programme de MPSI

CONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESg) Exponentielle complexeDéfinition de e z pour z complexe : e z = e Re(z) e i Im(z) . Notations exp(z), e z .⇆ PC et SI : définition d’une impédance complexe enrégime sinusoïdal.Exponentielle d’une somme.Pour tous z et z ′ dans C, exp(z) = exp(z ′ ) si et seulementsi z − z ′ ∈ 2iπZ.Résolution de l’équation exp(z) = a.h) Interprétation géométrique des nombres complexesInterprétation géométrique du module et de l’argumentde c − bc − a .Interprétation géométrique des applications z → az + b.Interprétation géométrique de la conjugaison.Traduction de l’alignement, de l’orthogonalité.Similitudes directes. Cas particuliers : translations, homothéties,rotations.L’étude générale des similitudes indirectes est hors programme.Techniques fondamentales de calcul en analyseLe point de vue adopté dans ce chapitre est principalement pratique : il s’agit, en prenant appui sur les acquis du lycée, demettre en œuvre des techniques de l’analyse, en particulier celles de majoration. Les définitions précises et les constructionsrigoureuses des notions de calcul différentiel ou intégral utilisées sont différées à un chapitre ultérieur. Cette appropriationen deux temps est destinée à faciliter les apprentissages.Les objectifs de formation sont les suivants :– une bonne maîtrise des automatismes et du vocabulaire de base relatifs aux inégalités ;– l’introduction de fonctions pour établir des inégalités ;– la manipulation des fonctions classiques dont le corpus est étendu ;– le calcul de dérivées et de primitives ;– la mise en pratique, sur des exemples simples, de l’intégration par parties et du changement de variable ;– l’application des deux points précédents aux équations différentielles.Les étudiants doivent connaître les principales techniques de calcul et savoir les mettre en pratique sur des cas simples. Lecours sur les équations différentielles est illustré par des exemples issus des autres disciplines scientifiques.A - Inégalités dans RCONTENUSRelation d’ordre sur R. Compatibilité avec les opérations.Parties positive et négative d’un réel. Valeur absolue. Inégalitétriangulaire.Intervalles de R.Parties majorées, minorées, bornées.Majorant, minorant ; maximum, minimum.CAPACITÉS & COMMENTAIRESExemples de majoration et de minoration de sommes, deproduits et de quotients.Notations x + , x − .Interprétation sur la droite réelle d’inégalités du type|x − a| ⩽ b.© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques MPSI9/35