programme de MPSI

C - Applications linéairesCONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESa) GénéralitésApplication linéaire.Opérations sur les applications linéaires : combinaisonlinéaire, composition, réciproque. Isomorphismes.Image et image réciproque d’un sous-espace par uneapplication linéaire. Image d’une application linéaire.Noyau d’une application linéaire. Caractérisation de l’injectivité.Si (x i ) i∈I est une famille génératrice de E et si u ∈ L (E ,F ),alors Imu = Vect(u(x i ),i ∈ I ).Image d’une base par un isomorphisme.Application linéaire de rang fini, rang. Invariance parcomposition par un isomorphisme.L’ensemble L (E ,F ) est un espace vectoriel.Bilinéarité de la composition.Notation rg(u).b) EndomorphismesIdentité, homothéties. Notation Id E .Anneau (L (E),+,◦). Non commutativité si dimE ⩾ 2.Notation vu pour la composée v ◦ u.Projection ou projecteur, symétrie : définition géométrique,caractérisation des endomorphismes vérifiantp 2 = p et s 2 = Id.Automorphismes. Groupe linéaire.Notation GL(E).c) Détermination d’une application linéaireSi (e i ) i∈I est une base de E et (f i ) i∈I une famille de vecteursde F , alors il existe une et une seule applicationu ∈ L (E ,F ) telle que pour tout i ∈ I : u(e i ) = f i .Classification, à isomorphisme près, des espaces de dimensionfinie par leur dimension.Une application linéaire entre deux espaces de mêmedimension finie est bijective si et seulement si elle estinjective, si et seulement si elle est surjective.Un endomorphisme d’un espace de dimension finie estinversible à gauche si et seulement s’il est inversible àdroite.Dimension de L (E ,F ) si E et F sont de dimension finie.p⊕Si E 1 ,...,E p sont des sous-espaces de E tels que E =E ii=1et si u i ∈ L (E i ,F ) pour tout i , alors il existe une et uneseule application u ∈ L (E ,F ) telle que u |Ei = u i pour touti .Caractérisation de l’injectivité, de la surjectivité, de labijectivité de u.d) Théorème du rangSi u ∈ L (E ,F ) et si S est un supplémentaire de Keru dansE, alors u induit un isomorphisme de S sur Imu.Théorème du rang : dimE = dimKeru + rg(u).e) Formes linéaires et hyperplansForme linéaire.Hyperplan.Formes coordonnées relativement à une base.Un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle.Équations d’un hyperplan dans une base en dimensionfinie.© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques MPSI23/35