programme de MPSI

CONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESf ) Calcul de primitivesPrimitives usuelles.Calcul de primitives par intégration par parties, par changementde variable.Utilisation de la décomposition en éléments simples pourcalculer les primitives d’une fraction rationnelle.Sont exigibles les seules primitives mentionnées dans lechapitre « Techniques fondamentales de calcul en analyse».On évitera tout excès de technicité.g) Formules de TaylorPour une fonction f de classe C n+1 , formule de Tayloravec reste intégral au point a à l’ordre n.Inégalité de Taylor-Lagrange pour une fonction de classeC n+1 .L’égalité de Taylor-Lagrange est hors programme.On soulignera la différence de nature entre la formule deTaylor-Young (locale) et les formules de Taylor globales(reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange).Séries numériquesL’étude des séries prolonge celle des suites. Elle permet d’illustrer le chapitre « Analyse asymptotique » et, à travers lanotion de développement décimal de mieux appréhender les nombres réels.L’objectif majeur est la maîtrise de la convergence absolue ; tout excès de technicité est exclu.CONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESa) GénéralitésSommes partielles. Convergence, divergence. Somme etrestes d’une série convergente.Linéarité de la somme.Le terme général d’une série convergente tend vers 0.Séries géométriques : condition nécessaire et suffisantede convergence, somme.Lien suite-série.La série est notée ∑ u n . En cas de convergence, sa sommeest notée+∞∑n=0u n .Divergence grossière.La suite (u n ) et la série ∑ (u n+1 − u n ) ont même nature.b) Séries à termes positifsUne série à termes positifs converge si et seulement si lasuite de ses sommes partielles est majorée.Si 0 ⩽ u n ⩽ v n pour tout n, la convergence de ∑ v n impliquecelle de ∑ u n .Si (u n ) n∈N et (v n ) n∈N sont positives et si u n ∼ v n , les séries∑un et ∑ v n ont même nature.c) Comparaison série-intégrale dans le cas monotoneSi f est monotone, encadrement des sommes partiellesde ∑ f (n) à l’aide de la méthode des rectangles.Séries de Riemann.Application à l’étude de sommes partielles et de restes.d) Séries absolument convergentesConvergence absolue.© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques MPSI31/35