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2. Séances dirigées 42240fin correction TD 2.2.1⊓⊔2.3 Pendule, équations différentielles2.3.1 EnoncéL’étude du mouvement du pendule suspendu aboutit, après une simplification, á une équation différentiellelinéaire. On cherche ici á déterminer á partir de quelle condition initiale la solution approchée s’écarte dela véritable solution.Figure 2.1 : Force agissant au niveau d’un pendule suspendu, le pendule est suspendu á une distance R constantedu point O.Pour obtenir l’équation différentielle qui régit ce système dynamique, on utilise le fait que la somme desforces est égale á la masse mulitpliée par l’accélération. Le pendule est matérialisé par le point M decoordonnées (x = R sin θ(t), y = R cos θ(t)). Son accélération est −→ a = (x ′′ (t), y ′′ (t)). Ceci donne :On projette sur les deux axes du repère carthésien :m −→ a = −→ T + m −→ g (2.4){mx′′= −T sin θmy ′′ = −T cos θ + mg(2.5)Lorsque les oscillations sont de faible ampleur, on suppose que y ′′ ∼ 0 et R sin θ ∼ Rθ ∼ x. Le systèmeprécédent aboutit á l’équation différentielle linéaire suivante :La solution de cette żquation diffżrentielle est :(2.5) =⇒ mRθ ′′ + mgθ = 0 =⇒ θ ′′ + g R θ = 0 (2.6)