Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique

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Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique 5) Champ dans une bobine torique Une bobine torique est constituée de N spires identiques déduites les unes des autres par une rotation d’angle 2π autour de l’axe Oz. N La figure ci-contre donne l’exemple d’une bobine torique à section rectangulaire. On n’a représenté que quelques spires pour assurer la clarté du schéma. a) Étude des invariances La distribution est invariante par toute rotation autour de l’axe Oz (on suppose que N est suffisamment grand pour cela ou que les spires sont régulièrement espacées). On se place en coordonnées cylindriques. B⃗⃗⃗(M) = B⃗⃗⃗(r, z) b) Étude des symétries Le plan passant par M et contenant l’axe Oz est un plan de symétrie de la distribution de courants : le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan, soit : B⃗⃗⃗(M) = B(r, z)e⃗⃗⃗⃗⃗ θ c) Calcul du champ par le théorème d’Ampère On considère un cercle d’axe Oz de rayon r passant par M. La circulation du champ le long de ce contour est : 2rB(r, z) et le courant enlacé vaut I enlacé = 0 si M est à l’extérieur du tore (en M 1 ou M 3 par exemple) et I enlacé = NI si M est à l’intérieur (en M 2 par exemple). On en déduit : 14/16
Ahmed Chouket cours : Théorème d’Ampère et calcul du champ magnétique Si M est à l’intérieur : ∮ B⃗⃗⃗ C 2π ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = ∫ B(r)e⃗⃗⃗⃗⃗ θ R m dθe⃗⃗⃗⃗⃗ θ = μ0I enlacé = μ 0 NI 2π 0 ∫ Be⃗⃗⃗⃗⃗ θ rdθe⃗⃗⃗⃗⃗ θ = ∫ B rdθ = B2πr = μ 0 NI 0 2π 0 B⃗⃗⃗ = μ 0NI 2πr e ⃗⃗⃗⃗⃗ θ On remarque que le champ magnétique ne dépend pas de z ce qu’on ne pouvait pas prévoir a priori. Conclusion Soit I le courant, N le nombre de spires et R m le rayon moyen de la bobine torique. Pour des raisons de symétrie, les lignes de champ sont circulaires à l’intérieur de la bobine torique. En prenant comme contour le cercle moyen, la somme des courants entourés vaut NI ; la circulation du champ est égale à B (2π Rm). En appliquant le théorème d’Ampère : ∮ B⃗⃗⃗ C 2π 2π ⃗⃗⃗⃗⃗ dl = ∫ B(r)e⃗⃗⃗⃗⃗ θ R m dθe⃗⃗⃗⃗⃗ θ = μ0I enlacé = μ 0 NI 0 ∫ Be⃗⃗⃗⃗⃗ θ R m dθe⃗⃗⃗⃗⃗ θ = ∫ B R m dθ = B2πR m = μ 0 NI 0 2π 0 B⃗⃗⃗ = μ 0NI e⃗⃗⃗⃗⃗ 2πR θ m 15/16
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