3e - Trigonométrie dans un triangle rectangle - Parfenoff . org

Trigonométrie dans un triangle rectangleI) Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigudans un triangle rectangle1) Vocabulaire :Dans un triangle rectangle : il faut savoir reconnaître :Le côté adjacent à un angle aigu, le côté opposé à un angle aigu etl’hypoténuse de ce triangle rectangle :1er cas possible :2ème cas possible :

2) Formules du cosinus , du sinus et de la tangente d’un angleaigu :a) Notation :Le cosinus de l’angle se note cos Le sinus de l’angle se note. sin La tangente de l’angle se note tan b) définition:Dans un triangle rectangle, pour tout angle aigu on a : ôé à é ôé é à é ôé é à ôé à Exemple :Dans le triangle ABC rectangle en A on a : Remarque 1 :Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours comprisentre 0 et 1 :Le cosinus et le sinus d’un angle aigu est le quotient de deux longueurs, donc de deuxnombres positifs de plus on divise par l’hypoténuse qui est le plus grand côté.Remarque 2:Le cosinus, le sinus et la tangente sont des outils qui permettent de calculer deslongueurs de segments ou de calculer les mesures d’un angle

Exemple 1 : Pour calculer une longueur (on connait une longueur et la mesure d’un angle)Dans le triangle ci-dessous calculer ABOn connaît la longueur de l’hypoténuse et on cherchela longueur du côté opposé à l’angle connu. Onapplique donc la formule du sinusRéponse : Dans le triangle ABC rectangle en A on a : ABBC 30° ABdonc AB 6 sin 30° 6 0,5 3 cm donc AB = 3 cmExemple 2 : Pour calculer un angle (on connait deux longueurs)Dans le triangle ci-dessous calculer l’angle On connaît la longueur de l’hypoténuse et la longueur ducôté adjacent à l’angle cherché .On applique donc laformule du cosinusRéponse : Dans le triangle ABC rectangle en A on a : ACBC = 0,5. On a donc °à la calculatrice on tape « seconde cos 0,5 » pour les CasioOu : « 2 nd PRB ( trig) puis »jusqu’à obtenir « cos -1 » puis« 0,5)=» pour les Texas Instrument

II) Relations entre le cosinus et le sinus d’un angle aigu1) Relation trigonométrique:Propriété : est la mesure d’un angle aigu en degré :² +² =12) Démonstration :3) Application :Dans le triangle ABC rectangle en A on a :cos = sin = donccos² = ²²sin² = ²²Comme ABC est un triangle rectangle en A, d’après lethéorème de Pythagore nous avons : AB² + AC² = BC²soitcos² + sin² = ²² + ²² = ²²²Donc ² + ² = ²² = 1Sachant que cos x =0,8, calculer la valeur exacte de sin x.Réponse :cos² +sin² =1. Donc 0,8 ² + sin² =1 donc sin² = 1 – 0,64.sin² = 0,36sin = √0,36Donc ,

III) Relations entre le cosinus , le sinus et la tangented’un angle aigu1) Relation trigonométrique:Propriété : est la mesure d’un angle aigu en degré : = 2) Démonstration :Dans le triangle ABC rectangle en A on a :cos = tan = et = sin = = = =tan .On a donc = .3) Application :Sachant que , . Calculer la valeur exacte de tan x.Réponse :Dans l’exemple précédent nous avons vu quesin 0,6. On a donc :tan = = ,, = = 0,75On a donc : = 0,75