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CONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESUnicité de la limite. Notation limu n .Suite convergente, divergente.Toute suite convergente est bornée.Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, Produit d’une suite bornée et d’une suite de limite nulle.quotient.Stabilité des inégalités larges par passage à la limite.Si (u n ) n∈N converge vers l > 0, alors u n > 0 à partir d’uncertain rang.Théorème de convergence par encadrement. Théorèmesde divergence par minoration ou majoration.e) Suites monotonesThéorème de la limite monotone : toute suite monotonepossède une limite.Théorème des suites adjacentes.Toute suite croissante majorée converge, toute suite croissantenon majorée tend vers +∞.f ) Suites extraitesSuite extraite.Si une suite possède une limite, toutes ses suites extraitespossèdent la même limite.Théorème de Bolzano-Weierstrass.Utilisation pour montrer la divergence d’une suite.Si (u 2n ) et (u 2n+1 ) tendent vers l, alors (u n ) tend vers l.Les étudiants doivent connaître le principe de la démonstrationpar dichotomie, mais la formalisation précise n’estpas exigible.La notion de valeur d’adhérence est hors programme.g) Traduction séquentielle de certaines propriétésPartie dense de R.Caractérisation séquentielle de la densité.Si X est une partie non vide majorée (resp. non majorée)de R, il existe une suite d’éléments de X de limite sup X(resp. +∞).Une partie de R est dense dans R si elle rencontre toutintervalle ouvert non vide.Densité de l’ensemble des décimaux, des rationnels, desirrationnels.h) Suites complexesBrève extension des définitions et résultats précédents.Théorème de Bolzano-Weierstrass.Caractérisation de la limite en termes de parties réelle etimaginaire.La démonstration n’est pas exigible.i) Suites particulièresSuite arithmétique, géométrique. Suite arithméticogéométrique.Suite récurrente linéaire homogène d’ordre2 à coefficients constants.Exemples de suites définies par une relation de récurrenceu n+1 = f (u n ).Les étudiants doivent savoir déterminer une expressiondu terme général de ces suites.Seul résultat exigible : si (u n ) n∈N converge vers l et si fest continue en l, alors f (l) = l.© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques MPSI13/35
Limites, continuité, dérivabilitéCe chapitre est divisé en deux parties, consacrées aux limites et à la continuité pour la première, au calcul différentielpour la seconde.Dans de nombreuses questions de nature qualitative, on visualise une fonction par son graphe. Il convient de soulignercet aspect géométrique en ayant recours à de nombreuses figures.Les fonctions sont définies sur un intervalle I de R non vide et non réduit à un point et, sauf dans les paragraphes A-e) etB-f), sont à valeurs réelles.Dans un souci d’unification, on dit qu’une propriété portant sur une fonction f définie sur I est vraie au voisinage de a sielle est vraie sur l’intersection de I avec un intervalle ouvert centré sur a si a est réel, avec un intervalle [A,+∞[ si a = +∞,avec un intervalle ] − ∞, A] si a = −∞.A - Limites et continuitéLe paragraphe a) consiste largement en des adaptations au cas continu de notions déjà abordées pour les suites. Afind’éviter des répétitions, le professeur a la liberté d’admettre certains résultats.Pour la pratique du calcul de limites, on se borne à ce stade à des calculs très simples, en attendant de pouvoir disposerd’outils efficaces (développements limités).CONTENUSCAPACITÉS & COMMENTAIRESa) Limite d’une fonction en un pointÉtant donné un point a de R appartenant à I ou extrémitéde I , limite finie ou infinie d’une fonction en a.Unicité de la limite.Si f est définie en a et possède une limite en a, alorsf (x) = f (a).limx→aSi f possède une limite finie en a, f est bornée au voisinagede a.Limite à droite, limite à gauche.Extension de la notion de limite en a lorsque f est définiesur I \ {a}.Caractérisation séquentielle de la limite (finie ou infinie).Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit,quotient, composition.Stabilité des inégalités larges par passage à la limite.Théorèmes d’encadrement (limite finie), de minoration(limite +∞), de majoration (limite −∞).Théorème de la limite monotone.Notations f (x) −→ l. x→aLes définitions sont énoncées avec des inégalités larges.Notations lim f (x).x→aNotations limx→ax>af (x) ou limx→a + f (x).b) ContinuitéContinuité, prolongement par continuité en un point.Continuité à gauche, à droite.Caractérisation séquentielle de la continuité en un point.Opérations sur les fonctions continues en un point : combinaisonlinéaire, produit, quotient, composition.Continuité sur un intervalle.c) Image d’un intervalle par une fonction continueThéorème des valeurs intermédiaires.L’image d’un intervalle par une fonction continue est unintervalle.Cas d’une fonction strictement monotone.⇆ I : application de l’algorithme de dichotomie à la recherched’un zéro d’une fonction continue.d) Image d’un segment par une fonction continueToute fonction continue sur un segment est bornée etatteint ses bornes.La démonstration n’est pas exigible.© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.frMathématiques MPSI14/35
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