PCSI1 11-12 TD no6 : Lois de Newton et énergie

4. Sphère creuseAACθ 0M⃗gCθ 0MSoit une sphère creuse de centre C et de rayonR, d’axe vertical OA, fixe dans le référentiel terrestregaliléen. On considère un point matérielM de masse m qui peut glisser sans frottementsur les deux faces interne et externe de la sphère.OO(a) On positionne sans vitesse initiale M à l’intérieur de la sphère à un angle θ 0 = (CO,CM) (figurede gauche). Établir l’équation différentielle en θ et l’expression de la composante −→ R N de laréaction de la sphère. Donner θ(t) et −→ R N dans le cas d’un petit angle θ 0 .Indication : on se limitera aux termes au plus d’ordre un.(b) On positionne sans vitesse initiale M à l’extérieur de la sphère à un angle θ 0 = (CA,CM) (figurede droite). Établir les équations donnant θ et −→ R N . Résoudre l’équation en θ pour les petitsangles. On se limitera aux termes au plus d’ordre un. Quelle est la trajectoire? Discuter lavalidité de l’expression donnant θ si les angles ne sont pas petits.Pour quel angle le point matériel M quitte-t-il la surface sphérique?Réponses : a) θ(t) = θ 0 cos√ gR t, b) θ(t) = θ 0ch√ gR t5. Anneau sur une cerceauUn anneau M, de masse m = 2 g, peut glisser sans frottement le long d’uncerceau vertical de rayon R = 10 cm. Il est soumis de la part du point Afixe à une force attractive F ⃗ = −kAM −−→ avec k = 1 N.m −1 . M est repérépar l’angle θ.On prend g = 9, 81 m.s −2 .(a) Déterminer, en appliquant le principe fondamental, les positions d’équilibre de M. Discuterphysiquement leur stabilité.(b) Exprimer le travail élémentaire de ⃗ F, en déduire l’énergie potentielle dont dérive ⃗ F.(c) Déterminer l’énergie potentielle de M. Retrouver les positions d’équilibre précédentes et étudierleur stabilité.6. Particule dans un puits de potentielUne particule de masse m se déplace sans frottements sur un axe (Ox) dans un référentiel galiléendans le champ de force −→ F = F(x)⃗u x dérivant de l’énergie potentielle :E p (x) = m 2 ω2 (x 2 + a4x 2)où ω > 0 et a > 0. On négligera l’existence de toute autre force. On se limite au domaine x > 0.Déterminer les positions d’équilibre et leur stabilité. Calculer la période des oscillations de faibleamplitude autour de la position d’équilibre, si elle existe. Que devient-elle si les oscillations ne sontpas de faible amplitude (on l’exprimera dans ce cas en fonction d’une intégrale qu’on ne chercherapas à calculer)?On prendra comme condition initiale x = a et ẋ = v 0 .Réponse : T = π ω7. Anneau sur une pisteOn considère le dispositif ci-dessous où un anneau assimilable à un point matériel M de masse mest enfilé sur une tige formée de deux parties circulaires (1) et (2) de rayons R 1 et R 2 , de centres C 1et C 2 , dans le plan vertical. On suppose R 2 > R 1 . On repère la position de l’anneau par l’angle θ.AOθM