Classe préparatoire <strong>MPSI</strong>Programme <strong>de</strong> mathématiquesTable <strong>de</strong>s matièresObjectifs <strong>de</strong> formation 2Description et prise en compte <strong>de</strong>s compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Unité <strong>de</strong> la formation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Architecture et contenu du <strong>programme</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Organisation du texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Usage <strong>de</strong> la liberté pédagogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Premier semestre 6Raisonnement et vocabulaire ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Nombres complexes et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Techniques fondamentales <strong>de</strong> calcul en analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9A - Inégalités dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9B - Fonctions <strong>de</strong> la variable réelle à valeurs réelles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10C - Primitives et équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Nombres réels et suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14A - Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Analyse asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Arithmétique dans l’ensemble <strong>de</strong>s entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Structures algébriques usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Deuxième semestre 21Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21B - Espaces <strong>de</strong> dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22C - Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24A - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24B - Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25C - Changements <strong>de</strong> bases, équivalence et similitu<strong>de</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26D - Opérations élémentaires et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Groupe symétrique et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27A - Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27B - Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Espaces préhilbertiens réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A - Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33B - Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34© Ministère <strong>de</strong> l’enseignement supérieur et <strong>de</strong> la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques <strong>MPSI</strong>1/35
Le <strong>programme</strong> <strong>de</strong> mathématiques <strong>de</strong> <strong>MPSI</strong> s’inscrit entre <strong>de</strong>ux continuités : en amont avec les <strong>programme</strong>s rénovés dulycée, en aval avec les enseignements dispensés dans les gran<strong>de</strong>s écoles, et plus généralement les poursuites d’étu<strong>de</strong>suniversitaires. Il est conçu pour amener progressivement tous les étudiants au niveau requis pour poursuivre avecsuccès un cursus d’ingénieur, <strong>de</strong> chercheur, d’enseignant, <strong>de</strong> scientifique, et aussi pour leur permettre <strong>de</strong> se formertout au long <strong>de</strong> la vie.Le <strong>programme</strong> du premier semestre est conçu <strong>de</strong> façon à viser trois objectifs majeurs :– assurer la progressivité du passage aux étu<strong>de</strong>s supérieures, en tenant compte <strong>de</strong>s nouveaux <strong>programme</strong>s du cycleterminal <strong>de</strong> la filière S, dont il consoli<strong>de</strong> et élargit les acquis ;– consoli<strong>de</strong>r la formation <strong>de</strong>s étudiants dans les domaines <strong>de</strong> la logique, du raisonnement et <strong>de</strong>s techniques <strong>de</strong> calcul,qui sont <strong>de</strong>s outils indispensables tant aux mathématiques qu’aux autres disciplines scientifiques ;– présenter <strong>de</strong>s notions nouvelles riches, <strong>de</strong> manière à susciter l’intérêt <strong>de</strong>s étudiants.Objectifs <strong>de</strong> formationLa formation mathématique en classe préparatoire scientifique vise <strong>de</strong>ux objectifs :– l’acquisition d’un soli<strong>de</strong> bagage <strong>de</strong> connaissances et <strong>de</strong> métho<strong>de</strong>s permettant notamment <strong>de</strong> passer <strong>de</strong> la perceptionintuitive <strong>de</strong> certaines notions à leur appropriation, afin <strong>de</strong> pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathématiqueset dans les autres disciplines. Ce <strong>de</strong>gré d’appropriation suppose la maîtrise du cours, c’est-à-dire <strong>de</strong>sdéfinitions, énoncés et démonstration <strong>de</strong>s théorèmes figurant au <strong>programme</strong> ;– le développement <strong>de</strong> compétences utiles aux scientifiques, qu’ils soient ingénieurs, chercheurs ou enseignants, pouri<strong>de</strong>ntifier les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendreavec un recul suffisant <strong>de</strong>s décisions dans un contexte complexe.Pour répondre à cette double exigence, et en continuité avec les <strong>programme</strong>s <strong>de</strong> mathématiques du lycée, les <strong>programme</strong>s<strong>de</strong>s classes préparatoires définissent un corpus <strong>de</strong> connaissances et <strong>de</strong> capacités, et explicitent six gran<strong>de</strong>scompétences qu’une activité mathématique bien conçue permet <strong>de</strong> développer :– s’engager dans une recherche, mettre en œuvre <strong>de</strong>s stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la transformerou la simplifier, expérimenter sur <strong>de</strong>s exemples, formuler <strong>de</strong>s hypothèses, i<strong>de</strong>ntifier <strong>de</strong>s particularités ou <strong>de</strong>sanalogies ;– modéliser : extraire un problème <strong>de</strong> son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle àla réalité, le vali<strong>de</strong>r, le critiquer ;– représenter : choisir le cadre (numérique, algébrique, géométrique ...) le mieux adapté pour traiter un problème oureprésenter un objet mathématique, passer d’un mo<strong>de</strong> <strong>de</strong> représentation à un autre, changer <strong>de</strong> registre ;– raisonner, argumenter : effectuer <strong>de</strong>s inférences inductives et déductives, conduire une démonstration, confirmerou infirmer une conjecture ;– calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler <strong>de</strong>s expressions contenant <strong>de</strong>s symboles, organiser les différentesétapes d’un calcul complexe, effectuer un calcul automatisable à la main où à l’ai<strong>de</strong> d’un instrument(calculatrice, logiciel...), contrôler les résultats ;– communiquer à l’écrit et à l’oral : comprendre les énoncés mathématiques écrits par d’autres, rédiger une solutionrigoureuse, présenter et défendre un travail mathématique.Description et prise en compte <strong>de</strong>s compétencesS’engager dans une recherche, mettre en œuvre <strong>de</strong>s stratégiesCette compétence vise à développer les attitu<strong>de</strong>s <strong>de</strong> questionnement et <strong>de</strong> recherche, au travers <strong>de</strong> réelles activitésmathématiques, prenant place au sein ou en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> la classe. Les différents temps d’enseignement (cours, travauxdirigés, heures d’interrogation, TIPE) doivent privilégier la découverte et l’exploitation <strong>de</strong> problématiques, la réflexionsur les démarches suivies, les hypothèses formulées et les métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> résolution. Le professeur ne saurait limiter sonenseignement à un cours dogmatique : afin <strong>de</strong> développer les capacités d’autonomie <strong>de</strong>s étudiants, il doit les amenerà se poser eux-mêmes <strong>de</strong>s questions, à prendre en compte une problématique mathématique, à utiliser <strong>de</strong>s outilslogiciels, et à s’appuyer sur la recherche et l’exploitation, individuelle ou en équipe, <strong>de</strong> documents.Les travaux proposés aux étudiants en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong>s temps d’enseignement doivent combiner la résolution d’exercicesd’entraînement relevant <strong>de</strong> techniques bien répertoriées et l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> questions plus complexes. Posées sous forme <strong>de</strong>problèmes ouverts, elles alimentent un travail <strong>de</strong> recherche individuel ou collectif, nécessitant la mobilisation d’unlarge éventail <strong>de</strong> connaissances et <strong>de</strong> capacités.ModéliserLe <strong>programme</strong> présente <strong>de</strong>s notions, métho<strong>de</strong>s et outils mathématiques permettant <strong>de</strong> modéliser l’état et l’évolution<strong>de</strong> systèmes déterministes ou aléatoires issus <strong>de</strong> la rencontre du réel et du contexte, et éventuellement du traitementqui en a été fait par la mécanique, la physique, la chimie, les sciences <strong>de</strong> l’ingénieur. Ces interprétations viennenten retour éclairer les concepts fondamentaux <strong>de</strong> l’analyse, <strong>de</strong> l’algèbre linéaire, <strong>de</strong> la géométrie ou <strong>de</strong>s probabilités.© Ministère <strong>de</strong> l’enseignement supérieur et <strong>de</strong> la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques <strong>MPSI</strong>2/35