par Marc GOUTAUDIER, février-mars 2006 (n°335-336), p37-43

D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 637D. R./Extrait de la collection du Palais dela découverte OKAY.Joseph-Louis Lagrange,mathématicien français(1736-1813).Les pointsde LagrangeMARC GOUTAUDIERMédiateur scientifiqueau départementd'astronomie-astrophysiquedu Palais de la découverteÉnoncée en 1687, la loi de la gravitationuniverselle fut l'objet de laborieuses étudeset d'âpres débats tout au long des XVIII e ,XIX e puis XX e siècles. Dans un essai surle mouvement de la Lune, Joseph-LouisLagrange (1736-1813) mit à jour des solutionsparticulières et purement analytiquesde plusieurs corps en interactions mutuelles.La découverte d'astéroïdes dont lescaractéristiques orbitales répondent auxexigences de Lagrange et, plus encore,l'exploitation actuelle de ces solutionsdans le domaine spatial prêtent un caractèrevisionnaire à son étude.

38D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 6a)b)c)FIGURE 1Problème à deux corps.Deux corps s'attirent mutuellementen raison de la forcegravitationnelle qu'ils exercentl'un sur l'autre. Sans vitesseinitiale, les corps chutent versleur centre de masse a).S'ils possèdent des vitessesperpendiculaires à la directiondu centre de masse, il peuventtourner autour de ce même centreen décrivant des trajectoireselliptiques b) ou, dans un cas idéal,des cercles c).Le problème à deux corpsD'une élégance déconcertante en théorie, laloi de la gravitation universelle se révèle dansson application d'une complexité redoutable.On connaît depuis Isaac Newton (1643-1727)la solution du problème à deux corps, dont lespositions peuvent être ainsi déterminées enfonction du temps.Figurons-nous une planète livrée à ellemême.Elle se retrouverait en état d'inertie etse déplacerait dans l'espace en ligne droite,toujours à la même vitesse. Si, maintenant,nous la soumettons à l'attraction du Soleil, ellene va plus en ligne droite, sa trajectoire s'incurveet la planète finit par décrire une ellipseautour de l'étoile. Pour étudier un tel problèmeil convient, en toute rigueur, de se placer dansun référentiel dit « galiléen ». Le Soleil n'y estpas immobile et décrit, tout comme la planète,une ellipse autour du centre de masse Soleilplanète.L'excentricité de ces ellipses dépendde la distance qui sépare les deux astres, deleurs vitesses et de leurs masses respectives.Les corps s'attirent mutuellement. S'ils nepossédaient aucune vitesse initiale, ils tomberaientl'un sur l'autre pour se percuter en leurcentre de masse. Du fait de leur vitesse, tout sepasse comme si une force, dite « centrifuge »,s'opposait à cette chute. Dans un cas idéal, lesvitesses s'ajustent parfaitement, la force centrifuges'oppose exactement à la force gravitationnelleet les corps décrivent des trajectoirescirculaires (fig. 1).Mais sorti de ce cadre purement théorique,et si l'on s'intéresse à l'évolution dans le tempsdes positions de plus de deux corps (parexemple aux mouvements des planètes et duSoleil dans le système solaire), les calculs secompliquent pour aboutir à une impasse.Comme le montra Henri Poincaré (1854-1912) en 1890, le problème à plus de deuxcorps n'a pas de solution exacte. De plus, uneincertitude, même infime, sur les positions oules vitesses des corps concernés peut totalementbouleverser leurs trajectoires. Est-ce àdire qu'il est vain d'essayer de les prédire ?Non, mais elles ne pourront être déterminéesque d'une façon approximative et pour unedurée limitée.Méthode des perturbationsDans le cas du système solaire, où lesmasses des planètes sont bien plus petites quecelle du Soleil, le problème peut être simplifiédans un premier temps en faisant abstractiondes interactions des planètes entre elles, ce quirevient à considérer chaque planète tournantautour du Soleil selon les termes du problème

D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 639D. R./Extrait de la collection du Palais dela découverte OKAY.Henri Poincaré,mathématicien français(1854-1912).Léonhard Euler,mathématicien suisse(1707-1783).D. R./Extrait de la collection du Palais dela découverte OKAY.à deux corps. Puis l'on tient compte de l'effetdes autres planètes en considérant qu'ellesperturbent le système. Les résultats de cesperturbations sont alors pris en compte ; oneffectue les calculs une deuxième fois, puisune troisième fois en intégrant les résultatsdes calculs précédents, et ainsi de suite. Cetteméthode, initiée au XVIII e siècle par PierreSimon Laplace (1749-1827), permit d'obtenirdes théories planétaires en bon accord avecl'observation ; les écarts constatés ne s'expliquèrentqu'à la suite d'importantes découvertes.Ainsi l'étude de la trajectoire de laplanète Uranus – identifiée en 1781 parWilliam Herschel (1738-1822) – n'était pas enaccord avec les théories planétaires. En 1846,Urbain Le Verrier (1811-1877) imagina quecet écart résultait de la présence d'un astreperturbateur inconnu : il put ainsi découvrir laplanète Neptune. L'incapacité des théoriesplanétaires à rendre compte de l'avance, tropgénéreuse, du périhélie de la planète Mercuredisparut quant à elle en 1915, par l'examendes conséquences de la relativité généraled'Albert Einstein (1879-1955).Le dernier écart opposa une plus longuerésistance. Il concernait le mouvement de laLune. Il est vrai que sa résolution est ardue.Dans un premier temps, le « problème principal» s'attache à décrire le mouvement quiserait celui de notre satellite sous l'action de laTerre et du Soleil si les trois corps étaientréduits à leur centre de gravité. Puis, les effetsde la non-sphéricité de la Terre et des perturbationsplanétaires sont pris en compte.Durant le XVIII e siècle, l'Académie dessciences de Paris proposa à de nombreusesreprises un prix sur le sujet. Mais il faudraattendre 1939 pour que Spencer Jones (1890-1962) fasse concorder résultats et observations.La superposition de nombreux effets,dont un ralentissement séculaire de la rotationterrestre, compliquait diablement la chose.Points de LagrangeEn 1772, alors qu'ils cherchaient à résoudrece problème, Leonhard Euler (1707-1783) etJoseph-Louis Lagrange remportent le prix del'Académie des sciences de Paris. En parachevantles travaux du premier, antérieurs dequelques années, Lagrange démontre l'existencede cinq positions d'« équilibre », aujourd'huinommés « points de Lagrange », quiaccompagnent une planète dans sa révolutionautour du Soleil. En théorie, un troisièmecorps placé en l'un de ces points et affecté dela bonne vitesse suivrait parfaitement le balletdes deux autres corps. Décrivant des ellipsesautour de leur barycentre commun, les trois

40D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 6L3FIGURE 2Points de Lagrange.En théorie, il existe à tout moment cinq positions,dites points de Lagrange, qui accompagnentdeux corps tournant l'un autour de l'autre.Les points L1, L2, L3 sont alignés avec les deuxcorps et dépendent des masses en présence.L4 et L5 sont en revanche toujours placés ausommet de deux triangles équilatéraux qu'ilsforment avec les deux corps.corps peuvent s'éloigner ou se rapprocher lesuns des autres. Mais la figure dessinée par cesderniers garde une forme constante car lesdistances relatives entre ces corps varient enconservant des rapports constants.Trois points de Lagrange (L1, L2, L3), déjàsuggérés par Euler, se trouvent alignés avecles deux premiers corps, et leur positiondépend des masses des trois corps. Les deuxautres points (L4, L5) sont situés aux sommetsde triangles équilatéraux que l'on peutformer avec les deux premiers corps. Leurposition est cette fois-ci indépendante desmasses (fig. 2). Fait remarquable, ces configurationssont « centrales » : lâchés, sans vitesseinitiale, les trois corps viendraient se percuterau centre de masse du système. En leur attribuantun mouvement de rotation communautour de ce même centre de masse, les corpsles plus éloignés tournent plus vite ; onconstate alors que la force centrifuge subiepar n'importe lequel des trois corps vientcontrer les forces gravitationnelles exercéesL4L5L1L2par les deux autres, selon un rapport identiquedans les trois cas. Les trajectoires destrois corps se révèlent semblables et synchronisées.Enfin, si l'on ajuste les vitessesdes corps de manière que les forces centrifugescompensent exactement les forcesgravitationnelles, les trajectoires deviennentcirculaires (fig. 3).Dans ce dernier cas, si l'on étudie le problèmedans un repère tournant avec lescorps autour du centre de masse, tel unmanège, les corps conservent les mêmespositions : on peut parler d'équilibre.Astéroïdes troyensLagrange précise, dans son Essai sur leproblème des trois corps de 1772 : « Cetterecherche n'est à la vérité que pure curiosité.» Et il ajoute : « Quoique ces casn'aient pas lieu dans les systèmes dumonde, nous croyons cependant qu'ilsméritent l'attention des géomètres, car ilpeut résulter des lumières pour la solutiongénérale des trois corps. »Or, depuis la découverte de l'astéroïdeCérès en 1801 par Giuseppe Piazzi (1746-1826), le nombre de planètes mineuresrecensées dans le système solaire n'a cessé decroître. En 1906, Max Wolf (1863-1932)détecte Achille. Cet astre présente un mouvementétrangement semblable à celui de laplanète Jupiter et la précède d'environ 60° surson orbite ; il dessine avec le Soleil et laplanète un triangle équilatéral ! Depuis, lesastronomes ont découvert un nombreincroyable de corps compagnons de Jupiter,qui la précèdent dans sa révolution (point L4)ou qui la suivent (point L5). En 2004, ils enrecensaient 1700 et de récentes études estimentqu'il en existerait environ deux millionsde plus d'un kilomètre de diamètre.Dénommés respectivement « grecs » (pointL4) et « troyens » (point L5), les premiersastéroïdes découverts furent ainsi désignés enréférence aux personnages de l'Iliaded'Homère, épopée qui relate la dernière annéede la guerre de Troie. Par extension, un astreoccupant une telle position vis-à-vis de n'im-

D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 641FIGURE 3a)Point de Lagrange L4.En théorie et sans aucune hypothèsesur les masses en présence, un corpsplacé au point de Lagrange L4 ou L5(ici L4) et pourvu d'une vitesseadéquate, décrira autour du centre de masseune trajectoire similaire à celle des deux autrescorps. À tout moment, les distances entre les corpsconservent entre elles des rapports constantset le triangle dessiné par les trois corps demeureéquilatéral.Sans vitesse initiale, les corps chutent vers leur centrede masse a) ; si les corps possèdent des vitessesperpendiculaires à la direction du centre de masse,ils peuvent tourner autour en décrivant des trajectoireselliptiques b) ou, dans un cas idéal des cercles c).b)c)porte quelle planète et du Soleil, ou mêmeencore d'un satellite et de sa planète, estaujourd'hui nommé « astéroïde troyen » ou« satellite troyen ». On connaît aujourd'huinon seulement des troyens de Jupiter, maisaussi de Mars, de Neptune et de certains satellitesde Saturne. Plus proches de nous, delégères concentrations de poussière ont étéobservées aux points L4 et L5 du systèmeTerre-Lune.Stabilitéautour des points de LagrangeIl n'est pas surprenant de constater que,parmi les cinq points de Lagrange, seuls lespoint L4 et L5 sont privilégiés. Autour d'euxse créent des îlots de stabilité aptes à hébergerdes astéroïdes peu massifs.L'étude de Lagrange ne se préoccupait pasdes masses en jeu, ni des conséquencesinduites par les perturbations légères qu'un telsystème subit en pratique, mais ses successeursmontrèrent clairement que de tels équilibresne sauraient être stables : un léger écartdes corps en position ou en vitesse les rompraitfatalement. Il est néanmoins possible derestreindre le problème en supposant que l'undes corps soit si peu massif par rapport auxdeux autres qu'il n'exercerait aucune actionsur eux. Dans ce cas, si les points L1, L2, L3demeurent instables, les positions L4 et L5siègent au sein de zones de stabilité au traversdesquelles des corps peu massifs peuvent semaintenir durablement. Cette stabilité n'esttoutefois possible que si l'un des deux premierscorps est beaucoup plus massif quel'autre : sa masse doit être au moins vingt-cinqfois plus importante. Les librations (oscillations)des astéroïdes troyens autour des pointsL4 ou L5 sont extrêmement variées. Les corpsdécrivent des courbes compliquées autour deces points mais restent confinés à l'intérieurde régions dont les contours évoquent laforme d'un têtard (fig. 4).C'est en réalité la force de Coriolis, s'appliquantsur tout corps en mouvement dans unrepère tournant, qui est responsable de la stabilité.Lorsque l'astéroïde troyen se déplacedans le sens direct autour de L4 ou L5, la forcede Coriolis entre en jeu et, au lieu de s'écarterde ce point, l'astéroïde tourne alors autour.Par extension, un astéroïde peut aussi fairedes allers-retours entre les points L4 et L5.Dans ce cas, sa trajectoire reste confinée dansune zone en forme de fer à cheval qui épousela trajectoire de la planète et qui englobe lespoints L4, L3 et L5. Toutefois, on ne parle pasdans ce cas d'« astéroïdes troyens » mais plusgénéralement d'« astéroïdes co-orbitaux ».

42D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 6Dans la pratique, les trajectoires suivies partous ces astéroïdes se trouvent bien souventinclinées – et le sont parfois très fortement –par rapport au plan de trajectoire de la planèteautour du Soleil. Si l'on prend en considérationles orbites en forme de fer à cheval, ondénombre à l'heure actuelle deux satellites coorbitauxpour notre planète, Cruithne et2002AA29. Du fait des perturbations engendréespar les autres planètes, plusparticulièrement Jupiter, ces deux petits astresn'accompagneront la Terre que pour une duréeFIGURE 4Trajectoires des satellites co-orbitaux.Les satellites co-orbitaux accompagnentune planète dans sa révolution autour du Soleil.Observé dans un repère tournant, un satellitetroyen décrit des boucles a) dans une régiondéterminée, située autour de L4 ou L5.Les satellites dont l'orbite est dite « en ferà cheval » b) sont confinés dans une régionenglobant L4, L3 et L5. (Source : dePateret Lissauer.)limitée.L1 et L2, positions privilégiéespour les satellites artificielsDe par leur instabilité, les points L1 et L2 dusystème Soleil-Terre ne peuvent accueillir desastres du système solaire. On les exploiteaujourd'hui dans le cadre de nombreux projetsspatiaux. Des satellites sont envoyés en cespoints, situés à un million et demi dekilomètres de la Terre, et tournent autour suivantdes orbites dites en « halo », qui présententl'aspect de larges ellipses (fig. 5). Ymaintenir ces satellites ne nécessite que delégères corrections de trajectoire, et permetd'économiser le combustible si précieux dansl'espace. Mais les points L1 et L2 sont surtoutdes positions hautement stratégiques. Commeils ne tournent pas autour de la Terre, cessatellites ne rentrent jamais dans son côned'ombre : les panneaux solaires peuvent ainsifonctionner sans interruption. De plus, comme

D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 643FIGURE 5Orbite « en halo » de la sonde SOHO.La sonde SOHO décrit de largesellipses allongées autour du pointde Lagrange. Le point L1 n'est passtable et de légères correctionssont transmises à la sondetoutes les huit semaines environpour la maintenir sur son orbitedite « en halo ». Sur ce schéma,les proportions des distancesne sont pas respectées. © ESA.SoleilSohoTerrela Terre n'occulte plus régulièrement les astresétudiés, leur observation peut se prolonger etéventuellement se faire en continu. L1, situéentre le Soleil et la Terre, constitue ainsi unemplacement idéal depuis lequel observer leSoleil. Si l'on excepte SOHO, la très célèbresonde qui effectue une surveillance continue duSoleil depuis 1996, le point L1 a accueilli ouaccueille les missions ISEE 3, Wind, ACE,Genesis, toutes dédiées à l'étude de notre étoile.On se rappellera à ce propos la déceptionprovoquée par le retour de la mission Genesisen septembre 2004. La sonde, après avoir collectépendant des années des particules duvent solaire, devait être récupérée dans l'atmosphèrepar l'aviation américaine, mais elles'est écrasée au sol. Situé à l'opposé de laTerre, le point L2 est mis à profit pour desmissions astronomiques et astrométriques.Après Wmap et ses révélations décisives pourla cosmologie, il devrait héberger son successeurPlanck mais aussi les futurs télescopesspatiaux Herschel et James Webb, la missionGaia, satellite astrométrique qui prolongeraavec une bien plus grande acuité le travaild'Hipparcos et, dans un futur plus lointain, lamission Darwin.Ce qui semblait ne revêtir qu'un intérêt purementthéorique pour Lagrange se révèle doncriche d'applications quelques siècles plus tard.Aujourd'hui encore, les chercheurs continuentd'étudier et de découvrir des solutions particulièresau problème des n-corps. Nombreusessont celles qui ont été proposées ces dernièresannées ; leur point commun est de ne s'appliquerqu'à des corps de masses identiques.Ces « chorégraphies », comme on lesappelle, seront-elles un jour observées dansl'Univers ? Connaîtront-elles des applicationspratiques comme les célèbres points deLagrange ?M. G.Titulaire d'un DEA de physique, MarcGoutaudier est médiateur scientifiqueau département astronomieastrophysiquedu Palais de la découverte.