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Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus1/ 27Sur la précision asymptotique dessystèmes (min, +) linéaires continusJ.-L. Boimond, S. LahayeLISA EA 4094 - Université d’AngersMSR Lille, 16-18 Novembre 2011

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus2/ 27Le papier décrit une méthode de synthèse de commandeen boucle ouverte de systèmes (min, +) linéaires continus,basée sur les notions de :• type de système pour assurer une précision asymptotiquedans le cas de consignes (min, +) polynomiales ;• commande juste-à-temps pour retarder au mieux la commande.Comme dans le cas de la théorie des systèmes conventionnels,la synthèse d’un correcteur basée sur la notionde type s’avère très simple.

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus3/ 27Sommaire1 Type d’un système linéaire conventionnel2 Systèmes (min, +) linéaires continusGraphes d’événements temporisés continusAlgèbre des SystèmesQuelques propriétés asymptotiques des polynômes3 Type et précision asymptotiqueDéfinition du type d’un systèmeSynthèse d’un correcteur en boucle ouverteUn exemple4 Conclusion

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus4/ 27Type d’un système linéaire conventionnel Type d’un système linéaire conventionnelconsignersystèmesortieyLe type d’un système indique sa capacité à poursuivreasymptotiquement des consignes polynomiales.Un système linéaire conventionnel est de type m si m est leplus haut degré du polynôme appliqué en consigne pourlequel l’erreur asymptotique consigne − sortie est bornéemais non nulle. Soit une consigne polynomiale r de degrél, on a :⎧⎨lim err(t) = lim (r−y)(t) =t→∞ t→∞ ⎩0 pour 0 ≤ l < mbornée (≠ 0) pour l = mnon bornée pour l > m.

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continusType d’un système linéaire conventionnelSystème de type 1 : erreur asymptotique bornée, non nulle,pour une consigne polynomiale de degré 1, soit r(t) = α 0 +α 1 × t 1 , α 1 ≠ 0.consignesortier(t)= 0r(t)= 0+ 1tsystèmer(t)= 0+ 1t+ t 225/ 27

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus6/ 27Systèmes (min, +) linéaires continus Systèmes (min, +) linéaires continusGraphes d’événements temporisés continusAlgèbre des SystèmesQuelques propriétés asymptotiques des polynômes

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus7/ 27Systèmes (min, +) linéaires continusGraphes d’événements temporisés continus Graphes d’événements temporisés continusV 1 = 1(limitateur de flux)M( t)pente V 1= 1U6(décalagetemporel)V 2 = 1/24Y(volume initialde fluide)40pente V2= 1/24 6tréponse impulsionnelle(continue, linéaire parmorceaux)x : R −→ (R ∪ {±∞}, min, +)t ↦−→ x(t) : n bre cumulé de tirs de la transition Xjusqu’au temps t.

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus8/ 27Systèmes (min, +) linéaires continusGraphes d’événements temporisés continusTrois systèmes élémentaires pour représenter les GETC : a ( x( t)) = a + x( t) a ( t)+ x(t) = e(t)+ xa a xvolume initial de fluide b ( x( t)) = x( t - b)a0 b ( t)+ décalagedes évé tstimpulsion0 txxV = c b xb temporisation c ( x( t)) = Inf ( x( t - ) + c ) Rx c0 c( t)ct’décalagedu tpsbpente V= ctlimitateur de flux (vmf)0t’t

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus9/ 27Systèmes (min, +) linéaires continusAlgèbre des Systèmes Algèbre des SystèmesDioïde des fonctions non décroissantes de R vers(R ∪ {±∞}, min, +) auquel sont associées :1 l’opération min point-à-point, notée ⊕ :∀t ∈ R, (u ⊕ v)(t) = min(u(t), v(t)).2 l’opération d’inf-convolution, notée ⊗ :∀t ∈ R, (u ⊗ v)(t) = Inf (u(t − τ) + v(τ)).τ∈RRelation d’ordre : u ≼ v ⇔ u(t) ≥ v(t), ∀t (≥ est la relationd’ordre usuelle de R).

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus10/ 27Systèmes (min, +) linéaires continusAlgèbre des SystèmesTout GETC est modélisable par un système (min, +) linéairecontinu obtenu en composant les systèmes élémentairesγ, δ, ω en parallèle (S = S 1 ⊕ S 2 ), en série (S = S 1 ⊗ S 2 ) oupar bouclage (y = S(y) ⊕ u = ⊕ i≥0 Si (u) = S ∗ (u)).V 1= 1uu6 0V 2= 1/2y4 0 1 = u4y ( 0 01 6 1/2) 6 41/2

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continusSystèmes (min, +) linéaires continusAlgèbre des SystèmesuV 1= 3V 2= 277421011V 3= 1,1V 4= 514131619yM( t)2116141040pente asymptotique= r / s = 1r = 72 11 1315 19 20s = 7pente = 5pente =1,1pente =2pente = 3tM = δ 2 γ 4 ω 3 ⊕ δ 11 γ 10 ω 2 ⊕ δ 13 γ 14 (ω 1,1 ⊕ δ 6 γ 2 ω 5 )(δ 7 γ 7 ) ∗M = p ⊕ δ τ γ ν q (δ s γ r ) ∗ 11/ 27

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continusSystèmes (min, +) linéaires continusQuelques propriétés asymptotiques des polynômes Quelques propriétés asymptotiques des polynômesLe degré du polynôme p(t) =I ⊕i=1δ τ i γ ν i ω Vi (t) correspondà sa pente asymptotique, notée sl ∞ (p) = mini=1,...,I (V i).p = 0 V 1 = 1UV 2 = 1/246U 6 1 1/2 4 41 61/ 2YYp( t)40Y = p Upente V 1= 146pente V2= 1/2tdegré de psl (p) = 1/2val (p) = 0val (p) = 0 0 0 0 12/ 27

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus13/ 27Systèmes (min, +) linéaires continusQuelques propriétés asymptotiques des polynômesSoit le monôme δ τ γ ν ω V , on a :• limt→∞δ τ γ ν ω V (t) = γ ν ⊗ limt→∞ω V (t − τ) = γ ν−τ×V ⊗ limt→∞ω V (t) V0Vt V(t) (t - )V

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus14/ 27Systèmes (min, +) linéaires continusQuelques propriétés asymptotiques des polynômesSoit le polynôme p =I ⊕i=1δ τ i γ ν i ω Vi avec V I= sl ∞ (p).On note δ τ Īγ ν Īω V Īle monôme correspondant au comportementasymptotique de p.I VI I I0ItV = sl ( p )I• limt→∞p(t) = limt→∞δ τ Iγ ν Iω V I(t) = γ ν I −τ I ×V I ⊗ limt→∞ω V I(t)

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus15/ 27Systèmes (min, +) linéaires continusQuelques propriétés asymptotiques des polynômes• limt→∞(p ⊕ p ′ )(t) = limt→∞p(t) ⊕ limt→∞p ′ (t)p( t ),p’( t) sl(p)I I’ ’sl (p’)J J0• lim (p ⊗ p ′ ⊕)(t) = lim ( I δ τ i γ ν ⊕i ω Vi ⊗ Jt→∞ t→∞γ ν j ′ −τ ′j=1= J ⊕i=1tsl(p’)sl(p)δ τ j ′γ ν j ′ω V ′j=1j)(t)j ×sl∞(p) ⊕⊗ lim p(t) ⊕ I γ ν i−τ i ×sl ∞ (p ′) ⊗ lim p ′ (t).t→∞ t→∞i=1

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus16/ 27Type et précision asymptotique Type et précision asymptotiqueDéfinition du type d’un systèmeSynthèse d’un correcteur en boucle ouverteUn exemple

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continusType et précision asymptotiqueDéfinition du type d’un système Définition du type d’un systèmeSoit r une consigne (min, +) polynomiale de degré l. Unsystème (min, +) est de type (m, m ′ ) silimt→∞ (r − y)(t) = ⎧⎨⎩0 pour 0 ≤ l ≤ mborné (> 0) pour m < l ≤ m ′ .+∞ pour l > m ′type m d’un système linéaire conventionnel0 borné mtype ( m, m’ ) d’un système linéaire (min, +)0 borné m m’{0 pour l ≤ mRq : Type (m ′ , m ′ ) qd m ′ ′≤ m : lim (r−y)(t) =t→∞ +∞ sinon.17/ 27

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus18/ 27Type et précision asymptotiqueDéfinition du type d’un systèmeSoient M = p ⊕ δ τ γ ν q(δ s γ r ) ∗ et r =δ τ k ′′γ ν k ′′ω V ′′ un poly-knôme de degré l.K ⊕k=1• On a : lim (Mr)(t) = n ⊗ lim r(t)t→∞ t→∞avec⊕n = I γ ν ⊕i−τ i ×l⊕ J γ ν+ν ′i=1j=1j −(τ+τ j ′)×l.En fait, seuls les monômes représentant les sommets appartenantà l’enveloppe convexe formée par le polynômeI⊕γ ν ⊕i−τ i ×l⊕ J γ ν+ν j ′ −(τ+τ j ′)×lsont utiles (pour le calcul).i=1j=1⊕Par la suite, on pose n = N γ ν n i−τ ni ×l .i=1

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus19/ 27Type et précision asymptotiqueDéfinition du type d’un systèmeOn a : lim (r − y)(t) =⎧ t→∞τ n1 × l − ν n1 pour 0 ≤ l ≤ ν n 2−ν n1τ n2 −τ n1,τ n2 × l − ν n2 pour ν n 2−ν n1τ n2 −τ n1⎪⎨ τ n3 × l − ν n3 pour ν n 3−ν n2τ n3 −τ n2⎪⎩.≤ l ≤ ν n 3−ν n2τ n3 −τ n2,≤ l ≤ ν n 4−ν n3τ n4 −τ n3,τ nN × l − ν nN pour ν n N−ν nN−1τ nN −τ nN−1≤ l ≤ r s(= sl ∞ (M)),+∞ pour r s < l.• Le modèle M est de type (m, m ′ ) = ( ν n 2τ n2, r s ) ssival δ (M) (= τ n1 ) = 0 et val γ (M) (= ν n1 ) = 0..

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continusType et précision asymptotiqueSynthèse d’un correcteur en boucle ouverte Synthèse d’un correcteur en boucle ouverterCuMSyy = S r = MC rSupposons que M est de degré r s, soit le correcteur :C = δ −val δ(M) γ −val γ(M) ω m ′.̌ Le terme δ −val δ(M) γ −val γ(M) permet de compenser leterme δ val δ(M) γ valγ(M) du modèle.̌ Le terme ω m ′ permet de limiter le flux de l’entréesachant que m ′ ≤ r s . 20/ 27

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus21/ 27Type et précision asymptotiqueSynthèse d’un correcteur en boucle ouverteLa valeur de m ′ correspond au plus haut degré des consignespolynomiales à même d’être appliquées.Sachant que, plus la valeur de m ′ sera petite, plus la commandeu correspondant à une consigne polynomiale donnéesera grande (relativement à ≼), autrement dit, plusl’objectif de juste-à-temps sera satisfait.• Le correcteurC = δ −val δ(M) γ −val γ(M) ω m ′est le plus grand correcteur tel que le système S = MC estde type (min( νn 2τ n2, m ′ ), m ′ ⊕) avec n = N γ ν n i−val γ (M)−(τ ni −val δ (M))×l .i=1

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus22/ 27Type et précision asymptotiqueUn exemple Un exempleSoit M = δ 2 γ 4 ω 3 ⊕ δ 11 γ 10 ω 2 ⊕ δ 13 γ 14 (ω 1,1 ⊕ δ 6 γ 2 ω 5 )(δ 7 γ 7 ) ∗ .uV 1= 3V 2= 277421011V 3= 1,1V 4= 514131619yM( t)2116141040pente asymptotique= r / s = 1r = 72 11 1315 19 20s = 7pente = 5pente =1,1pente =2pente = 3t

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus23/ 27Type et précision asymptotiqueUn exemplě Supposons que le plus haut degré des consignes polynomialesà considérer est égale à 0, 9, ce qui fixe la valeurde m ′ à 0, 9 (la condition m ′ ≤ r s= 1 étant satisfaite).̌ Sachant que val δ (M) = 2 et val γ (M) = 4, il en résulte quele correcteurC = δ −2 γ −4 ω 0,9est le plus grand correcteur tel que :le système S = MC est de type (min( ν n 2τ n2, m ′ ), m ′ ) avec m ′ =⊕0, 9 et n = N γ ν n i−val γ (M)−(τ ni −val δ (M))×l .i=1

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continusType et précision asymptotiqueUn exemplě On déduit n = N ⊕γ ν n i−val γ (M)−(τ ni −val δ (M))×li=1de l’expressionde M = δ 2 γ 4 ω 3 ⊕ δ 11 γ 10 ω 2 ⊕ δ 13 γ 14 (ω 1,1 ⊕ δ 6 γ 2 ω 5 )(δ 7 γ 7 ) ∗ .En fait parmi les sommets correspondant au système MC,soient (0, 0), (9, 6), (11, 10), (17, 12), le sommet (11, 10) n’appartientpas à l’enveloppe convexe générée par ces monômes,soit :12sommetscorrespondantà MCn = 0 - 0 l1060911 6 - 9 l 12 - 17 l 24/ 2717t

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus25/ 27Type et précision asymptotiqueUn exemple⎧⎪⎨⎪⎩Il en résulte queC = δ −2 γ −4 ω 0,9est le plus grand correcteur tel que le système S = MC soitde type égal à (2/3; 0, 9).Plus précisément, si r est une consigne polynomiale de degrél, on a : lim (r − y)(t) =t→∞lim (r - y)(t)0 pour 0 ≤ l ≤ m = 6 9 = 2 39l − 6 pour 2 3 ≤ l ≤ 12−617−9 = 3 417l − 12 pour 3 4 ≤ l ≤ m′ = 0, 9+∞ pour l > 0, 93,33213/4t 02/3 3/40,9t

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus26/ 27Conclusion Conclusion (I)Comme dans le cas des systèmes linéaires conventionnels,la notion de type d’un système, associée à celle de JAT,mène à des correcteurs simples à régler.commande ≤ commande ≤ commandeJAT neutre JAT asympt. JAT optimaleMM = { uM u = M}r -val (M) -val (M)M = { uM u r}m’M connu rval (M),val (M), sl (M) connusconnaissance a prioridu plus haut degré desconsignes polynomialesM connuconnaissancea priori de r

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus27/ 27ConclusionConclusion - perspectives (II)̌ Etendre l’étude au cas d’une structure de commandeen BF, afin de prendre en compte une perturbation d additive(⊕) sur le système. La relation entrées-sortie résultante,soity = d ⊕ MC(r ⊕ y) = (MC) + r ⊕ (MC) ∗ d,permettrait la synthèse d’un plus grand correcteur - dansun objectif de JAT - visant à assurer une précision asymptotiquedans le cas d’entrées r et d polynomiales.̌ Etudier l’intérêt d’associer au critère de précision asymptotiquecelui de précision dynamique, induit par un correcteur"proportionnel".

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus28/ 27ConclusionCommande en BO - Type d’un système linéaireconventionnel∑r y T (s) = n n i s i ∑/ n d i s i stableTi=0 i=0Err(s) = (1 − T (s))R(s)Système T de type m si n i = d i pour i = 0 à m − 1 etn m ≠ d m .

Sur la précision asymptotique des systèmes (min, +) linéaires continus29/ 27ConclusionCommande non négativePour ne pas générer de commande u négative, autantdans le domaine temporel qu’événementiel, c-à-d, telleque val δ (u) < 0, ou val γ (u) < 0, on modifie éventuellementla consigne r avant son application sur le correcteur C.Soit Pr τ,ν l’opérateur de projection de Σ vers Σ où :{ r(t) si t ≥ τ et r(t) ≥ νPr τ,ν (r(t)) =max(r(τ), ν) sinon.Un tel projecteur revient, au lieu d’appliquer une consigner négative, à appliquer durant un temps minimum une consigneégale à la valeur max(r(τ), ν), ceci sans changer lapropriété asymptotique du correcteur.