programme de MPSI

ProbabilitésCe chapitre a pour objectif de consolider les connaissances relatives aux probabilités sur un univers fini et aux variablesaléatoires définies sur un tel univers présentées dans les classes antérieures. Il s’appuie sur le chapitre consacré audénombrement.Ce chapitre a vocation à interagir avec l’ensemble du programme. Il se prête également à des activités de modélisation desituations issues de la vie courante ou d’autres disciplines.A - Probabilités sur un univers finiLes définitions sont motivées par la notion d’expérience aléatoire. La modélisation de situations aléatoires simples faitpartie des capacités attendues des étudiants.CONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESa) Expérience aléatoire et universL’ensemble des issues (ou résultats possibles ou réalisations)d’une expérience aléatoire est appelé univers.Événement, événement élémentaire (singleton), événementcontraire, événement « A et B », événement « A ouB », événement impossible, événements incompatibles,système complet d’événements.On se limite au cas où cet univers est fini.b) Espaces probabilisés finisUne probabilité sur un univers fini Ω est une applicationP de P (Ω) dans [0,1] telle que P(Ω) = 1 et, pour toutesparties disjointes A et B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).Détermination d’une probabilité par les images des singletons.Probabilité uniforme.Propriétés des probabilités : probabilité de la réunion dedeux événements, probabilité de l’événement contraire,croissance.Un espace probabilisé fini est un couple (Ω,P) où Ω estun univers fini et P une probabilité sur Ω.c) Probabilités conditionnellesSi P(B) > 0, la probabilité conditionnelle de A sachant BP(A ∩ B)est définie par : P(A|B) = P B (A) = .P(B)Formule des probabilités composées.Formule des probabilités totales.Formules de Bayes :1. si A et B sont deux événements tels que P(A) > 0 etP(B) > 0, alorsOn justifiera cette définition par une approche heuristiquefréquentiste.L’application P B est une probabilité.On donnera plusieurs applications issues de la vie courante.P(B | A)P(A)P(A |B) =P(B)2. si (A i ) 1⩽i⩽n est un système complet d’événementsde probabilités non nulles et si B est un événementde probabilité non nulle, alorsP(A j |B) = P(B | A j ) P(A j )n∑P(B | A i ) P(A i )i=1d) Événements indépendantsCouple d’événements indépendants. Si P(B) > 0, l’indépendance de A et B s’écritP(A|B) = P(A).Famille finie d’événements mutuellement indépendants. L’indépendance deux à deux des événements A 1 ,..., A nn’implique pas l’indépendance mutuelle si n ⩾ 3.© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques MPSI33/35