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Notion de vecteur – Vecteurs égauxI) Translation1) DéfinitionA et B sont deux points du plan.La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’uniquepoint D tel que ABDC soit un parallélogramme.1 er Cas C (AB) 2 e Cas C [AB]Les segments [AD] et [BC] ont lemême milieuOn dit que ABDC est unparallélogramme aplati.Les segments [AD] et [BC] ont lemême milieuRemarque : si A est confondu avec B, alors on associe au point C le point Clui même.ExempleSur la figure suivanteLes quadrilatères ABDC, ABKJ, ABGF, ABIH et ABEB sont des parallélogrammes ( ledernier étant aplati ). Donc la translation qui transforme A en B associe :à C le point D à H le point I à F le point Gà J le point Kà B le point E

2) DéfinitionLa translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗indiquele sensde Avers BAinsi on définit un nouvel objet levecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗ qui a :une direction celle de la droite (AB) ;un sens, de A vers Bet une longueur ou norme, lalongueur du segment [AB].A est l’origine et B l’extrémité du vecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗Remarque : Si A et B sont confondus alors le vecteur défini est le vecteurnul. Le vecteur nul noté 0⃗ ne possède ni direction, ni sens et sa norme estnulle.ExemplesLa translationqui transformeest latranslationde vecteurle vecteur a pourdirectionle vecteur apour sensle vecteur apour longueurC en DCD ⃗⃗⃗⃗⃗ celle de la droite (CD) de C vers D CDE en HEH ⃗⃗⃗⃗⃗ celle de la droite (EH) de E vers H EHB en ABA ⃗⃗⃗⃗⃗ celle de la droite (AB) de B vers A ABII) Vecteurs égauxOn note D le point associé à C par latranslation de vecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗Alors à tout point M, la translation devecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗ et la translation devecteur CD ⃗⃗⃗⃗⃗ associent le mêmepoint N.En effet, si ABDC et ABNM sont desparallélogrammes, il est aisé demontrer que CDNM est aussi unparallélogramme.

1) DéfinitionDire que les deux vecteurs AB ⃗⃗⃗⃗⃗ et CD ⃗⃗⃗⃗⃗ sont égaux signifie que la translation quitransforme A en B associe au point C le point D. On note AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗2) PropriétéDeux vecteurs AB ⃗⃗⃗⃗⃗ et CD ⃗⃗⃗⃗⃗ sont égaux si, et seulement si, le quadrilatère ABDCest un parallélogramme éventuellement aplati.ExempleDans la figure ci-contre ABED,BCFE,DEJG et EFHI sont desparallélogrammessuperposables. Les points A,B,Csont alignés ainsi que les pointsA,D,G.Alors on a :AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GI ⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗ =IH ⃗⃗⃗⃗mais aussiAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ =DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EI ⃗⃗⃗ = FH ⃗⃗⃗⃗⃗mais encoreAG ⃗⃗⃗⃗⃗ = BI ⃗⃗⃗ = CH ⃗⃗⃗⃗⃗ etAC ⃗⃗⃗⃗⃗ = DF ⃗⃗⃗⃗⃗ = GH ⃗⃗⃗⃗⃗et bien d’autres égalités ....3) ConséquenceDeux vecteurs AB ⃗⃗⃗⃗⃗ et CD ⃗⃗⃗⃗⃗ sont égaux si, et seulement s’ils possèdent : La même direction (c’est à dire que les droites (AB) et (CD) sontparallèles ou confondues ) Le même sens La même longueur (AB = CD)

4) Représentants d’un vecteura) DéfinitionEtant donnés deux points A et B, on dit que le couple (M , N ) est unreprésentant du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ AB si ABNM est un parallélogramme.En d’autres termes : le couple (M,N) est un représentant du vecteur AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MN.⃗⃗⃗⃗⃗ si AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =Par exemple, le couple de points (A,B) est un représentant du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ AB.La translation de vecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗transforme aussi C en D et E enF donc : AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = EF ⃗⃗⃗⃗⃗On dit que (A,B), (C,D) et (E,F)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , EF ⃗⃗⃗⃗⃗ sont desreprésentants d’un mêmevecteur.b) RemarqueOn rencontrera dans de nombreux exercices des vecteurs désignés par une seule lettre,u⃗par exemple. La possibilité d’utiliser une telle écriture provient du fait que la notion devecteur est fondamentalement différente de celle de position. En effet, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ AB estindépendants des points A et B en ce sens qu’au lieu des points A et B, on aurait pu, pourdéfinir ce vecteur, utiliser n’importe quels points M et N situés ailleurs dans le plan, aveccomme seule contrainte le fait que ABNM soit un parallélogramme.

ExempleDans la figure ci-contre ABED,BCFE, DEJG et EFHI sont desparallélogrammes superposables.Les points A,B,C sont alignés ainsique les points A,D,G.Alors:⃗⃗⃗⃗⃗ AB,DE⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ GI , BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , EF ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ IH sontdes vecteurs égaux auvecteur u⃗Les couples de points (A,B), (D,E),etc… sont des représentants duvecteur u⃗etAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , BE ⃗⃗⃗⃗⃗ , CF ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ DG ,EI ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ FHsont desvecteurs égaux au vecteur v⃗Les couples de points ( A, D ),(B , E ), ( C , F ) , ( D , G ) ,( E , I ) et ( F, H ) sont desreprésentants du vecteur v⃗et aussiAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , DF ⃗⃗⃗⃗⃗ , GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont des vecteurs égauxau vecteur w⃗⃗Les couples de points ( A, C ),( D , F ) , ( D , G ) et ( G , H )sont des représentants duvecteur w⃗⃗5) Vecteurs particuliers Le vecteur nul, noté 0⃗ est associé àla translation qui transforme A enA, B en B, C en C, ....ainsi AA′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BB′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CC′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =... = 0 ⃗ Le vecteur opposé au vecteur AB ⃗⃗⃗⃗⃗ estle vecteur associé à la translationqui transforme B en A, c’est levecteur BA ⃗⃗⃗⃗⃗Exemple :Dans la figure de l’exemple précédent, les vecteurs GH ⃗⃗⃗⃗⃗ et HG ⃗⃗⃗⃗⃗ sont opposés, ainsi que AC ⃗⃗⃗⃗⃗et CA ⃗⃗⃗⃗⃗ (on pourrait trouver de nombreux couples de vecteurs opposés).