Seconde - Addition de vecteurs - Parfenoff . org

Addition de vecteursI) Somme de vecteursSoit u et v deux vecteurs et M un point.La translation de vecteur u associe au pointM le point NLa translation de vecteur v associe au pointN le point PLa translation qui associe le point P au pointM est appelée :translation de vecteur u+v1) DéfinitionLa somme de deux vecteurs et est le vecteur associé à la translationrésultant de l’enchaînement des translations de vecteur et devecteur On note ce vecteur + 2) PropriétéDans un repère, on donne les vecteurs (x ; y ) et ( x’ ; y’ )Alors les coordonnées du vecteur + sont (x + x’ ; y +y’)DémonstrationDans un repère d’origine O, la translationde vecteur u(x ; y ) associe au point O lepoint M( x ; y ), la translation devecteur v ( x’ ; y’) associe au point M lepoint N.Alors u + v = ON ⎯⎯→on cherche donc lescoordonnées du point Nles coordonnées de MN ⎯⎯→sontOr MN ⎯⎯→= v(x N – x ;y N – y )donc x’ = x N – xet y’ = y N – yd’où u + v (x’ + x ; y’ + y )

ExempleDans un repère on considère u ( 3 ; –2) et v ( 4 ; 6 )Alors u + v ( 3 + 4 ; – 2 + 6 ) d’où u + ( v 7 ; 4 )3) PropriétésPour tous vecteurs, , et :• + = +• + = + • (+ ) + = + (+ )II) Constructions géométriquesPour construire géométriquement la somme de deux vecteurs u et v, on peut procéder del’une ou de l’autre des façons suivantesRelation de Chasles + = Règle du parallélogrammeOn dispose « bout à bout » lereprésentant (A , B) de et lereprésentant ( B , C ) de On choisit des représentants (A, B) de et (A , C) de de même origine. Lasomme + est le vecteur tel queABEC soit un parallélogramme.