Première STI 2D - Extremums d'une fonction - Parfenoff . org

Extremums d’une fonctionI) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de courscorrespondante)Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , et deuxréels.• est le maximum de sur D si et seulement si pour tout de D, et s’il existe un réel dans D tel que .• est le minimum de sur D si et seulement si pour tout deD, et s’il existe un réel dans D tel que .• On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum(s’il existe).• Si ou est un extremum de sur un intervalle I ouvert inclus dansD, on dit que ou est un extremum local de sur DExemples1°)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalleD = [-0,5 ; 4,5 ]Sur D, admet un minimum 0,5 5,13 et un maximum 4,5 11,1Sur I = ] 0 ; 4 [ intervalle ouvert contenu dans D, admet un minimum local 3 1 et un maximum local 1 52°)La figure ci-dessus est la représentation graphique d’une fonction définie sur l’ensembleD = ] - ; 2 [ ∪ ] 2 ; + [Sur D admet ni minimum, ni maximum.

II) Extremums et dérivéePropriété :Si une fonction , dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en sur I et si n’est pas une borne de I alors ′() = 0Attention :La réciproque de cette propriété est fausse : de ’ on ne peut pas déduireque admet un extremum en . ( Voir exemple ci-dessous)Exemple :La fonction définie et dérivable sur est strictement croissante sur etpourtant ’ 3 s’annule en 0 sans que la fonction ait d’extremum en ce point.En revanche :si ’ s’annule en changeant de signe en un réel , n’étant pas une borne de I,alors admet un extremum local en puisque est :• Soit croissante avant et décroissante après (maximum local en )• Soit décroissante avant et croissante après (minimum local en )Exemples :1) Soit la fonction définie sur I = [ - 0,5 ; 4,5 ] par = 6 91 . est dérivable sur I (fonction polynôme )dont la représentation graphique est :

Graphiquement on conjecture que admet un maximum en = 1 et un minimumen = 3 (ces points n’étant pas des bornes de l’intervalle de définition).Montrons que la dérivée ’ s’annule en = 1 et en = 3On a ’ 3 12 9’1 = 3 – 12 + 9 = 0 et ’3 = 27 – 36 + 9 = 0La propriété est bien vérifiée.

2) Exemple montrant la nécessité de l’hypothèse « a n’est pas une borne del’intervalle I »Soit la fonction définie sur I =[ 0 ; 3] par = 2 . est dérivable sur I (fonction polynôme )dont la représentation graphique est : admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d’ l’intervalle dedéfinition.On a = 6 12 8 donc ’ = 3 12 12Donc ’0 12 et ’3 3 ces deux valeurs ne sont pas nulles.3) Exemple montrant que la réciproque est fausseEn reprenant l’exemple précédent on peut calculer ’2 = 3 x 4 – 12 x 2 + 12 = 0 etpourtant = 2 n’est pas un extremum de

4) En lisant un tableau de variationSoit une fonction définie et dérivable sur I = 4 ; 6 dont on donne ci-dessous letableau de variation. – 4 0 2 6Variations de 5 31 1La lecture de ce tableau nous permet d’affirmer :• Que admet sur I un maximum en 4 et un minimum en 0• Que sur 1 ; 3 admet un maximum local en 2 et un minimum en 0 et quepar conséquence ’0 = 0 et ’2 = 0• En outre on peut affirmer que ‘ 0 sur [0 ; 2] et ’ 0 sur 4 ; 0 et sur[2 ; 6].III) Etude d’une fonctionSoit la fonction définie sur l’intervalle I = 4 ; 3 par = +3 2On appelle la courbe représentative de a) Expliquer pourquoi f est dérivable sur Ib) Calculer ’ , f’ désignant la dérivée de c) Montrer que ’ = 1 3 pour tout de Id) En déduire le signe de ’ sur I et dresser le tableau de variation de fe) La fonction admet-elle des extremums sur I ? En quels points ?f) La fonction admet-elle un extremum local en = 1 ?g) Donner une équation des tangentes à aux points d’abscisses = -3 ; = 0 et = 1h) Représenter et les trois tangentes de la question précédente ( On prendra commeunités graphiques 3cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées.Solution :a) est une fonction polynôme dérivable sur donc sur I inclus dans ’ =4 34 + 3 –5 + 3 = 53On développe 1 3 = 213 = 3 2 63= 53 = ’

On va donc étudier le signe de 1 3 sur I -4 - 3 1 3Signe de 1 + + 0 +Signe de 3 0 + +Signe de ’ 0 + 0 +Dressons le tableau de variations de ∶ -4 -3 1 3Signe de ’ 0 + 0 +Variations de e) La fonction admet un minimum en 3 et un maximum en 3 ; pour leminimum comme ce n’est pas une borne de l’intervalle de définition ’3 0 mais pourle maximum comme c’est une borne de l’intervalle de définition : ’3 0f) Non n’admet pas d’extremum en 1 pourtant ’1 0 mais ’ ne change pas designe en 1g) En 3 ’3 0 donc la tangente a pour équation 894elle est horizontaleEn 0 ’0 3 et 0 2 donc comme la tangente a pour équation ’0 0 0 son équation est 3 – 2En 1 ’1 0 donc la tangente a pour équation 11 elle est horizontale.12h) Courbes