par Marc GOUTAUDIER, février-mars 2006 (n°335-336), p37-43

38D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 6a)b)c)FIGURE 1Problème à deux corps.Deux corps s'attirent mutuellementen raison de la forcegravitationnelle qu'ils exercentl'un sur l'autre. Sans vitesseinitiale, les corps chutent versleur centre de masse a).S'ils possèdent des vitessesperpendiculaires à la directiondu centre de masse, il peuventtourner autour de ce même centreen décrivant des trajectoireselliptiques b) ou, dans un cas idéal,des cercles c).Le problème à deux corpsD'une élégance déconcertante en théorie, laloi de la gravitation universelle se révèle dansson application d'une complexité redoutable.On connaît depuis Isaac Newton (1643-1727)la solution du problème à deux corps, dont lespositions peuvent être ainsi déterminées enfonction du temps.Figurons-nous une planète livrée à ellemême.Elle se retrouverait en état d'inertie etse déplacerait dans l'espace en ligne droite,toujours à la même vitesse. Si, maintenant,nous la soumettons à l'attraction du Soleil, ellene va plus en ligne droite, sa trajectoire s'incurveet la planète finit par décrire une ellipseautour de l'étoile. Pour étudier un tel problèmeil convient, en toute rigueur, de se placer dansun référentiel dit « galiléen ». Le Soleil n'y estpas immobile et décrit, tout comme la planète,une ellipse autour du centre de masse Soleilplanète.L'excentricité de ces ellipses dépendde la distance qui sépare les deux astres, deleurs vitesses et de leurs masses respectives.Les corps s'attirent mutuellement. S'ils nepossédaient aucune vitesse initiale, ils tomberaientl'un sur l'autre pour se percuter en leurcentre de masse. Du fait de leur vitesse, tout sepasse comme si une force, dite « centrifuge »,s'opposait à cette chute. Dans un cas idéal, lesvitesses s'ajustent parfaitement, la force centrifuges'oppose exactement à la force gravitationnelleet les corps décrivent des trajectoirescirculaires (fig. 1).Mais sorti de ce cadre purement théorique,et si l'on s'intéresse à l'évolution dans le tempsdes positions de plus de deux corps (parexemple aux mouvements des planètes et duSoleil dans le système solaire), les calculs secompliquent pour aboutir à une impasse.Comme le montra Henri Poincaré (1854-1912) en 1890, le problème à plus de deuxcorps n'a pas de solution exacte. De plus, uneincertitude, même infime, sur les positions oules vitesses des corps concernés peut totalementbouleverser leurs trajectoires. Est-ce àdire qu'il est vain d'essayer de les prédire ?Non, mais elles ne pourront être déterminéesque d'une façon approximative et pour unedurée limitée.Méthode des perturbationsDans le cas du système solaire, où lesmasses des planètes sont bien plus petites quecelle du Soleil, le problème peut être simplifiédans un premier temps en faisant abstractiondes interactions des planètes entre elles, ce quirevient à considérer chaque planète tournantautour du Soleil selon les termes du problème