5e - Initiation au calcul littéral et aux équations - Parfenoff . org

Initiation au calcul littéral et aux équationsI) Calcul littéral1) DéfinitionUne expression littérale est une expression où certains nombressont représentés par des lettresExemple :2) Ecriture simplifiée d’un produita) Convention :Soit un carré dont la longueur des côtés est . Quel est lepérimètre de ce carré ?Solution :Le périmètre P de ce carré est :P= Cette expression contient la lettre :C’est une expression littéraleQuand il n’y a pas de confusion possible, le signe × peut être supprimé.Le signe × peut être supprimé devant une lettre ou une parenthèseb) Exemples :Les lettres a et désignent des nombres quelconques :777647644 3 4 3c) Notation simplifiée de la distributivité de la multiplication par rapportà l’addition et à la soustractionL’égalité k × (a + b) = k × a + k × b peut s’écrire k (a + b)= ka + kbL’égalité k × (a - b) = k × a - k × b peut s’écrire k (a - b)= ka - kb

d) Autres notationsLe produit a × a se note a² et se lit « a au carré »Exemple : 4² = 4 × 4 = 16Le produit a × a × a se note a 3 et se lit « a au cube»Exemple : 4 3 = 4 × 4 × 4 =64Le produit 1 × a se note aExemple : Si représente un nombre 1 = 3) Développement et factorisationa) DéveloppementDéfinition :Développer un produit revient à transformer ce produiten une somme ou en une différenceExemple 1 : Développer le produit 37 On utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :37 373 21 321 3 est une sommeExemple 2 : Développer le produit 59 On utilise la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction :5 9 595 45 545 5 est une différenceb) FactorisationDéfinition :Factoriser une somme ou une différence revient à transformer cettesomme ou cette différence en un produitExemple 1 : Factoriser la somme 16 5On utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :16 + 5 = (16 + 5) = 21 21 est un produit

Exemple 2 : Factoriser la différence 21 14On utilise la distributivité de la multiplication par rapport à lasoustraction : (on remarque que 21 et 14 sont deux multiples de 7)21 14 3 2 3 2II) Equations :1) Tester si une égalité est vraie ou faussea) Exemple 1L’égalité est –elle vraie pour = 6 ?Méthode : 3 2 est un produit1) On remplace par 6 dans l’expression située à gauche de l’égalité : 2) Puis on remplace par 6 dans l’expression située à droite de l’égalité : 3) On compare les deux résultats obtenusLes deux résultats obtenus sont différents donc l’égalité 7 + 8 = 12 -4 est fausse pour = 6b) Exemple 2L’égalité 9x + 8 = 7 x +10 est –elle vraie pour = 1 ?Méthode :1) On remplace par 1 dans l’expression située à gauche de l’égalité : 2) Puis on remplace par 1 dans l’expression située à droite de l’égalité : 3) On compare les deux résultats obtenusLes deux résultats obtenus sont égaux donc l’égalité :9 + 8 = 7 +10 est vraie pour = 1.On dit que 1 est solution de l’équation : 9 + 8 = 7 +10

2) Résoudre une équationa) Exemple 1, équation de la forme Dans l’égalité 6 + ... = 25, on remplace le nombre manquant par lalettre . L’égalité s’écrit alors 25619 donc b) Exemple 2 , équation de la forme :Résoudre l’équation 12 21 33 donc c) Exemple 3 , équation de la forme :Résoudre l’équation soit 14 24on a donc comme dans l’exemple 1 : 24 14 10 donc d) Exemple 4, équation de la forme :Résoudre l’équation 2 donc e) Exemple 5, équation de la forme = b:Résoudre l’équation = 11 7 11 77 donc f) Exemple 6 , équation de la forme : = b:Résoudre l’équation = 3 donc nous avons donc : soit