Première ES - Extremums d'une fonction - Parfenoff . org

Extremums d’une fonctionI) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de courscorrespondante)Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , et deuxréels.• est le maximum de sur D si et seulement si pour tout de D, et s’il existe un réel dans D tel que .• est le minimum de sur D si et seulement si pour tout deD, et s’il existe un réel dans D tel que .• On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum(s’il existe).• Si ou est un extremum de sur un intervalle I ouvert inclus dansD, on dit que ou est un extremum local de sur DExemples1°)

Graphiquement on conjecture que admet un maximum en = 1 et un minimumen = 3 (ces points n’étant pas des bornes de l’intervalle de définition).Montrons que la dérivée ’ s’annule en = 1 et en = 3On a ’ 3 12 9’1 = 3 – 12 + 9 = 0 et ’3 = 27 – 36 + 9 = 0La propriété est bien vérifiée.

2) Exemple montrant la nécessité de l’hypothèse « α n’est pas une borne del’intervalle I »Soit la fonction définie sur I = [ 0 ; 3] par = 2 . est dérivable sur I (fonction polynôme )dont la représentation graphique est : admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d’ l’intervalle dedéfinition.On a = 6 12 8 donc ’ = 3 12 12Donc ’0 12 et ’3 3 ces deux valeurs ne sont pas nulles.3) Exemple montrant que la réciproque est fausseEn reprenant l’exemple précédent on peut calculer ’2 = 3 x 4 – 12 x 2 + 12 = 0 etpourtant = 2 n’est pas un extremum de

On va donc étudier le signe de 1 3 sur I -4 - 3 1 3Signe de 1 + + 0 +Signe de 3 0 + +Signe de ’ 0 + 0 +Dressons le tableau de variations de ∶ -4 -3 1 3Signe de ’ 0 + 0 +Variations de e) La fonction admet un minimum en 3 et un maximum en 3 ; pour leminimum comme ce n’est pas une borne de l’intervalle de définition ’3 0 mais pourle maximum comme c’est une borne de l’intervalle de définition : ’3 0f) Non n’admet pas d’extremum en 1 pourtant ’1 0 mais ’ ne change pas designe en 1g) En 3 ’3 0 donc la tangente a pour équation 894elle est horizontaleEn 0 ’0 3 et 0 2 donc comme la tangente a pour équation ’0 0 0 son équation est 3 – 2En 1 ’1 0 donc la tangente a pour équation 11 elle est horizontale.12h) Courbes

IV) Problèmes d’optimisationExemple :Une entreprise décide de fabriquer et de commercialiser un produit. Sa capacité deproductions est de 20 tonnes.Le coût en millier d’euros, d’une production de tonnes est donné par : 30 3001a. Etudier les variations de sur [0 ; 20] puis dresser son tableau de variation sur cetintervalle.1b. Tracer la représentation graphique de dans un repère orthogonal (unités 1 cm surl’axe des abscisses pour 1 tonne et 1 cm sur l’axe des ordonnées pour 200 milliersd’euros2. En économie on appelle coût moyen (noté M ) le coût de fabrication d’une tonne deproduit lorsque tonnes sont produites.C’est à dire : 2a. Etudier le sens de variation de la fonction sur l’intervalle [0 ; 20] puis dresser sontableau de variation sur cet intervalle.2b. En déduire le coût moyen minimal.3. Après avoir fait une étude de marché, l’entreprise décide de vendre son produit 84 000euros la tonne3a.Exprimer le bénéfice réalisé par l’entreprise en fonction de 3b.Quelle doit être la production de l’entreprise pour qu’elle réalise un bénéficemaximal ?3c. Est-ce la même valeur qui minimise le coût moyen ?Réponse :1a. 30 300 Sa dérivée est donc :′ 3 60 300 = 3( 20 100) = 3( 10)²Donc 0 pour 10 et 0 sur [0 ; 20]La fonction est donc croissante sur [0 ; 20] 0 10 2001 0002 000

1b.2. Pour tout 0, = = 30 3002a. Pour tout 0, ′ 2 30′ 0 lorsque 2 30 0 c'est-à-dire lorsque 15′ 0 pour 15 et ′ 0 pour 15La fonction est donc décroissante sur [0 ;15] et croissante sur [15 ; 20]On obtient le tableau de variation : 0 15 20300 2 000 752b. La fonction admet un minimum en = 15 qui est 75.Le coût moyen minimal est de 75 milliers d’euros.3a. Il vend 84 milliers d’euros la tonne. La vente en millier d’euros, d’une production de tonnes est donné par : = 84 Son coût total de fabrication est : 30 300

Son bénéfice est donc : = = 84 30 300 + 30 2163b. 3 60 216 = 3( 20 72)′ 0 lorsque 20 72 0∆ 20² 4 1 72 = 112∆ 0 donc ′ 0 pour √10√28 > 0 et √= 10+√28 > 0 4,7 et 15,29On obtient le tableau de variation : 0 10 √28 10+√28 20′ 0 10 √28B(10 √28) -32010 √28 456 ,32 et 10 √28 136,324Son bénéfice est maximal pour une production de 10+√28 (c'est-à-dire environ 15,29)tonnes de produit et il sera de 136,324 milliers d’euros.3c. Cette valeur est très proche de celle qui minimise le coût moyen qui est de 15 tonnes.

Représentations graphiques :