Traitement du Signal Le Filtrage Recursif - PRIMA

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Filtrage Récursif. Séance 12Méthodes de Conception des Filtres RécursifIl y a trois méthode de conception des filtres récursifs :1) Conception par placement des Pôles et Zéros dans le plan z.2) Conception assisté par ordinateur utilisant l'optimisation linéaire.3) Transposition d'un filtre analogique.Pour faire une conception par placement des pôles, il faut calculer la transfomationen Z inverse.Conception par placement des pôles et zérosConsidérons H(z) = Z{h(n)}.Les pôles de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H(z) tend vers l'infini.Les zéros de H(z) sont les valeurs de z pour lesquelles H(z) est null.Si H(z) possède M zéros z m et N pôles, p n , on peut la mettre sous la forme :∏H(z) = Y(z)X(z) = P(z) m=1Q(z) =M(z – zm )N(z – pn )∏n=1=b 0 + b 1 z –1 + ... + b N z –N1 + a 1 z –1 +...+ a N z –NLes racines de P(z) sont des racines de H(z), Les racines de Q(z) sont de poles deH(z). La région de convergence ne contient aucun pôle.Afin de connaître les la réponse impulsionnell, h(n) on fait le divisionH(z) = b 0 + b 1 z –1 + ... + b N z –N N1 + a 1 z –1 +...+ a N z –N = ∑ h(n) z –nn=0On peut toujours écrire une transformée en z sous cette forme, et représenter lesignal par les listes de pôles et zéros.Les zéros et les pôles complexes de H(z) sont du type α ± jβ.Exemple : considérons h(n) = a n u(n). (avec |a| < 1)12-6
Filtrage Récursif. Séance 12H(z) =∞∑ a n z –n =n=011 – az –1 = zz – aDonc un zéro pour z 1 = 0 et un pôle pour p 1 = a.Im{Z}ω oθaϕRe{Z}On note que z = r e jωDonc, La transformé de Fourier est une transformée de z pour lesquelle |z| = 1.H(ω ο ) = Ae jω oe jω o – aLa numérateur est un vecteur joignant l'origine au point z = e jω oLa dénominateur est la différance de deux vecteurs.La module de X(ω ο ) est la rapport des modules de | e jω o| et | e jω o – a|La phase et la différence d'angles fait par ce deux vecteurs avec l'axe réel.On note que la module est proportional à l'inverse de la distance avecla pôle (parce que la zéro est à l'origine.12-7
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Page 5: Filtrage Récursif. Séance 12Res a
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