Grandeurs et Mesures Qu'est-ce que mesurer ? Grandeur, grandeur ...

Qu’est-ce que mesurer ?Grandeurs et MesuresC. Ouvrier-BuffetPE1 – 2008/2009• Est-ce si simple de mesurer :• L’épaisseur d’une feuille de papier (longueur) ?• La masse d’un trombone ?• L’aire d’un cercle ?• Un angle en CM (rapporteur -> 6 ème ) ?• Périmètre quadrilatère = somme des 4mesures de longueur.• Mais peut-on donner du sens à l’addition dedeux dates ?• Ou de deux températures (deux récipients à t°T1 et T2, quel sens a T1+T2) ?• Qu’est-ce qu’une GRANDEUR ?Grandeur, grandeur repérable,grandeur mesurableEstimation(approximation,choix d’une unité)Communication(importance d’uneunité commune)Précision(utilisation d’uninstrument)ObjetGrandeurNombreComparaison• Grandeur : qualité physique d’un objet àlaquelle on peut associer des nombreslorsque l’on fait des comparaisonsd’objet à objet.• Grandeur repérable : la température parexemple.• Grandeur mesurable : classer, comparer,définir une addition, définir le produit parun nombre.• Longueur, masse, aire, volumeEspace et temps• Longueur• Volume• Masse• Temps• Aire (cycle3)• Angle (cycle3)MesureNombres• Dénombrement•Naturels• Rationnels etdécimaux•Numération•Lecture•OpérationsComment comparer ?Longueur• Des comparaisons directes (ex :compas, calque)• Comparaisons indirectes• Nécessité d’une mesure de référence• En particulier lorsqu’il y a plusieursobjets,• De « caractéristiques » très différentes-> unités de mesure• Longueur ≠ Mesure de la longueur• Conversionskm hm dam m dm cm mm5, 3 00, 5 4 05,3 dm = 53 cm = 530 mm540 m = 0,54 km• Périmètre d’un polygone : somme desmesures des longueurs des côtés• Longueur d’une courbe

Erreurs d’élèves aire/périmètre• Conceptions « erronées »• 2 surfaces de même périmètre ontmême aire : Faux.Erreurs d’élèves aire/périmètre• Conceptions « erronées » (fin)• L’aire et le périmètre varient dans lemême sens : Faux• L’aire d’un carré est proportionnelle àla longueur de son côté : FauxAire – ExerciceAire – Exercice (1)On considère un terrain en forme deparallélogramme ABCD.1- A partir d’un point P intérieur au parallélogramme,on partage le terrain en deux terrains de formepolygonale PADC et PABC. Donner, en justifiant votreréponse, toutes les positions du point P pour que lepartage se fasse à aires égales.2- A partir d’un point M intérieur au parallélogramme,on partage cette fois le terrain de la façon suivante :une partie est formée des triangles AMB et DMC, l’autredes triangles AMD et BMC. Comment choisir M pour quele partage se fasse à aires égales ?Aire(ABC) = Aire (ADC) = Aire (ABCD) /2Aire – Exercice (2)MasseMême aire quelle que soit la positiondu point M !• Attention : masse et poids• P = mg (le poids varie dansl’univers)• Analyse de travaux d’élèves (2002)

Travaux d’élèves (masse)a) NiveauRésoudre l’exercicemathématiquement AVANT derépondre aux questions …-> il faut produire des écrituresdécimales donc CM1Travaux d’élèves (masse)b) Compétences• Comprendre le principe de pesée (dont lapesée indirecte)• Maîtriser les écritures décimales• Convertir les unités (1kg=1 000 g)• Reconnaître une situation additive(composition d’états)Volume• Volume (m 3 …) et capacité (l, dl …)• Conversionskm 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 30 0 7 51 2 8 0 075 m 3 = 0,075 dam 3 et 12,8 dm 3 = 12 800 cm 31 litre = 1dm 3Temps et duréeTemps et durée• L’aspect ordinal du temps désigne un momentprécis, ponctuel ; il s’agit de l’instant, dumoment, de l’heure (ex : il est 2h).• L’aspect cardinal relié au temps exprimel’intervalle de temps qui s’écoule entre deuxmoments. Il s’agit ici de la durée entre le débutet la fin d’un événement (ex : le spectacle dure2h). On parle alors de la mesure de la duréelorsque l’on s’intéresse à l’aspect cardinal.Temps (instant)OrdinalRepérableNb relatif (ex : -50 av JC)Linéaire et irréversiblePériodique (les mois, les saisons …)Horloge, frise du temps, calendrier,emploi du temps …DuréeCardinalMesurableNb naturelGrandeur continueSystème d’unitéssexagésimalChronomètre,clepsydre, sablier …

Temps et durée : prgLecture de l’heure : difficultés• Construction de l’espace temps• Cycles 1, 2, 3• Avant, après, l’heure des papas-mamans,hier, aujourd’hui, demain, les jours de lasemaine, les mois de l’année, les saisons,autrefois, la préhistoire, la frise du temps,….• Lecture de l’heure-> Fin cycle 2, début cycle 3• Calcul sur les nombres « complexes »-> Cycle 3• Trois codes en interaction : Oral, Analogique(Aiguilles), Digital.• La petite aiguille avance de manièrecontinue, proportionnellement à la grande : à11 h 55, elle est plus près de 12 que de 11.• On ne lit pas avec la grande aiguille lesnombres marqués par l’aiguille, il faut les« multiplier par 5 ».• La pendule analogique fonctionne en base12, la pendule numérique en base 24.Lecture de l’heure :difficultés (suite)• Des mots particuliers : midi, minuit.• Chiffres romains, pas de chiffres.• Deux lectures pour la même heure :• Une lecture particulière des quarts et demiheures: 9h15 = 9 h et quart.• Une lecture particulière des minutes passée lademi : 10h50 = 11h moins 10.• Une même lecture pour deux instants : 1h ¼ : matin ou après-midi ?La difficulté du systèmesexagésimal• Un système multi-bases• 365 jours, 24 heures, 60 minutes,60 secondes, 10 dixièmes de seconde …• … donc forcément complexe.• Deux types de problèmes :• Problèmes additifs avec 3 types de difficultés :• sens : trouver l’opération, confusion temps – durée• technique : effectuer le calcul• système multibase, sexagésimal• développer le calcul réfléchi, surtout pour ‘-‘• recherche de l’information : horaires sncf, …• Problèmes de conversionExtraits d’un sujet (Aix 2002)• Effectuer l’opération suivante etexpliquer la démarche pour un élèvenon muni de calculetteh min s3 17 41- 2 24 53… … …Extraits d’un sujet (Aix 2002)h min s3 17 41- 2 24 53… … …h min s2 76 101- 2024525348h min s3 16 101- 2 24 53… … …48

Extraits d’un sujet (Aix 2002)• Exercice (manuel) : Trouve la bonneréponse. Dix millions de secondes fontenviron : 1 jour, 12 jours, 1 mois, 4 mois,1 an.• Pierre tape 10 000 000 : 60, puis diviseson résultat par 60, puis divise encorepar 24.• Que cherche-t-il à calculer ?• Il a lu sur son écran 115,7 et annonce « c’est115 jours et 7 heures ; comme 4x30=120, çafait environ 4 mois ». Analyser sa réponse.