7. Anneau sur une pisteOn considère le dispositif ci-dessous où un anneau assimilable à un point matériel M de masse mest enfilé sur une tige formée de deux parties circulaires (1) et (2) de rayons R 1 et R 2 , de centres C 1et C 2 , dans le plan vertical. On suppose R 2 > R 1 . On repère la position de l’anneau par l’angle θ.AOθM

Sur la partie (1) θ varie entre − π et π. Sur la partie (2), θ varie entre π et 5π . On note g = ||⃗g||2 2l’accélération de la pesanteur. Dans tout le problème, on suppose que le mouvement s’effectue √ sansfrottements. On raisonne dans le référentiel lié à la piste, supposé galiléen. On pose ω 1 = gR 1etω 2 =√gR 2. Faire le bilan des forces. De quelle nature est la liaison entre la piste et l’anneau?(a) Déterminer l’énergie potentielle E p de M en fonction de θ lorsque l’anneau est entre A et B(portion (1) de la piste) . On choisira E p (θ = π) = 0.zB(b) L’anneau est initialement enA tel que θ = − π . Il est lancé2avec une vitesse initiale de⃗gnorme V 0 = ||⃗v(t = 0)||. ParA C 1 (1)un raisonnement énergétique,R 1déterminer la vitesse V B duθ+ point M lorsqu’il est en B.MÀ quelle condition sur V 0 leEpoint M peut-il effectivementatteindre B? On considère(2)C 2S cette condition vérifiée danstoute la suite.θ(c) Le point M est à présentsur la portion (2) de laR 2piste (cf figure). Déterminerl’expression de l’énergie potentiellede M en fonction deθ pour θ ∈ [π, 5π ]. L’origine2de l’énergie potentielle estMtoujours prise en B.F(d) Par un raisonnement énergétique, déterminer la vitesse V S du point M lorsqu’il atteint S (θ = 5π)2en fonction de V B , puis en fonction de V 0 . À quelle condition sur V 0 l’anneau sort-il de la pisteen S?(e) On veut retrouver les résultats précédents en raisonnant graphiquement.i. Tracer l’énergie potentielle E p en fonction de θ pour θ ∈ [− π, 5π].2 2ii. Déterminer l’énergie mécanique E 0 de M en fonction de V 0 , m, g et R 1 .iii. En raisonnant graphiquement, déterminer les différents types de mouvement possibles etretrouver les résultats des questions précédentes. Qu’appelle-t-on état lié? État de diffusion?8. La molécule d’ammoniaczz00 1100 11xH010101ON00 1100 1100 1100 11HHyDans un modèle simplifié de la molécule d’ammoniacNH 3 , les trois atomes d’hydrogène H forment la based’une pyramide dont l’atome d’azote N de masse moccupe le sommet.Les trois atomes d’hydrogène sont fixes dansle référentiel du laboratoire supposé galiléen etdéfinissent le plan (xOy).L’atome d’azote est en mouvement suivant l’axe(Oz) perpendiculaire au plan défini par les atomesd’hydrogène. Il peut passer de part et d’autre de ceplan et sa cote est notée z.Le champ de pesanteur est négligeable pour décrire cette structure atomique etla résultante des forces qui s’exercent sur l’atome d’azote N supposé ponctuelest : −→ F = −β z (z 2 − a 2 )⃗u z où les constantes β et a sont positives.

(a) Déterminer l’énergie potentielle E p dont dérive la force −→ F . L’origine de cette énergie potentielleest choisie en z = 0. En déduire les positions d’équilibre.(b) Donner, sans démonstration, la condition de stabilité d’un équilibre et déterminer les positionsd’équilibre stables et instables de l’atome d’azote. Représenter E p en fonction de z lorsque z variede −∞ à +∞.(c) Une énergie E ≤ 1 4 β a4 est cédée au système au moment où l’atome d’azote est dans une positiond’équilibre stable z s . Montrer graphiquement que l’atome d’azote va osciller entre deux valeurslimites z 1 et z 2 . Quel nom porte un tel état?On considère de petites oscillations autour de z s . Pour cela, on pose z = z s + q avec |q| ≪ |z s |.Faire un développement de E p à l’ordre le plus bas non nul en q. En déduire l’énergie mécaniquede l’atome d’azote en fonction de q et ˙q. En déduire la fréquence des petites oscillations.(d) Que se passe-t-il si l’énergie cédée E est supérieure à 1 4 β a4 ?9. Bille sur une surface hyperboliqueOn considère un référentiel galiléen associé au repère orthonormé (O,⃗u x ,⃗u y ,⃗u z ). L’axe (Oz) estvertical ascendant. La position d’un point M sera définie par ses coordonnées cylindriques r, θ et z.On notera respectivement ⃗u r et ⃗u θ les vecteurs unitaires déduits de ⃗u x et ⃗u y par rotation d’angle θautour de (Oz).(a) Faire un dessin et exprimer le vecteur position −−→ OM dans la base cylindrique.(b) En déduire ( la vitesse ⃗v et l’accélération ⃗a dans la base cylindrique. Montrer que : ⃗a.⃗u θ =1 dr dt r2 dθdt).(c) On étudie le mouvement d’une bille d’acier M, de masse m, assimilée à un point matériel, sur unesurface de révolution. La surface sur laquelle roule la bille est engendrée par la révolution d’uneportion d’hyperbole : z = −k avec k > 0. On néglige les frottements. La réaction du support estrnotée : −→ R = R r ⃗u r + R θ ⃗u θ + R z ⃗u z . Justifier sans calcul que R θ = 0.(d) Faire un bilan des forces s’exerçant sur la bille. Préciser si ces forces dérivent d’une énergiepotentielle. Dans l’affirmative, préciser l’expression de l’énergie potentielle associée en fonctionde la variable r uniquement. On choisira l’origine de l’énergie potentielle lorsque r tend versl’infini.(e) Écrire le principe fondamental de la Dynamique et faire la projection dans la base cylindrique.En déduire que la quantité r 2 dθ est une constante, que l’on notera C.dt(f) Exprimer l’énergie mécanique sous la forme : E m = 1 m α 2 ṙ2 + 1 m C2 − mgk . Déterminer α en2 r 2 rfonction de k et r. Que peut-on dire de l’énergie mécanique?(g) On peut définir une énergie potentielle ”effective” : E peff = 1 m C2 . Tracer l’allure de2 rcette énergie potentielle effective en fonction de r. En fonction de la valeur de l’énergie mécaniqueinitiale du système E 0 , discuter le caractère lié ou libre du mouvement.r 2 − mgk(h) Pour quelle valeur de r a-t-on un mouvement circulaire? On exprimera le rayon du mouvementcirculaire r c en fonction de C, g et k.(i) On lance la bille d’une distance r 0 avec une vitesse ⃗v 0 . Préciser la direction et le module de ⃗v 0pour avoir un mouvement circulaire.