juin 2006 - Palais de la découverte

DÉCOUVERTE N°339 JUIN 20069PIERRE AUDINET GUILLAUME REUILLERDépartement de mathématiquesdu Palais de la découverteFORMESMATHÉMATIQUESQu'est-ce qu'un hypercube ?Figure 1© Palais de la découverte/G. ReuillerCet objet est présenté dans l'exposition permanenteFormes mathématiques.

10DÉCOUVERTE N°339 JUIN 2006Entrez dans la quatrième dimensionLes mathématiciens n'ont pas attendu la célèbre série télévisée de science-fiction pour se demanderce que pourrait être la « quatrième dimension ». Pour nous qui voyons en trois dimensions,un objet de dimension quatre est difficile à imaginer. Essayons tout de même, en nous rappelantcomment on passe d'une dimension à l'autre.Partons d'un objetde dimension zéro :un point (ici représentépar une surface !).Déplaçons-le entredeux positions limites :on obtient un segment,objet à une dimension.Si on déplacece segmentperpendiculairementà la droite quile contient,on peut obtenir un carré,donc un objet de dimension deux.Continuons : si on déplace ce carréperpendiculairement au plan qui lecontient, on peut obtenir un cube, objetde dimension trois. Et si on pouvaitdéplacer ce cube perpendiculairementà l'espace à trois dimensions qui lecontient ? On pourrait obtenir unhypercube, objet de dimension quatre.Conceptuellement, cela ne poseaucun problème. Le souci vient dela nécessité de se représenter cenouvel objet. Comparons avec cequi se passe pour le cube. Quereprésente ce dessin pour vous ?À moins d'avoir complètementoublié vos cours de géométrie,il y a peu de chance que vous ayezpensé à un carré. Pourtant, dansle dessin en perspective cavalièred'un cube, la même figure géométriquereprésente un carré, censéêtre placé dans un plan perpendiculaireà celui de la feuille.Représenter en deux dimensionsun objet qui en possède trois,c'est nécessairement perdre del'information sur cet objet.On ne peut pas représenter sur la feuille les six faces ducube sans les déformer. En fait, si l'on s'imagine un cubeà la vue du dessin précédent, c'est essentiellement pourdes raisons culturelles : on en a l'habitude.Le même problème va se poser pour l'hypercube. Quandon va le représenter en trois dimensions, on va devoirdéformer certains cubes qui ne vont plus apparaître commetels. Sur la photo de la page précédente, les deux cubesformés par les arêtes jaunes, oranges et vertes ne sontpas déformés, contrairement aux six autres formés avecles autres familles d'arêtes.Et quand on représente notre hypercubeen seulement deux dimensions,c'est encore pire.La différence de taille avec un cube,c'est que personne ne verra jamais unhypercube !P. A. et G. R.