Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique

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Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique similaire au cadre ABCD précédent, mais placé à cheval sur la surface (voir figure (b)). Les côtés AB et CD ont pour côtés −z et z. La circulation le long de ce contour fermé et orienté comme indiqué sur la figure (b) est (attention, on a inversé l’orientation du contour par rapport au cas précédent) : ∮ B⃗⃗⃗ ABCD C D D C ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = ∫ B(z)e ⃗⃗⃗⃗⃗ y dye⃗⃗⃗⃗⃗ y + ∫ B(−z)e ⃗⃗⃗⃗⃗ y dye ⃗⃗⃗⃗⃗ y = B(z)L − B(−z)L = 2B(z)L; z > 0 Le courant enlacé : B I enlacé = ∫ J⃗⃗⃗⃗. S ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = ∫ J S e⃗⃗⃗⃗⃗(−dy) A x e⃗⃗⃗⃗⃗ x = −LJ S Le théorème d’Ampère permet d’obtenir l’expression du champ B⃗⃗⃗ de la nappe : Pour z < 0 : Pour z > B(z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ μ0J S = − ⃗⃗⃗⃗⃗; 2 e y signe de z B(z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ μ0J S = 2 e ⃗⃗⃗⃗⃗ y B(z) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ μ0J S = − ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 e y Le champ magnétique est une fois de plus discontinu au passage de la surface parcourue par le courant surfacique J⃗⃗⃗⃗. S La discontinuité vaut μ0J S e⃗⃗⃗⃗⃗. y Discontinuité du champ magnétique à la traversée d’une surface parcourue par un courant Nous avons vu sur deux exemples qu’au passage d’une surface S parcourue par une densité surfacique de courant J⃗⃗⃗⃗, S la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue et que cette discontinuité vaut μ0J S . On peut généraliser ce résultat observé sur ces deux cas particuliers. La surface S sépare deux milieux appelés milieu 1 et milieu 2 dans lesquels règnent un champ magnétique B⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 1 et B⃗⃗⃗⃗⃗⃗,. 2 n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 1→2 est le vecteur unitaire normal à la surface orienté du milieu 1 vers le milieu 2. A la traversée d’une surface parcourue par un courant surfacique de densité J⃗⃗⃗⃗, S la composante normale du champ magnétique est continue alors que la composante tangentielle du champ magnétique subit une discontinuité finie : B { 1N = B 2N B 2T − B 1T = μ0J S D’où : B⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 − B⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 = μ0J⃗⃗⃗⃗ S ∧ n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1→2 4) Solénoïde infini Nous proposons de d´déterminer à l’aide du théorème d’Ampère le champ magnétique en tout point de l’espace. Le solénoïde étant infini, tous les plans perpendiculaires à son axe sont des plans de symétrie. Par conséquent, en un point M(r, θ, z) de l’espace, le champ magnétique B(M) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est normal au plan de symétrie passant par M et orthogonal à l’axe Oz. Donc B(M) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B(M)eZ ⃗⃗⃗⃗⃗ La distribution de courants étant invariante par translation selon z et rotation autour de Oz (selon θ), B ne dépend que de r. En tout point de l’espace (non situé sur le solénoïde où le champ magnétique n’est pas d´défini), l’expression du champ magnétique est : B(M) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B(r)eZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 12/16
Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique En tenant compte de la symétrie, montrons, en utilisant le théorème d’Ampère, que le champ magnétique B(M) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est uniforme à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde. Dans un plan passant par l’axe, considérons deux courbes d’Ampère (C 1 ) et (C 2 ) rectangulaires et de côtés parallèles ou perpendiculaires à l’axe, les côtés parallèles ayant pour longueur commune L. ∮ B⃗⃗⃗ C 1 C ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = ∮ B⃗⃗⃗ B A ⃗⃗⃗⃗⃗ dl + ∮ B⃗⃗⃗ D ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = B(r 1 )L − B(r 2 )L = 0 Aucune intensité de courant ne traverse (C 1 ); la circulation de B⃗⃗⃗ sur (C 1 ) est donc nulle. B(r 1 ) = B(r 2 ) Le champ de vecteur B⃗⃗⃗ est donc uniforme à l’intérieur du solénoïde. ∮ B⃗⃗⃗ C 2 C ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = ∮ B⃗⃗⃗ B A ⃗⃗⃗⃗⃗ dl + ∮ B⃗⃗⃗ D ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = B(r 1 )L − B(r 2 )L = 0 Aucune intensité de courant ne traverse (C 2 ); la circulation de B⃗⃗⃗ sur (C 2 ) est donc nulle. B(r 1 ) = B(r 2 ) Le champ de vecteur B⃗⃗⃗ est donc uniforme à l’intérieur du solénoïde. Lorsque la longueur du solénoïde est beaucoup plus grande que son diamètre, le champ B(M) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est pratiquement constant à l’intérieur et nul à l’extérieur. Pour le calculer, on peut donc négliger les effets de bords. Soit I le courant, N le nombre de spires et l la longueur du solénoïde. Le nombre de spires par unité de longueur est n = N l Appliquons le théorème d’Ampère en prenant le contour dessiné ci-dessus. Le nombre de conducteurs entourés est égal à na = a N l Donc : ∮ B⃗⃗⃗ C ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = μ0I enlacé = μ0naI = μ0a N l I Circulation de 1 à 2 : Ba. Circulation de 2 à 3 : nulle car B⃗⃗⃗ est perpendiculaire au chemin parcouru. Circulation de 3 à 4 : nulle car le champ est (quasi-)nul en dehors du solénoïde. Circulation de 4 à 1 : nulle car B⃗⃗⃗ est perpendiculaire au chemin parcouru. Ba = μ0I enlacé = μ0naI = μ0a N l I Champ dans un solénoïde long : N B⃗⃗⃗ = μ0I enlacé ⃗⃗⃗⃗⃗ e z = μ0nIe⃗⃗⃗⃗⃗ z = μ0 l Ie ⃗⃗⃗⃗⃗ z 13/16
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