programme de MPSI

Image réciproque.CONTENUSComposition.Injection, surjection. Composée de deux injections, dedeux surjections.Bijection, réciproque. Composée de deux bijections, réciproquede la composée.Relation binaire sur un ensemble.Relation d’équivalence, classes d’équivalence.Relations de congruence modulo un réel sur R, moduloun entier sur Z.Relation d’ordre. Ordre partiel, total.CAPACITÉS & COMMENTAIRESNotation f −1 (B). Cette notation pouvant prêter à confusion,on peut provisoirement en utiliser une autre.Compatibilité de la notation f −1 avec la notation d’uneimage réciproque.La notion d’ensemble quotient est hors programme.Calculs algébriquesCe chapitre a pour but de présenter quelques notations et techniques fondamentales de calcul algébrique.CONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESa) Sommes et produitsSomme et produit d’une famille finie de nombres complexes.n∑ n∑ n∑Expressions simplifiées de k, k 2 , x k .k=1k=1k=0Factorisation de a n − b n pour n ∈ N ∗ .Sommes doubles. Produit de deux sommes finies,sommes triangulaires.b) Coefficients binomiaux et formule du binômeFactorielle. Coefficients binomiaux.( ) ( )n nRelation = .p n − pFormule et triangle de Pascal.Formule du binôme dans C.Notations ∑ n∑a i , a i , ∏ n∏a i , a i .i∈I i=1 i∈I i=1Sommes et produits télescopiques, exemples de changementsd’indices et de regroupements de termes.( )nNotation .pLien avec la méthode d’obtention des coefficients binomiauxutilisée en Première (dénombrement de chemins).c) Systèmes linéairesSystème linéaire de n équations à p inconnues à coefficientsdans R ou C.⇆ PC et SI dans le cas n = p = 2.Interprétation géométrique : intersection de droites dansR 2 , de plans dans R 3 .Système homogène associé. Structure de l’ensemble dessolutions.Opérations élémentaires. Notations L i ↔ L j , L i ← λL i (λ ≠ 0), L i ← L i + λL j .Algorithme du pivot.⇆ I : pour des systèmes de taille n > 3 ou p > 3, on utilisel’outil informatique.© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques MPSI7/35