Terminale S - Etude d'une limite de suite - Parfenoff . org

Il existe donc bien un rang, à savoir l’entier N, à partir duquel tous les termes de la suite(u n ) sont dans un intervalle quelconque de la forme ]− ∞ ; A[Ce qui prouve que limn→+∞ u n = −∞2) ExemplesnExemple 1 : Déterminer la limite de la suite (u n ) définie par: u n = pour n ≥ 6√n−5Pour tout entier n ≥ 6,et donc pour tout entier n ≥ 6 :D’où pour tout entier n ≥ 6 :√n − 5 < √n1√n−5 > 1√nn√n−5 > n √n soit : n√n−5> √nComme lim √n = +∞, alors le théorème de comparaison permet de conclure que :n→+∞limn→+∞n√n−5 = + ∞Exemple 2 : Déterminer la limite de la suite (u n ) définie par: u n = −npour n ≥ 4√n−3Pour tout entier n ≥ 4,et donc pour tout entier n ≥ 4 :D’où pour tout entier n ≥ 4 :√n − 3 < √n1√n−3 > 1√nn√n−3> n √nNous obtenons donc : pour tout entier n ≥ 4 :soit : −n√n−3< −√n−n√n−3< −n√nComme lim −√n = −∞, alors le théorème de comparaison permet de conclure:n→+∞−nlim√n−3 = − ∞n→+∞