PCSI1 11-12 TD no6 : Lois de Newton et énergie

(a) Déterminer l’énergie potentielle E p dont dérive la force −→ F . L’origine de cette énergie potentielleest choisie en z = 0. En déduire les positions d’équilibre.(b) Donner, sans démonstration, la condition de stabilité d’un équilibre et déterminer les positionsd’équilibre stables et instables de l’atome d’azote. Représenter E p en fonction de z lorsque z variede −∞ à +∞.(c) Une énergie E ≤ 1 4 β a4 est cédée au système au moment où l’atome d’azote est dans une positiond’équilibre stable z s . Montrer graphiquement que l’atome d’azote va osciller entre deux valeurslimites z 1 et z 2 . Quel nom porte un tel état?On considère de petites oscillations autour de z s . Pour cela, on pose z = z s + q avec |q| ≪ |z s |.Faire un développement de E p à l’ordre le plus bas non nul en q. En déduire l’énergie mécaniquede l’atome d’azote en fonction de q et ˙q. En déduire la fréquence des petites oscillations.(d) Que se passe-t-il si l’énergie cédée E est supérieure à 1 4 β a4 ?9. Bille sur une surface hyperboliqueOn considère un référentiel galiléen associé au repère orthonormé (O,⃗u x ,⃗u y ,⃗u z ). L’axe (Oz) estvertical ascendant. La position d’un point M sera définie par ses coordonnées cylindriques r, θ et z.On notera respectivement ⃗u r et ⃗u θ les vecteurs unitaires déduits de ⃗u x et ⃗u y par rotation d’angle θautour de (Oz).(a) Faire un dessin et exprimer le vecteur position −−→ OM dans la base cylindrique.(b) En déduire ( la vitesse ⃗v et l’accélération ⃗a dans la base cylindrique. Montrer que : ⃗a.⃗u θ =1 dr dt r2 dθdt).(c) On étudie le mouvement d’une bille d’acier M, de masse m, assimilée à un point matériel, sur unesurface de révolution. La surface sur laquelle roule la bille est engendrée par la révolution d’uneportion d’hyperbole : z = −k avec k > 0. On néglige les frottements. La réaction du support estrnotée : −→ R = R r ⃗u r + R θ ⃗u θ + R z ⃗u z . Justifier sans calcul que R θ = 0.(d) Faire un bilan des forces s’exerçant sur la bille. Préciser si ces forces dérivent d’une énergiepotentielle. Dans l’affirmative, préciser l’expression de l’énergie potentielle associée en fonctionde la variable r uniquement. On choisira l’origine de l’énergie potentielle lorsque r tend versl’infini.(e) Écrire le principe fondamental de la Dynamique et faire la projection dans la base cylindrique.En déduire que la quantité r 2 dθ est une constante, que l’on notera C.dt(f) Exprimer l’énergie mécanique sous la forme : E m = 1 m α 2 ṙ2 + 1 m C2 − mgk . Déterminer α en2 r 2 rfonction de k et r. Que peut-on dire de l’énergie mécanique?(g) On peut définir une énergie potentielle ”effective” : E peff = 1 m C2 . Tracer l’allure de2 rcette énergie potentielle effective en fonction de r. En fonction de la valeur de l’énergie mécaniqueinitiale du système E 0 , discuter le caractère lié ou libre du mouvement.r 2 − mgk(h) Pour quelle valeur de r a-t-on un mouvement circulaire? On exprimera le rayon du mouvementcirculaire r c en fonction de C, g et k.(i) On lance la bille d’une distance r 0 avec une vitesse ⃗v 0 . Préciser la direction et le module de ⃗v 0pour avoir un mouvement circulaire.