par Marc GOUTAUDIER, février-mars 2006 (n°335-336), p37-43

More documents

Recommendations

Info

38D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 6a)b)c)FIGURE 1Problème à deux corps.Deux corps s'attirent mutuellementen raison de la forcegravitationnelle qu'ils exercentl'un sur l'autre. Sans vitesseinitiale, les corps chutent versleur centre de masse a).S'ils possèdent des vitessesperpendiculaires à la directiondu centre de masse, il peuventtourner autour de ce même centreen décrivant des trajectoireselliptiques b) ou, dans un cas idéal,des cercles c).Le problème à deux corpsD'une élégance déconcertante en théorie, laloi de la gravitation universelle se révèle dansson application d'une complexité redoutable.On connaît depuis Isaac Newton (1643-1727)la solution du problème à deux corps, dont lespositions peuvent être ainsi déterminées enfonction du temps.Figurons-nous une planète livrée à ellemême.Elle se retrouverait en état d'inertie etse déplacerait dans l'espace en ligne droite,toujours à la même vitesse. Si, maintenant,nous la soumettons à l'attraction du Soleil, ellene va plus en ligne droite, sa trajectoire s'incurveet la planète finit par décrire une ellipseautour de l'étoile. Pour étudier un tel problèmeil convient, en toute rigueur, de se placer dansun référentiel dit « galiléen ». Le Soleil n'y estpas immobile et décrit, tout comme la planète,une ellipse autour du centre de masse Soleilplanète.L'excentricité de ces ellipses dépendde la distance qui sépare les deux astres, deleurs vitesses et de leurs masses respectives.Les corps s'attirent mutuellement. S'ils nepossédaient aucune vitesse initiale, ils tomberaientl'un sur l'autre pour se percuter en leurcentre de masse. Du fait de leur vitesse, tout sepasse comme si une force, dite « centrifuge »,s'opposait à cette chute. Dans un cas idéal, lesvitesses s'ajustent parfaitement, la force centrifuges'oppose exactement à la force gravitationnelleet les corps décrivent des trajectoirescirculaires (fig. 1).Mais sorti de ce cadre purement théorique,et si l'on s'intéresse à l'évolution dans le tempsdes positions de plus de deux corps (parexemple aux mouvements des planètes et duSoleil dans le système solaire), les calculs secompliquent pour aboutir à une impasse.Comme le montra Henri Poincaré (1854-1912) en 1890, le problème à plus de deuxcorps n'a pas de solution exacte. De plus, uneincertitude, même infime, sur les positions oules vitesses des corps concernés peut totalementbouleverser leurs trajectoires. Est-ce àdire qu'il est vain d'essayer de les prédire ?Non, mais elles ne pourront être déterminéesque d'une façon approximative et pour unedurée limitée.Méthode des perturbationsDans le cas du système solaire, où lesmasses des planètes sont bien plus petites quecelle du Soleil, le problème peut être simplifiédans un premier temps en faisant abstractiondes interactions des planètes entre elles, ce quirevient à considérer chaque planète tournantautour du Soleil selon les termes du problème
D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3 3 6 F É V R I E R - M A R S 2 0 0 639D. R./Extrait de la collection du Palais dela découverte OKAY.Henri Poincaré,mathématicien français(1854-1912).Léonhard Euler,mathématicien suisse(1707-1783).D. R./Extrait de la collection du Palais dela découverte OKAY.à deux corps. Puis l'on tient compte de l'effetdes autres planètes en considérant qu'ellesperturbent le système. Les résultats de cesperturbations sont alors pris en compte ; oneffectue les calculs une deuxième fois, puisune troisième fois en intégrant les résultatsdes calculs précédents, et ainsi de suite. Cetteméthode, initiée au XVIII e siècle par PierreSimon Laplace (1749-1827), permit d'obtenirdes théories planétaires en bon accord avecl'observation ; les écarts constatés ne s'expliquèrentqu'à la suite d'importantes découvertes.Ainsi l'étude de la trajectoire de laplanète Uranus – identifiée en 1781 parWilliam Herschel (1738-1822) – n'était pas enaccord avec les théories planétaires. En 1846,Urbain Le Verrier (1811-1877) imagina quecet écart résultait de la présence d'un astreperturbateur inconnu : il put ainsi découvrir laplanète Neptune. L'incapacité des théoriesplanétaires à rendre compte de l'avance, tropgénéreuse, du périhélie de la planète Mercuredisparut quant à elle en 1915, par l'examendes conséquences de la relativité généraled'Albert Einstein (1879-1955).Le dernier écart opposa une plus longuerésistance. Il concernait le mouvement de laLune. Il est vrai que sa résolution est ardue.Dans un premier temps, le « problème principal» s'attache à décrire le mouvement quiserait celui de notre satellite sous l'action de laTerre et du Soleil si les trois corps étaientréduits à leur centre de gravité. Puis, les effetsde la non-sphéricité de la Terre et des perturbationsplanétaires sont pris en compte.Durant le XVIII e siècle, l'Académie dessciences de Paris proposa à de nombreusesreprises un prix sur le sujet. Mais il faudraattendre 1939 pour que Spencer Jones (1890-1962) fasse concorder résultats et observations.La superposition de nombreux effets,dont un ralentissement séculaire de la rotationterrestre, compliquait diablement la chose.Points de LagrangeEn 1772, alors qu'ils cherchaient à résoudrece problème, Leonhard Euler (1707-1783) etJoseph-Louis Lagrange remportent le prix del'Académie des sciences de Paris. En parachevantles travaux du premier, antérieurs dequelques années, Lagrange démontre l'existencede cinq positions d'« équilibre », aujourd'huinommés « points de Lagrange », quiaccompagnent une planète dans sa révolutionautour du Soleil. En théorie, un troisièmecorps placé en l'un de ces points et affecté dela bonne vitesse suivrait parfaitement le balletdes deux autres corps. Décrivant des ellipsesautour de leur barycentre commun, les trois
Page 1: D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3
Page 5 and 6: D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3
Page 7: D É C O U V E R T E N ° 3 3 5 - 3

par Marc GOUTAUDIER, février-mars 2006 (n°335-336), p37-43

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?