Terminale S - Etude d'une limite de suite - Parfenoff . org

Exemple 5 : Déterminer la limite de la suite u n = 7n + 3n 2Comme limn→ +∞ 7n + 3 = +∞ et n2 = +∞ on obtient une forme indéterminée : « ∞ ∞ »Le numérateur et le dénominateur sont des expressions polynômiales : On factorise lenumérateur et le dénominateur par le terme du plus haut degré, qui est n pour lenumérateur et n 2 pour le dénominateur.Pour n ≥ 1 :7n + 3 n(7+ 3n 2 = n )n 2 × 1Comme limComme1n→ +∞ n= 7+ 3 nn= 0 par conséquent lim 7 + 3 = 7n→ +∞ nlim n = +∞n→ +∞7n + 3Donc : limn→ +∞ n 2 = 07+∞=0 donc7+ 3 lim nn→ +∞ n = 0III) Limite et comparaison1) Théorème 1(u n ) et (v n ) sont deux suites. Si pour tout entier naturel n supérieur à uncertain entier naturel n 0 :● u n ≤ v n et limn→+∞ u n = +∞ alors limn→+∞ v n = +∞● u n ≤ v n et limn→+∞ v n = −∞ alors limn→+∞ u n = −∞Démonstration :● Montrons tout d’abord que si u n ≤ v n et limn→+∞ u n = +∞ alors limn→+∞ v n = +∞Pour cela il faut prouver que tout intervalle de la forme ] A ; +∞ [ contient tous lestermes de la suite (v n ) à partir d’un certain indice.Soit A un nombre quelconque.Comme limn→+∞ u n = +∞ alors, par définition, l’intervalle ] A ; +∞ [ contient tous les termesde la suite (u n ) à partir d’un certain rang. Notons p ce rang.Donc pour tout n ≥ pDe plus, pour tout n ≥ n 0u n > Au n ≤ v n ce qui revient à écrire v n ≥ u nEn notant N, le plus grand des deux entiers n 0 et p on peut donc écrire que pour toutn ≥ N,v n ≥ u n > AOn en déduit que : pour tout n ≥ N, v n > A

Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier N, à partir duquel tous les termes de la suite(v n ) sont dans un intervalle quelconque de la forme ] A ; +∞ [Ce qui prouve que limn→+∞ v n = +∞Illustration graphique :● Maintenant montrons que si u n ≤ v n et limn→+∞ v n = −∞ alors limn→+∞ u n = −∞Pour cela il faut prouver que tout intervalle de la forme ]− ∞ ; A[ contient tous lestermes de la suite (u n ) à partir d’un certain indice.Soit A un nombre quelconque.Comme limn→+∞ v n = −∞ alors par définition, l’intervalle ]− ∞ ; A[ contient tous les termesde la suite (v n ) à partir d’un certain rang. Notons p ce rang.Donc pour tout n ≥ pDe plus, pour tout n ≥ n 0v n < Au n ≤ v nEn notant N, le plus grand des deux entiers n 0 et p on peut donc écrire que pour toutn ≥ N, u n ≤ v n < AOn en déduit que : pour tout n ≥ N, u n < A

Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier N, à partir duquel tous les termes de la suite(u n ) sont dans un intervalle quelconque de la forme ]− ∞ ; A[Ce qui prouve que limn→+∞ u n = −∞2) ExemplesnExemple 1 : Déterminer la limite de la suite (u n ) définie par: u n = pour n ≥ 6√n−5Pour tout entier n ≥ 6,et donc pour tout entier n ≥ 6 :D’où pour tout entier n ≥ 6 :√n − 5 < √n1√n−5 > 1√nn√n−5 > n √n soit : n√n−5> √nComme lim √n = +∞, alors le théorème de comparaison permet de conclure que :n→+∞limn→+∞n√n−5 = + ∞Exemple 2 : Déterminer la limite de la suite (u n ) définie par: u n = −npour n ≥ 4√n−3Pour tout entier n ≥ 4,et donc pour tout entier n ≥ 4 :D’où pour tout entier n ≥ 4 :√n − 3 < √n1√n−3 > 1√nn√n−3> n √nNous obtenons donc : pour tout entier n ≥ 4 :soit : −n√n−3< −√n−n√n−3< −n√nComme lim −√n = −∞, alors le théorème de comparaison permet de conclure:n→+∞−nlim√n−3 = − ∞n→+∞

3) Théorème d’encadrement ( dit : « théorème desgendarmes »)(u n ), (w n ) et (v n ) sont trois suites. Si pour tout entier naturel n supérieurà un certain entier naturel n 0 : v n ≤ u n ≤ w n et si les suites (v n ) et (w n )convergent vers la même limite l, alors la suite (u n ) converge aussi vers l.Ce théorème est admis.Illustration graphique :Exemple: Déterminer la limite de la suite (u n ) définie par: u n = 2 + 5(−1)npour n ≥ 1 :nPour tout n ≥ 1 : −1 ≤ (−1) n ≤ 1et donc pour tout entier n ≥ 1 : −5 ≤ 5(−1) n ≤ 5D’où pour tout entier n ≥ 1 : 2 + (−5) ≤ 2 + 5(−1) n ≤ 2 + 5Nous obtenons donc: pour tout entier n ≥ 1−3Or limn→ +∞ n2 + 5(−1) nlimn→ +∞ n= 0 et lim7n→ +∞ n−3n≤ 2 + 5(−1)nn≤ 7 n= 0 donc le théorème d’encadrement permet de conclure := 0 limn→ +∞ u n = 0La suite (u n ) étant encadrée par deux suites qui convergent vers 0, converge aussi vers0.