Terminale S - Etude d'une limite de suite - Parfenoff . org

Exemple 5 : Déterminer la limite de la suite u n = 7n + 3n 2Comme limn→ +∞ 7n + 3 = +∞ et n2 = +∞ on obtient une forme indéterminée : « ∞ ∞ »Le numérateur et le dénominateur sont des expressions polynômiales : On factorise lenumérateur et le dénominateur par le terme du plus haut degré, qui est n pour lenumérateur et n 2 pour le dénominateur.Pour n ≥ 1 :7n + 3 n(7+ 3n 2 = n )n 2 × 1Comme limComme1n→ +∞ n= 7+ 3 nn= 0 par conséquent lim 7 + 3 = 7n→ +∞ nlim n = +∞n→ +∞7n + 3Donc : limn→ +∞ n 2 = 07+∞=0 donc7+ 3 lim nn→ +∞ n = 0III) Limite et comparaison1) Théorème 1(u n ) et (v n ) sont deux suites. Si pour tout entier naturel n supérieur à uncertain entier naturel n 0 :● u n ≤ v n et limn→+∞ u n = +∞ alors limn→+∞ v n = +∞● u n ≤ v n et limn→+∞ v n = −∞ alors limn→+∞ u n = −∞Démonstration :● Montrons tout d’abord que si u n ≤ v n et limn→+∞ u n = +∞ alors limn→+∞ v n = +∞Pour cela il faut prouver que tout intervalle de la forme ] A ; +∞ [ contient tous lestermes de la suite (v n ) à partir d’un certain indice.Soit A un nombre quelconque.Comme limn→+∞ u n = +∞ alors, par définition, l’intervalle ] A ; +∞ [ contient tous les termesde la suite (u n ) à partir d’un certain rang. Notons p ce rang.Donc pour tout n ≥ pDe plus, pour tout n ≥ n 0u n > Au n ≤ v n ce qui revient à écrire v n ≥ u nEn notant N, le plus grand des deux entiers n 0 et p on peut donc écrire que pour toutn ≥ N,v n ≥ u n > AOn en déduit que : pour tout n ≥ N, v n > A