Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique

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Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique B(r) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 * r > R : le rayon r du contour circulaire est plus grand que le rayon R du cylindre. Le courant enlacé par le contour ne dépend pas de r et I enlacé = 2πRJs Le théorème d’Ampère conduit à : B(M) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = μ 0I enlacé e⃗⃗⃗⃗⃗ 2πr θ = μ 0I 2πr e ⃗⃗⃗⃗⃗ θ = μ 0J S R e⃗⃗⃗⃗⃗ r θ A l’intérieur du cylindre, le module du champ magnétique est nul, alors qu’à l’extérieur, le champ magnétique est celui d’un fil rectiligne infini, confondu avec l’axe Oz et parcouru par un courant I = 2πRJs. Au passage de la surface du cylindre, le champ B⃗⃗⃗ est discontinu. La discontinuité est ´égale à μ 0 J S e⃗⃗⃗⃗⃗ θ 3) Plaque infinie d’épaisseur e On cherche à déterminer le champ B⃗⃗⃗ créé par une plaque d’épaisseur e parcourue par une densité volumique de courant J⃗ = Je⃗⃗⃗⃗⃗ x (figure 6.6) ou par une surface plane (ici, le plan xOy) parcourue par une densité surfacique de courant J⃗⃗⃗⃗ S = J S e⃗⃗⃗⃗⃗ x (figure 6.7). Les densités de courants sont uniformes et orientées selon e⃗⃗⃗⃗⃗ x (Js et J > 0). La plaque d’épaisseur e, infinie selon Ox et Oy, est délimitée par les plans z = e/2 et z = −e/2. Figure (a) – Plaque infinie d’épaisseur e parcourue par une densité volumique de courant uniforme J⃗ = Je⃗⃗⃗⃗⃗ x Figure (b) – Nappe de courant parcourue par une densité surfacique de courant : J⃗⃗⃗⃗ S = J S e⃗⃗⃗⃗⃗ x a) Symétries, invariances et expression générale deB⃗⃗⃗ Dans ces deux cas, les plans de symétrie de la distribution de courants sont le plan xOy et les plans parallèles au plan xOz. Les plans parallèles au plan yOz sont plans de symétrie inversion de la distribution de courants. Le champ magnétique B⃗⃗⃗(M) est perpendiculaire au plan de symétrie passant par M(x, y, z) et parallèle au plan xOz. Le champ B⃗⃗⃗ est donc colinéaire à e⃗⃗⃗⃗⃗ Z en tout point. La distribution de courants étant invariante par translation selon Ox et Oy, B⃗⃗⃗ ne dépend que de z. Le champ magnétique s’écrit B⃗⃗⃗ = B(z)e ⃗⃗⃗⃗⃗. y Au point M′(x, y,−z), symétrique du point M(x, y, z) par rapport au plan de symétrie xOy, le champ B⃗⃗⃗(M ′ ) est l’opposé du symétriques du champ B⃗⃗⃗(M) : la fonction B(z) est impaire. b) Choix du contour d’Ampère Dans le cas de la plaque de la figure (a), un contour permettant un calcul aisé de la circulation du champ magnétique doit avoir des côtés parallèles au champ à z = cte. Le champ étant nul 10/16
Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique en z = 0, on choisit comme contour d’Ampère un rectangle ABCD de hauteur z contenu dans le plan yOz. Le champ étant nul sur le plan xOy, le côté AB de longueur L est placé sur ce plan comme l’indique la figure (a). L’orientation du contour est donnée par le sens de la flèche. La circulation du champ magnétique sur les côtés AD et BC est nulle car B⃗⃗⃗ est perpendiculaire à ces deux côtés. La circulation sur AB est également nulle puisque le champ magnétique est nul sur AB. Finalement, on obtient Pour z > 0 : ∮ B⃗⃗⃗ ABCD C D ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = ∫ B(z)e ⃗⃗⃗⃗⃗ y dye⃗⃗⃗⃗⃗ y = −B(z)L c) Calcul du champ magnétostatique B⃗⃗⃗ Le sens de circulation impose n⃗⃗ = e⃗⃗⃗⃗⃗ x et dS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = dxdye⃗⃗⃗⃗⃗. x On distingue deux cas : * La hauteur z du cadre est supérieure à la demi épaisseur de la plaque (z > e/2) : I enlacé = ∬ J⃗dS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ABCD = ∬ Je⃗⃗⃗⃗⃗ x ABCD dydze⃗⃗⃗⃗⃗ x = JL e 2 En appliquant le théorème d’Ampère, on obtient : −By(z)L = μ0JL e 2 . Finalement le champ en dehors de la plaque (z > 0) est : −B(z) = μ0J e 2 B(z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e = − μ0J ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 e y * La hauteur z du cadre est inferieure à la demi épaisseur de la plaque (0 < z < e/2) : I enlacé = ∬ J⃗dS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ABCD = ∬ Je⃗⃗⃗⃗⃗ x ABCD dydze⃗⃗⃗⃗⃗ x = JLz En appliquant le théorème d’Ampère, on obtient : −By(z)L = μ 0 JLz. Finalement le champ dans la plaque (z > 0) est : B(z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −μ0Jze ⃗⃗⃗⃗⃗ y By(z) ´étant impaire, on obtient : Pour - e/2 < z < 0 : B(z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = μ0Jze ⃗⃗⃗⃗⃗ y Pour z < -e/2 B(z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e = μ0J 2 e ⃗⃗⃗⃗⃗ y d) Nappe de courant Dans le cas de la nappe de courant de la figure (b), le champ magnétique n’est pas défini sur la surface. On doit alors modifier le contour d’Ampère en prenant un cadre de hauteur 2z, 11/16
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