Partie A Partie B

EXERCICE 5 (5points), commun à tous les candidats :Partie A : restitution organisée des connaissances.La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction dérivable sur I R telle que exp (0) = 1, et pour tout réel x,exp '(x) = exp (x).Démontrer que :a) pour x ∈ IR:: exp(x) × exp (– x) = 1.b) pour x ∈ I R et a ∈ I R : exp (a + x) = exp (a) × exp (x).Partie B : QCM : Pour chaque question, aucune, une ou plusieurs propositions peuvent être exactes.Pour chacune des propositions ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’estdemandée.Le candidat doit indiquer ses réponses sur la feuille donnée en annexeQ1 : On considère l’équation différentielle (E) : y ' + 3 y = e – c xfonction dérivée et c un réel.1) Si c = 0, les solutions de l’équation différentielle (E) :a) sont les fonctions f k de la forme f k (x) = k e – 3 x .où y est une fonction dérivable sur IR, y ' sab) sont les fonctions f k de la forme f k (x) = k e – 3 x + 1 3c) sont les fonctions f k de la forme f k (x) = k e 3x + 1 3 .2) Si c = 3 , une solution particulière de ( E) esta) La fonction g définie sur IR par g (x) = 1 3 e – 3 xb) La fonction g définie sur I R par g (x) = (x + 2) e – 3 xc) La fonction g définie sur IR par g (x) = (x – 2) e – 3 x⎪⎧ f (x) = x 2 sin 1 Q2 : Soit f la fonction définie sur IR par : ⎨x⎩⎪ f (0) = 01- a) f est continue en 0 ;b) lim f (x) = 0x → +∞c) f est dérivable en 0.pour x ≠ 02) Pour x ≠ 0, f est dérivable et sa fonction dérivée f ' est définie par :q) f '(x) = 2 x sin 1 x + x2 cos 1 x .b) f '(x) = 2 x sin 1 x + cos 1 x .c) f '(x) = 2 x sin 1 x – cos 1 x .