Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique

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Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique Soit une distribution D de densité de charges J⃗ admettant le plan P comme plan de symétrie. D’, la distribution symétrique de D par rapport au plan P, est identique à la distribution D puisque P est un plan de symétrie. En notant J⃗′ sa densité de charges, on a donc pour tout point M de l’espace : J⃗ ′ (M ′ ) = J⃗(M) où M’ est le symétrique de M par rapport au plan P. alors : B⃗⃗(M ′ ) = −symB⃗⃗(M) Champ magnétique et plan de symétrie. L’image par la symétrie par rapport à un plan P du champ magnétique B⃗⃗ est égal à l’opposé du symétrique de B⃗⃗ par rapport au plan P. Si M appartient à un plan de symétrie des sources (P par exemple), M’ = M. On en déduit donc que : B⃗⃗(M) = −symB⃗⃗(M) ce qui se traduit en utilisant les indices T et N respectivement pour les composantes tangentielle et normale au plan P : { B ⃗⃗⃗⃗⃗(M) T = −B⃗⃗⃗⃗⃗(M) T d’où ∶ B⃗⃗⃗⃗⃗(M) T = 0 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗(M) N = B⃗⃗⃗⃗⃗⃗(M) N Le champ magnétique n’a donc qu’une composante tangentielle sur les plans de symétrie de la distribution qui le crée : il est perpendiculaire au plan de symétrie de la distribution de courants qui le crée. Le champ magnétique est perpendiculaire aux plans de symétrie de la distribution qui le crée. b) Distribution présentant un plan d’antisymétrie Soit une distribution D de densité de charges J⃗ admettant le plan P comme plan d’antisymétrie. D’, la distribution symétrique de D par rapport au plan P, est l’opposé de la distribution D puisque P est un plan d’antisymétrie. En notant J⃗′ sa densité de charges, on a donc pour tout point M de l’espace : J⃗ ′ (M ′ ) = − J⃗(M) où M’est le symétrique de M par rapport au plan P. On a établi que : B⃗⃗(M ′ ) = symB⃗⃗(M) 2/16
Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique Le champ magnétique créé en un point M’ symétrique d’un point M par rapport à un plan d’antisymétrie de la distribution est égal au symétrique du champ magnétique créé en M. Champ magnétique et plan d’antisymétrie. Si M appartient à un plan d’antisymétrie des sources (par exemple le plan P), M’ = M. On en déduit donc que : B⃗⃗(M) = symB⃗⃗(M) ce qui se traduit en utilisant les indices T et N respectivement pour les composantes tangentielle et normale au plan P : B⃗⃗⃗⃗⃗(M) { T = B⃗⃗⃗⃗⃗(M) T B⃗⃗⃗⃗⃗⃗(M) N = −B⃗⃗⃗⃗⃗⃗(M) N d’où ∶ B⃗⃗⃗⃗⃗⃗(M) N = 0 Le champ magnétique n’a donc qu’une composante normale sur les plans de symétrie de la distribution qui le crée : il appartient au plan d’antisymétrie de la distribution de courants qui le crée. Le champ magnétique appartient aux plans d’antisymétrie de la distribution qui le crée. Cas d’un plan d’antisymétrie Cas d’un plan d’antisymétrie c) Conclusion Soit ⃗⃗⃗⃗⃗(M B ′ ′ ) le vecteur obtenu par symétrie par rapport à un plan à partir de B⃗⃗⃗(M). La figure cidessous, on voit l’orientation de ⃗⃗⃗⃗⃗(M B ′ ′ ) 3/16
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