A derivált fogalmához vezető feladatok ...

Deriválható függvények 111
V. Deriválható függvények
5.1. A derivált fogalmához vezető feladatok
1. A sebesség értelmezése
Legyen az M egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző pont. Ez azt
jelenti, hogy a mozgás pályája egyenes és az egyenlő időközökben megtett utak
egymással egyenlők (a megtett út arányos az idővel).
A mozgás v sebességét megkapjuk, ha megmérjük bizonyos számú t
időegység alatt megtett út s hosszát, és ezt elosztjuk az s út megtételéhez szükséges
s
t idővel: v = .
t
Mivel a mozgó pont sebessége minden időszakban egyenlő v -vel, azt mondjuk,
hogy e mozgás sebessége bármely időpillanatban éppen v -vel egyenlő.
Tegyük fel most, hogy az M pont adott irányba egyenes vonalú, de nem
egyenletes mozgást végez vagyis, hogy az egyenlő időközökben megtett utak általában
nem egyenlők egymással (a megtett út nem arányos az idővel). Mit értünk tehát ebben
az esetben a mozgó pont sebességén egy adott időpontban (a t időpillanatban)?
Ha s() t -vel jelöljük a t idő alatt megtett utat, akkor a t 0 és t időpontok között
megtett út hossza ∆ s = s() t −s( t0)
. Ezt az utat a test ∆t = t −t0idő
alatt teszi
meg. Tehát ezen az útszakaszon az átlagos közepes sebesség
∆s
s() t −s(
t0)
vk
= =
∆t t −t0
Ha ennek a kifejezésnek van határértéke, amikor t → t0,
akkor azt mondjuk, hogy ez
a határérték a test sebessége a t 0 időpontban. Ezt a sebességet vt ( 0 ) -val jelöljük.
Tehát
∆s
s() t −s(
t0)
vt ( 0 ) = lim = lim
,
∆→ t 0 ∆t t→t0t −t0
ha ez a határérték létezik.
Megjegyzés. Bármilyen mennyiség változási sebességét ehhez hasonlóan
értelmezzük. Ha f : D → egy M mennyiség időbeli változását leíró függvény (a
változója a t -idő), akkor az M változásának sebessége a t 0 időpillanatban a
∆f
f () t − f ( t0)
vM( t0)
= lim = lim
∆→ t 0 ∆t t→t0t −t0
határérték, ha ez létezik.
2. Az érintő probléma
Tekintsük az f :[0, π] → , f ( x ) = sin x függvényt. Jelöljük m( x) -szel az
2
M 0 ,
4 2
π ⎛ ⎞
⎜
⎟
⎜ ⎟ és (,sin ) pontokon áthaladó egyenes iránytényezőjét.
⎜⎝ ⎠ ⎟
x Mx

112 Deriválható függvények
Van-e a α x függvénynek határértéke, ha
π
x → ?
4
Mx (, sin) x
Az MM
M0 α 0 húr iránytangensét vizsgáljuk:
x
π
sin x − sin
mx ( ) =
4
π .
x −
4
17. ábra
Tehát meg kell vizsgálnunk, hogy létezik-e az
π
sin x − sin
m = lim m( x)
= lim 4
π π π
x→ x→
4 4 x −
4
határérték. Alakítsuk át a kifejezést:
π π
x − x +
π
sin x − sin 2 sin 4 cos 4
4 2 2
π = π
x − x −
4 4
π
x −
π
x + sin 4
= cos 4 ⋅ 2
2
π .
x −
4
2
π
x −
π π
sin x − sin x + sin 4
Tehát a határérték: lim 4 lim cos 4 lim
π π = ⋅ 2
π π
x x 2
π
→ x
4 x − → →
4 4 x −
4 4
=
2
π
x −
π sin t π 2
= cos ⋅ lim = 1⋅ cos = , ahol 4
π
t = és t → 0 , ha x → .
4 t→0
t 4 2 2
4
⎛π
π⎞
Mivel a húrok egyre jobban közelednek az M ⎜ 0 ⎜ ,sin⎟
⎜⎝
⎟
4 4
⎟ ponton áthaladó m =
⎠
2
2
iránytényezőjű egyeneshez azt mondjuk, hogy ez az egyenes az f grafikus képéhez
húzott érintő az M 0 pontban. Tehát az érintő egyenlete
y −
2
=
2
2 ⎛ π⎞
⎜x
− ⎟
2
⎜⎜⎝ 4 ⎠⎟.
Általában, ha f : D → egy függvény és x ∈ D egy torlódási pontja D -nek, akkor
az x ponton áthaladó húrok iránytényezői
0
0
f ( x) − f( x )
x − x
0
mx ( ) =
alakúak, tehát ha
f ( x) − f( x0)
létezik a lim
határérték, akkor azt mondjuk, hogy a függvény grafikus
x→x0 x − x0
képének van érintője x 0 abszcisszájú pontban és az érintő iránytényezője az előbbi
határérték.
0

Deriválható függvények 113
Megjegyzés. A kör esetén az érintőt úgy értelmeztük, mint egy egyenes, amely
pontosan egy pontba metszi a kört. Ez az értelmezés általában nem használható.
Például az f : → , fx ( ) = x függvény grafikus képét az origón áthaladó összes
egyenes egy pontban metszi, mégsem mondanánk azt, hogy ezek érintik a grafikus
képet (lásd a 18. ábrát).
y
O
x
18. ábra
5.2. A derivált értelmezése
f ( x) − f( x0)
Az előbbi problémák mindegyikében lim
alakú
x→x0 x − x0
határértékekehez juttunk. Ez motiválja a következő fogalom bevezetését.
Értelmezés. Legyen x0∈D a D halmaz egy torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy
az f : D → függvénynek az x 0 pontban van deriváltja, ha létezik a
f ( x) − f ( x0)
lim
határérték. Ezt a határértéket nevezzük a függvény x 0 pontbeli
x→x0 x − x0
deriváltjának (vagy differenciálhányadosának) és így jelöljük:
f ( x) − f ( x0) ∆f
f′ ( x0)
= lim = lim .
x→x0x −x ∆x→0∆x
α
y
O
0
f( x0)
M 0
x 0
x
M(, x f()) x
f() x
x
19. ábra
Értelmezés. Az f : D → függvényt deriválhatónak nevezzük az x 0 helyen, ha
f ( x) − f ( x0)
az f′ ( x0)
= lim
határérték létezik és véges.
x→x0 x − x
0

114 Deriválható függvények
Megjegyzés. Ha létezik az f ′ ( x ) véges szám akkor minden ε > 0 számhoz van
olyan δ > 0 , hogy ha 0 < x − x0<
δ akkor
0
( ) − ( )
f x f x
x − x
f ( x) −f ( x0) −f′ ( x0)( x −x0)
Ezt a lim = 0 alakban is írhatjuk.
x→x0 x − x
0
0
0
− f′ ( x ) < ε .
Értelmezés. 1. Ha az f függvény az E ⊆ D halmaz minden pontjában
deriválható, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az E halmazon deriválható
függvény.
2. Azt az f ′ : E → függvényt, amely minden x ∈ E esetén f ′ ( x ) -val egyenlő
az f függvény derivált függvényének nevezzük (vagy röviden deriváltjának) és f ′ -tal
vagy df
-el jelöljük. (Leibniz jelölése)
dx
A derivált geometriai jelentése. A bevezető problémák alapján azt mondjuki,
hogy az f függvény grafikus képének az M0( x 0, f ( x 0)
) pontjában létezik érintője,
ha létezik az f függvénynek az x 0 pontjában a deriváltja (differenciálhányadosa). Az
érintő iránytangense f ′ ( x0)
= m , tehát az érintő egyenlete
y − f ( x0) = f′ ( x0) ⋅( x − x0
) .
2
Példák. 1. Vizsgáljuk az f : → , f ( x) = x függvény deriválhatóságát.
Megoldás. Rögzítsünk egy x 0 pontot és tekintsük az x -ban a következő
határértéket:
∈ 0
f ( x) −f ( x0) ( x − x0)( x + x0)
lim = lim = lim ( x + x0) = 2x0.
x→x0 x −x x→x0 x x0
0 x −x
→
0
Tehát az f függvény az x 0 pontban deriválható és f ′ ( x0)
= 2x
0.
Az x 0
pont semmilyen különleges tulajdonságát nem használtuk fel, ezért a függvény
minden x pontban deriválható és a derivált függvény
∈
∈
f ′ : → ,
f ′ ( x) = 2x
.
2
Az eredmény szemléletesen azt jelenti, hogy az y = x parabolának minden pontjában
(
2
2
van érintője. Az M x , x ) pontbeli érintő egyenlete y − x = 2x ( x − x ) vagy
0 0 0
0 0
2
y = 2x0
⋅x − x0.
2. Tanulmányozzuk az f : → ,
n
f ( x) = x , ahol n ∈ függvény
deriválhatóságát.
Megoldás. Rögzítsünk egy x 0 pontot. ∈
( )
n n f x − f ( x0) x − x0
lim = lim
x→x0 x −x x→x0 x −x ⎛n−1⎞ n−− 1 k k n−1
= lim ⎜ x x ⎟
0⎟= n⋅x0 x→x ⎟
0 ⎜ ⎜∑
,
⎝ ⎠⎟
0 0
k=
0
0
0
0

Deriválható függvények 115
n−− 1 k k n−1
mert lim x x = x , ha k ∈{1,
2, 3, ..., n −1}
és az összegnek n tagja van.
x→x0 0 0
n 1
Tehát a függvény minden x 0 ∈ pontban deriválható és f ( x0) n x0 −
′ = ⋅ . Így a
vizsgált függvény derivált függvénye (vagy egyszerűen a deriváltja):
n 1
f ′ : → ,
f ( x) n x −
′ = ⋅ , ∀ x ∈ .
Következmény. Az f : → ,
f ( x ) =
függvény deriváltja minden x ∈ pontban f ′ ( x ) = 0 .
0
c, ahol c ∈ , egy adott állandó
3. Tanulmányozzuk az f : → ,
f ( x ) = x függvény deriválhatóságát!
Megoldás. Rögzítsünk először egy x 0 > 0 számot. Ha x − x0
x 0 < akkor x is
2
f ( x) − f ( x0)
x − x0 pozitív ( x > 0)
és így lim = lim
x→x0 x −x x→x0 0 x −x0 x − x0
= lim = 1 . Tehát
x→x0 x −x0
f ′ ( x 0 ) = 1 , ha x 0 > 0 . Ha x 0 < 0 akkor az előzőkhöz hasonlóan
f ( x) − f ( x0) x − x0 lim
= lim
x→x0 x −x x→x0 x −x
x − x0
= − lim = −1
,
x→x0 x −x
tehát f ′ ( x 0 ) = − 1 ha
0 0
x 0 < 0 . Ha x 0 0 akkor =
f ( x)
− f ( x0) x
=
x − x0 x
⎧⎪ 1, ha x > 0
=⎨
⎪
⎪−1,
ha
x < 0
⎪⎩
. Ebből leolvasható,
hogy az x 0
*
= 0 pontban nem létezik az f deriváltja. Tehát az f függvény az
halmazon deriválható.
5.3. Deriválható függvények folytonossága
Tétel. Ha az f : D → függvény deriválható az x 0 ∈ D pontban, akkor ez a
függvény folytonos az x 0 pontban.
Bizonyítás. Az értelmezés alapján x 0 torlódási pontja D -nek és
f ( x) − f ( x0)
f ′ ( x )
( )
0 = + α x , ahol lim α ( x)
= 0 , tehát
x − x
x→x0 0
f ( x) − f ( x0)
= f ′ ( x ) ( )
0 − α x és így
x − x0
f ( x) = f ( x ) ( )( ) ( )( 0 + f′ x0 x −x0 −αx x − x0)
.
Ebből kapjuk, hogy lim f ( x) = f ( x0)
, ami azt jelenti, hogy f folytonos az x0D ∈
pontban.
x→x0 5.4. Jobb- és baloldali derivált
A jobb- és baloldali határértékhez hasonlóan értelmezhetjük egy függvény jobb-
illetve baloldali deriváltját is.
0
0

116 Deriválható függvények
Értelmezés. 1. Ha x ∈ D torlódási pontja a ( −∞, x ∩ D halmaznak és létezik
a
f ( x) − f ( x0)
lim
x→x0 x − x
x< x0
0
0
határérték, akkor ezt az f függvény baloldali deriváltjának
nevezzük az x 0 pontban és f ′
b ( x 0 ) -val vagy f ′ ( x 0 − 0)
-val jelöljük. Tehát
f ( x) − f ( x0)
f ′
b ( x0) = f′ ( x0
− 0) = lim
x→x0 x − x
2. Ha x ∈ D torlódási pontja a ( x + ∞ ∩D
halmaznak és létezik a
f ( x) − f ( x0)
lim
x→x0 x − x
x> x0
0
0
0 ,
x< x0
)
határérték, akkor ezt az f függvény jobboldali deriváltjának
nevezzük x 0 pontban és f ′
j ( x 0 ) -val vagy f ′ ( x 0 + 0)
-val jelöljük. Tehát
f ( x) − f ( x0)
f ′
j ( x0) = f′ ( x0
+ 0) = lim
.
x→x0 x − x
Megjegyzés. Ha x 0 torlódási pontja a ( −∞, x0)
∩ D és ( 0 ) ,
halmazoknak, az
f ′ ( x ) = f ′ ( x ) .
b 0 j 0
x> x0
0
)
0
0
x + ∞ ∩D
f : D → függvény pontosan akkor deriválható az x 0 pontban, ha
Gyakorlatok
1. Deriválhatók-e az alábbi függvények a megadott pontokban?
a) f ( x) = x ⋅ x , az x 0 = 0 pontban;
b) f ( x) = ln x , az x = 1 és x 0 = −1
pontokban;
0
2 3
c) f ( x) = ( x − 1) ( x + 1)
, az x = −1 és x 0 = 1 pontokban;
2
sin x
d) f ( x)
= az x x
0
e + x + 1
= −1 és x 0 = 1 pontokban;
⎧ 2
⎪1
−x , ha x ≤1
e) f ( x)
= ⎪
⎨ az x 0
⎪1 − x , ha x > 1
⎪⎩
= 1 és x 0 = −1
pontokban;
1
f) fx ( ) = arccos( 4x−1) az x 0 = pontban;
4
⎧⎪ 2
ln( x + 1 ) ,
g) fx ( ) = ⎪
⎨
⎪ 7 4
x + 5 x ,
⎪⎩
x ≥ 0
az x 0
x < 0
= 0 pontban;
⎧⎪ 3
⎪ x + 1,
h) fx ( ) = ⎪
⎨ x + 1
⎪
,
⎪⎪⎩ x −1
x ≥−1
az x 0
x < −1
= −1
pontban;
0

Deriválható függvények 117
x ⎧⎪ 3 −1, i) fx ( ) = ⎪
⎨
⎪ sin x, ⎪⎩
x ≥ 0
az x 0
x < 0
= 0 pontban.
2. a) Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f :(0, ∞) → ,
(
⎧⎪ 4
ln x, x 0, ⎤
⎪ ∈ e⎥
fx () = ⎨
⎪ ⎦ függvény deriválható legyen e -ben.
⎪ 2
⎪ax
+ bx + c, x > e
⎪⎩
b) Határozd meg az a, b paraméterek értékét úgy, hogy az f :[ −1,1] → ,
)
⎧⎪ sin x
⎪ , x ⎡
⎪ ∈−1,
fx () x
⎢ 0
= ⎪
⎣
⎨ függvény deriválható legyen 0 -ban, majd bizonyítsd
⎪ 3
x + ax + b, x ∈ ⎡0, 1⎤
⎪
⎪⎩
⎢⎣ ⎥⎦
be, hogy az így meghatározott a, b értékekre f () x ≤1, ∀x ∈[ − 1, 1] .
5.5. A gyökfüggvény deriváltja
( )
Tekintsük az f : 0, + ∞ → , ( ) n f x = x , n függvényt. esetén
*
∈ x 0 > 0
lim
n n
x − n x n
0 x − x0
lim = lim
n =
x − x x − x
n
n
( ) ( )
x→x0 x→x0 n
0 0
n n−1 n n−2 n 1
( x n x0)( x x x0 ... n −
− + + + x0
)
x→x0 n
x − x
n n
1
1 1 1 −1
n
= = = ⋅ x 0 .
x + x + ... + x n x n
n n−1 n n−1 n n−1 n n−1
0 0 0 0
Az f tehát minden x > 0 pontban deriválható és
⎛ 1⎞′ 1
1 −1
1
n
n n
( x) ′ = ⎜
⎜x ⎟ = ⋅ x = .
⎜⎜⎝ n n−1
⎠⎟ n n⋅x Gyakorlatok. Határozd meg a következő függvények maximális deriválhatósági
tartományát és számítsd ki a deriváltját:
1. ( ) 5 f x = x ; 2. ( ) 3 f x = x ;
2
3. f ( x) = x x ;
4. ( ) 3
f x = ( 2x + 1)( x + 3 x + 1)
.
5.6. Az exponenciális függvény deriváltja
x
Vizsgáljuk meg az f : → , f ( x) = a , a > 0 , a ≠ 1 függvény deriválhatóságát.
x x0 x−x0 t
a −a x a −1 1
0 x a −
0
x0
lim = a ⋅ lim = a ⋅ lim = a ⋅ lna.
x −x x −x
t
x→x0 x→x0 t→0
0 0
x x
Tehát ( a ) ′ x x
= a ⋅ lna
. Sajátos esetben ( e ) ′ =
e .
2
0
=

118 Deriválható függvények
5.7. A logaritmus függvény deriváltja
( )
Legyen f : 0, + ∞ → , f ( x) = ln x és x > 0 .
⎛ x x ⎞
0
ln⎜ −
⎜1 + ⎟
ln ln x
⎟
x − x0 ⎝ ⎜
0 ⎠ ⎟ 1 1 ln( 1 + t)
1
f′ ( x0) = lim = lim lim
x→x0 x x x→x x − x ⋅ = ⋅ = ,
− 0
0
t 0
0 x0 x →
0 t x0
x 0
1
tehát ( ln x) ′ ln x
= , ∀ x > 0 . Ebből és a log a x = egyenlőségből következik,
x
lna
1
hogy ( loga
x ) ′ = .
x ⋅ lna
5.8. A szinusz és a koszinusz függvény deriváltja
1. Számítsuk ki az f : → , f ( x ) = sin x függvény deriváltját!
Rögzített x 0 esetén ∈
x − x0 x + x0 0
2sin cos
⎛ x − x
sin
⎞
sin x − sin x
⎜
0 2 2 ⎜ 2 x + x
⎟ 0
lim = lim = lim ⎜ cos
⎟
⎜
x→x0 x x x→x0 x x x x
⎟
0
0
0 x x
→ −
0
2
⎟ =
− − ⎜ ⎟
⎜⎜⎝ 2
⎠ ⎟
x − x0
sin
2
x + x0
= lim lim cos 1 cos x0 cos x0
x→x x − x ⋅ = ⋅ = ,
0 0 x→x0 2
2
mert a koszinusz függvény minden x 0 ∈ pontban folytonos. Tehát a szinusz
függvény minden pontban deriválható és
( sin x) ′ = cos x .
2. Számítsuk ki az f : → , f ( x ) = cos x függvény deriváltját! Rögzített
x 0 ∈ esetén:
x + x0 x − x0
−2sin
sin
cos x − cos x0
lim = lim 2 2 =
x→x0 x −x x→x0 0 x −x0
x − x0
sin
x + x0
= lim sin ⋅ lim 2 sin x 0
x→x0 2 x→x x − x = − , tehát
0
0
2
( cos x) ′ = − sin x .
5.9. Műveletek deriválható függvényekkel
Éppen úgy, mint a folytonosság vizsgálata esetén, azt várjuk, hogy a számolás
szempontjából hasznos megállapítani, mit mondhatunk az összeg, szorzat, stb.
differenciálhatóságáról (deriválhatóságról).
0

Deriválható függvények 119
1. Az összeg deriváltja
Tegyük fel, hogy az f, g : D → függvények deriválhatók a D tartomány
x0∈D torlódási pontjában. Deriválható-e az f + g függvény az x 0 pontban és ha
igen, akkor hogyan számíthatjuk ki deriváltját? A feltevés szerint létezik
f ( x) − f ( x0)
g( x)
− g( x 0 )
lim
= f ′ ( x 0 ) és lim
= g′ ( x0)
. Az ( f + g)
-hez tartozó
x→x0 x − x
x→x0 0
x − x0
( f + g)( x) − ( f + g)( x ) ( ) ( )
0 f x + g x −f ( x0) −g(
x0)
hányados
= =
x −x0 x −x0
f ( x) −f ( x ) ( )
0 g x −g(
x0)
= +
,
x −x0 x −x0
és ebből
( f + g)( x) − ( f + g)( x0)
lim
= f ′ ( x0) + g′ ( x0)
,
x→x0 x − x0
azaz f + g deriválható és a deriváltja az f és g deriváltjainak összegével egyenlő.
Rövid jelölés:
( f + g) ′ = f′
+g′.
Gyakorlatok
1. Számítsd ki a következő függvények deriváltját:
+ x
+ 3
x + x −1
2
2
a) x ; b) x ; c) ( ) .
2. Számítsd ki a következő függvények deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági
tartományt:
a) fx ( ) = sinx+ cosx;
b) fx ( ) = cosx− tgx;
c) ( ) ctg 5 ;
x
fx = x+
x
⎛1⎞ d) fx ( ) = log3x
− ⎜
⎟
⎜⎝
⎟
2⎠
⎟ ; e) fx ( ) x x
3. Ha az 1, 2, 3,
... , n
f f f f függvények ( ) *
n ∈
deriválható-e az
1 2 3 ...
2
1 1
= + − .
x x
5 3 4 3
x
= + ; f) fx ( ) e
3
n
n
k=
1
az x pontban deriválhatók, akkor
f + f + f + + f =∑ f függvény az x pontban? Ha
igen, mi a deriváltja?
4. Bizonyítsd be, hogy ha f és g deriválható az x 0 -ban akkor f − g is az, és
( f − g) ′ ( x0) = f′ ( x0) − g′
( x0)
.
5. Ha f és g egyike sem deriválható az x 0 -ban, következik-e ebből, hogy f + g
sem deriválható az x 0 -ban?
2. Szorzat deriváltja
Tegyük fel, hogy az f, g : D → függvények deriválhatók a D tartomány
x ∈ D torlódási pontjában. Deriválható-e az f ⋅ g függvény az x
pontban?
0
k
0
0
0

120 Deriválható függvények
A feltevés szerint létezik a
g( x) − g( x0)
lim
= g′ ( x0)
határérték. Az
x→x0 x − x
0
f ( x) − f ( x0)
lim
= f ′ ( x 0 )
x→x0 x − x
f ( x) g( x) −f ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 g x0 f x g x − f x0 g x + f x0 g x − f ( x0) g( x0)
= =
x −x0 x −x0
f ( x) −f ( x )
( )
0 f x −f
( x0)
= ⋅ g( x) + f ( x0)
⋅
,
x −x0 x −x0
egyenlőség alapján
( fg)( x) −(
fg)( x0)
lim
= f ′ ( x0) ⋅ g( x0) + f ( x0) ⋅ g′ ( x0)
.
x→x0 x − x0
Tehát ha az f és g függvény az x 0 pontban deriválható akkor az f ⋅ g függvény is
deriválható ebben a pontban és a deriváltja ( fg) ′ ( x0) = f′ ( x0) g( x0) + f ( x0) g′ ( x0)
.
Rövid jelöléssel ( f ⋅ g) ′ = f′ ⋅ g + f ⋅ g′
.
Következmény. Ha az f : D → függvény deriválható a D tartomány x0D ∈
torlódási pontjában, akkor a ( c⋅f) : D → függvény (c -állandó) is deriválható az
x ∈ D pontban és
0
( c⋅ f) ′ ( x ) = c⋅ f′ ( x ) .
0 0
Gyakorlatok és feladatok
1. Deriválhatók-e a következő -en értelmezett függvények? Ha igen számítsd ki a
deriváltjukat is.
2
a) f x = x + 1 2x + 1)
; b) ( ) 3 f x = x ;
( ) ( )(
3 2
c) f ( x) = ( 3x + x −1)( x − 4x
+ 5 ) ; d) ( ) 2 f x = x − x + 2 .
2. Számítsd ki a következő függvények deriváltját és állapítsd meg a deriválhatósági
tartományt!
a) fx ( ) = 3x⋅lnx; 2 x
b) f ( x) = x ⋅ e ;
1
c) f ( x) = ⋅ sinx
;
x
3 x
d) fx ( ) = x⋅
3 ;
x
e) fx ( ) = 5 ⋅ cosx;
f) fx ( ) = ln2⋅( lgx)
⋅ x;
1
g) f ( x) = ⋅ lnx + 2
x
3
2x ⋅ tgx
;
5
h) fx ( ) = x⋅ ctgx+ ln4.
3 7
3. Ha az f 1 , f 2 , f 3 függvények az x 0 pontban deriválhatók, akkor az f1ff 2 3 szorzat
deriválható-e az x 0 pontban? Ha igen, mi a deriváltja?
4. Ha f1, f2, ... , f n függvények deriválható függvények az x 0
pontban, akkor
0
és

Deriválható függvények 121
f f ... f
1 2
n
n
= ∏ f deriválható függvény-e és mennyi a deriváltja?
k
k=
1
5. Számítsd ki a következő függvények deriváltját:
x
a) fx ( ) = 10x⋅lnx⋅ e ; b) fx ( ) = 7 x⋅sinx⋅ tgx;
4 c) ( ) log3cos 5 x
fx = x⋅ x⋅ x⋅
.
6. a) Bizonyítsd be, hogy ha a P ∈ [ X] polinom gyökei az x1, x 2,...,
xnpáronként
különböző valós számok, akkor
{ 1 2 }
∀x ∈ \ x , x ,..., x n .
b) Számítsd ki az
1 1
1 P′ ( x)
+ + ... + = ,
x −x x −x
x −x
P(
x)
1 2
1 1 1
+ + ... +
+ x + x + x
1 1 1 2 1 n
n
PX ( ) = X − X+
1 polinom gyökei.
7. Ha az f és g nem deriválható az x 0 pontban következik-e ebből, hogy f ⋅ g sem
deriválható az x 0 pontban?
3. Hányados deriváltja
Vizsgáljuk meg az
f, g : D →
f
g
n
összeget, ha x1, x 2,...,
xn
a
függvény deriválhatóságát az x pontban ha
0
deriválhatók az x ∈ D pontban és g( x ) ≠ 0 (x 0 torlódási pontja a
0
D -nek)!
f 1
Az = f ⋅ miatt elegendő az
g g
1
deriválhatóságát vizsgálni ha g deriválható
g
az x 0 pontban és g( x0) ≠ 0 .
1 1
−
g( x) g( x ) ( )
0 g x − g( x0) ⎛ 1 ⎞ ( )
lim lim
⎜ ⎟ g′ x0
= ⋅− ⎜
⎟
x→x 2
0 x x x→x0 x x ⎜ ⎟ = − ,
− − ⎜⎝
g( x ) g( x) ⎠⎟g
( x )
Tehát az 1
g
alapján az f
g
0 0 0
⎛1⎞′ g′ ( x0)
is deriválható és ⎜ ( x 0 ) ⎟ f 1
= − . Így az = f ⋅ egyenlőség
2
⎝⎜g ⎠⎟
g ( x ) g g
függvény is deriválható az x pontban és
0
⎛f⎞′ ⎛ 1⎞′ 1 ⎛1⎞′ ⎜
⎟ ( x0) = ⎜f ⋅ ⎟ ( x0) = f′ ( x0) ⋅ + f ( x0) ⋅ ⎜ ⎟ ( x ) =
⎜g ⎟
⎜ g
⎟
⎜
g( x ) ⎜g
⎟ 0
⎜⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎠ ⎝⎜ ⎠⎟
1 f ( x0) ⋅g′ ( x0) f′ ( x0) ⋅g( x0) −f
( x0) ⋅g′
( x0)
= f′ ( x0)
⋅ − =
.
2 2
g( x ) g ( x )
g ( x )
0 0 0
0
0
0
0

122 Deriválható függvények
⎛f⎞ ′
fg fg
Érvényes tehát a következő deriválási szabály: ⎜
′ − ′
⎜⎜
⎟ = . 2
⎝g⎠⎟g Példák. 1. Az f, g : →
2
, f ( x) = 2x
−
4
x és g( x ) = x + 2 függvények
f
deriválhatók minden x ∈ pontban és g( x ) > 0 , ∀x∈ . Ezért
g minden
pontban deriválható és
2 4 3 3
⎛ 3 6 4 2
2x x⎞′ ( 6x − 1)( x + 2) −( 2x −x)(
4x
⎜ − ⎟
) − 2x
+ 3x + 12x − 2
⎜ ⎟ = 4 4 2 =
4 2
x 2
⎟
.
⎜ ⎝ + ⎠ ⎟
x + 2 x + 1
π
2. Az f { kπ}
( ) ( )
: \ +
2
→ ,
sin x
f ( x) = tgx
= függvény az értelmezési
cos x
1
tartomány minden pontjában deriválható és egyenlő -val ugyanis
cos x
sin x ′ cos x cos x sin x ( sin x)
1
( tgx)
′ ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ −
= ⎜
⎟
⎜⎝
= =
2 2
cos x⎠ ⎟
cos x
cos x ,
π
x ≠ + k π ( k ∈ ).
2
Hasonlóan az f ( x ) = ctgx
függvény esetén, ahol x ≠ k π ( k ∈ )
Gyakorlatok
cos x ′
′ ⎛ ⎞ −sinx ⋅sin x −cos
x.cos x 1
⎜
⎟
⎜⎝sin x⎠⎟ sin x
sin x .
( ctgx
) = ⎟ = =−
2 2
1. Számítsd ki az alábbi függvények deriváltját (a megadott pontban), határozd meg
a függvény maximális értelmezési tartományát és maximális deriválhatósági
tartományát:
2x−3 a) fx ( ) = , x 2
0
x − x + 1
= 1 ;
1
b) fx ( ) = , n , x ;
n
x
*
∈ 0 = 2
2
x − x + 1
c) fx ( ) = , x 2
0
x + x + 1
= − 1;
x
d) f ( x)
=
1 + x
, x 0 =± 1 ;
x
e) fx ( ) = 4
1 + x
, x 0 = 0 ;
4 x + 1
f) f ( x)
=
6 x + 2
; g) ( )
x
f x = ; 2
1 + x
2
x
h) f ( x)
= ; 4
1 + x
ln x + x
i) fx ( ) = ;
ln x − x
4sinx
j) fx ( ) =
3cosx+ 1
;
x
e −1
k) fx ( ) = ; x
e + 1
tg x + sin x log3
x
l) fx ( ) =
; m) fx ( ) =
cos x + 2
log x − 1
.
0
3

Deriválható függvények 123
4. Összetett függvény deriváltja
3
A sin 2x vagy si n x függvények összetett függvények. Az f ( x) = sin ( 2x)
3
f ( x) ( sin x)
3
vagy = = sin x függvény összetevői (komponensei) külön
deriválhatók. Általában hogyan számolhatjuk ki az ( f g)( x ) = f [ g( x)
] függvény
deriváltját (az x 0 pontban) az f és g deriváltjának segítségével?
f ( g( x) ) −f ( g( x ) ) ⎡ ( ( )
0 f g x ) −f ( g( x0) ) g( x) − g( x0)
⎤
lim = lim ⎢ ⋅ ⎥ =
x→x0 x −x x→x ⎢ 0 ( )
0 g x g( x0) x x
⎥
⎢ − −
⎣ 0 ⎥⎦
f ( u) −f ( u ) ( )
0 g x −g(
x0)
= lim ⋅ lim
,
u→u0 u −u x→x0 0 x −x0
ahol u = g ( x)
, u0 g ( 0 . Ha x akkor u u , tehát
x = ) → x0
→ 0 = g( x0)
f ( g( x) ) − f ( g( x0)
)
lim
= f ′ ( g( x0) ) ⋅ g′ ( x0)
.
x→x0 x − x0
Röviden:
( f g) ′ ( x) = f′ ( g( x) ) ⋅ g′ ( x)
.
2
Példák. 1. Az ( ) 3 f x = x =
3 2
x
2
függvény az x és
x
′
⎛ ⎞′ 1
= 2x
és ⎜
⎜x
⎟ = x
⎝⎜ ⎠⎟
3
2
( )
1 2
−
3 3 , tehát ( )
Általában, ha m n akkor
*
, ∈
2
2. Ha f ( x) x x
50
3. Ha f ( x) sin x
= + + 1 , akkor
⎛ 2⎞′ 2 1
2 −12 −
3 3
3
f ′ x = ⎜
⎜x ⎟ = x = x .
⎜⎜⎝ ⎠⎟
3 3
⎛ ⎞′ ⎜
m
⎜x ⎟ = ⋅ x
⎜⎝ ⎠⎟
n
m m
−1
n n
1
1
− 2x+
1
2 2
2
x x 1
f′ x = x + x + ⋅ x + =
2
( ) ( 1 2 ) ( 2 1)
49
= , akkor f ′ ( x) = 50 sin x ⋅ cos x .
.
1
3
x összetevéséből származik.
+ +
4
= cos
3
+ x)
, akkor ( )
3
4cos (
3
) ( cos(
3
) )
( x x) ( x x)( x ) 4 3 1 cos sin
4. Ha f ( x) ( x
f x x x x x ′
′ = + ⋅ + =
3 3 3 2
2 3 3 3
= − 4cos + sin + 3 + 1 = − ( x + ) ( x + x) ( x x)
3 3
2
5. Ha f ( x) = ( sin x)
= sin x , akkor f ′ ( x) = 3sin x cosx
.
6. Ha f ( x) = sin 2x
, akkor f ′ ( x) = 2cos2x
.
( ) ( ) 8
4 2 7 3
= − + f ( x) ( x x ) ( x
4 2
7. Ha f x 2x 5x 6 , akkor
8. Ha ( ) ( ) 1
2 2 2 2
f x = a − x = a − x 2 , akkor
′ = 82 − 5 + 6 8 −10) x .
.
+ .

124 Deriválható függvények
9. Ha ( )
1
1 2 2 −
f′ ( x) = 2 ( a −x ) ( − 2x)
=
2
−x
2
a − x
2
, ha x ∈( −a
, a)
.
f x
3
2 2
= sin 5x
, akkor f ′ ( x) = 3sin 5x ⋅ 5cos5x = 15sin5x ⋅ cos5x
.
Gyakorlatok
I. Határozd meg a következő függvények deriválási tartományát és számítsd ki a
deriváltjukat:
x
1) f ( x) = e sin 2x
;
2 2 x
cos 2x
2) f ( x) = x ⋅ sin x + e ⋅ cos x ; 3) f ( x)
= ; x
e
2
sin x
3
4) f ( x)
= 5) f ( x) = x ⋅ ln x ; x
e + x + 1
x
6) f ( x) = e ⋅ ln x ;
x
7) f ( x)
= ;
ln x
2 3
8) f ( x) = x cos x + x sin x ; 9) f ( x) = x sin x ;
sin x + cos x
10) f ( x) = sin x cos x ;11) f ( x)
=
; 2
x − x + 1
tgx
12) f ( x)
= ; 2
x + 1
6 6
3 4
sin x + cos x −1
13) f ( x) = ( x + 2)
; 14) f ( x)
=
; 15) f ( x) = 4 4
sin x + cos x − 1
2
1+ 5x
;
2
x 3x
16) f ( x) e −
= ;
3 2
17) f ( x) = ln( 2x − 4 x ) ; 18) f ( x) = tg x ;
sin
19) ( ) 5 x
2 3
f x = ; 20) f ( x) log0,3 ( 8x 2 )
2
22) f ( x) cos 3x
= − x ; 21) f ( x) = cos( 2x − 1)
;
3 2
2
= ; 23) f ( x) = lg( 2x − 4 x ) ; 24) f ( x) = x ⋅ tg x ;
25) f ( x ) = sin
3
ax ; 26) f ( x) = cosx − sinx
; 27) f ( x ) = ;
1
28) f ( x)
= ;
cos 2x
29) ( ) ( ) 100
2 5
f x = x + 5x −8 ⋅x ; 30) fx ( ) =
3
x + 1;
1
31) f ( x) = ln sin x ; 32) fx ( ) = ; 5
ln (3 x)
2 2 4
33) f ( x) = tg ( x +x ) ;
x−1
x + 1
34) f ( x) = e ; 35) fx ( ) =
II.
2
3
4 2
( x + x + )
log 1
2
1. Bizonyítsd be, hogy az f ( x) = c 1 + x , x ∈ függvényre igaz az
xf ( x)
f′ ( x)
= egyenlőség.
2
1 + x
( )
2. Vezess le egy deriválási szabályt a ( ) ( ) függvényre, ahol
gx
hx = fx
.
1
3 x
*
f : D +
→
és g : D → deriválható függvények. Ennek a segítségével számítsd ki a következő
függvények deriváltját:
x
a) fx ( ) = x ; b) ( ) ; c)
sin
2 x
x
x
fx ( ) = x + 1
f ( x) = x .

Deriválható függvények 125
3. Bizonyítsd be, hogy ha az f : D → függvények deriválhatók ij= , 1, 3, akkor
a
ij
f ( x) f ( x) f ( x)
11 12 13
∆ ( x) = f ( x) f ( x) f ( x)
,
21 22 23
f ( x) f ( x) f ( x)
31 32 33
∀x ∈D
függvény is deriválható és
f ′ ( x) f′ ( x) f′ ( x) f ( x) f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x) f ( x)
11 12 13
11 12 13 11 12 13
∆ ′ ( x) = f ( x) f ( x) f ( x) + f ′ ( x) f′ ( x) f′ ( x) + f ( x) f ( x) f ( x)
21 22 23 21 22 23 21 22 23
f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ′ ( x) f′ ( x) f′ ( x)
31 32 33 31 32 33 31 32 33
4. Számítsd ki a következő függvények deriváltját:
a) f ( x)
=
x + 1
;
x − 1
b) f ( x) =
2
x + 2 ;
3 2x1 c) f ( x) x e +
= ⋅ ;
2
d) f ( x ) = ln ln x ; e) f ( x) = ( x + 1sin2 ) ( x + 1)
;
2x3 f) f ( x) e +
= ; g) f ( x) x ln
2x
2x2 i) f ( x) = e ln x ; j) f ( x) 2 sin x
2 2
x
= ⋅ x ; h) f ( x) = ( x + 1)
e ;
x
= ; k) f x = e + x ;
x 3
l) f ( x) = e cos x ; m); ( ) ( ) 6
f x = sin x + cos x
f x
n) ( )
p) ( )
2+ lnx
= x
1 + e
2
cos x
f x
; o) ( )
2
x − x + 1
= ;
ln x
3
f x = e ; q) f x = sin x + 7 ;
r) f ( x) = sin sin sin x
fx ( ) = x, x>
0
( ) ( ) 7
2
; s) f x = x − x + 2 .
( ) ( ) 100
( ) ( ) 12
α
5. Számítsd ki az függvény deriváltját, ha α irracionális szám!
6. Határozd meg a következő függvények grafikus képéhez a megadott pontban
húzott érintő egyenletét:
3
a) f ( x) = x + x + 1 , M 0(1, 3) ; b) f ( x) = cos 2x
, M 0( π,
1) ;
c) f ( x) = ln x , 0(3, ln 3) ; d)
x
M f ( x) = e , M ;
0(0, 1)
7.
2
f ( x) = x −3x − 6.
Írd fel az érintő egyenletét a grafikus kép x 0 = −1
1
abszcisszájú pontjában .
2
8. f ( x) = x . Mi az érintő egyenlete az x 0 pontban?
∈
9. f ( x) = x( x − 1)( x + 2)(
x + 3)
. Mi az x = 1 -ben húzott érintő egyenlete?
2
10. f ( x) = ( x − 2)
( x + 3)
. Mi az érintő egyenlete az x = 2 pontban?
1
A továbbiakban, ha félreértésre nem ad okot, egyszerűen az x 0
pontban húzott érintőről
beszélünk.
0
0

126 Deriválható függvények
11. f ( x) = ( x −3) 7−x
, az x = 3 pontban írd fel az érintő egyenletét!
0
2
12. f ( x) = 5 + x , az y 0 = 3 ordinátájú pontokban írd fel az érintők egyenletét!
2
13. Az f ( x) = 1 + x függvény grafikus képén határozzuk meg azt a pontot,
x
amelyben a grafikus képhez húzott érintő párhuzamos az y = + 1 egyenessel.
2
2
14. Az f ( x) = ( 1− x)(
1 + x)
függvény grafikus képének melyik pontjában húzott
érintő halad át a ( −1
, 0) ponton?
15. Van-e az
2
f ( x) = x + 4x
+ 8 és
2
g( x) = x + 8x
+4 függvények
grafikonjának egy közös érintője?
16. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely az
4 3 2
f ( x) = x − 2x
+ x + x − 2 függvény grafikonját két helyen érinti.
ax + 2
f : \ → , fx ( ) = függvény. Határozd meg az a ∈
3
3x−2 paraméter értékét úgy, hogy az x 0 pontban a grafikus képhez húzott érintő az Oy
tengellyel 45° -os szöget zárjon be.
x
18) Határozd meg az m és az n paraméter értékét úgy, hogy az fx ( ) = és
x + 1
2
gx ( ) = mx + nx+
1 függvények 2 abszcisszájú pontban érintsék egymást.
2
17) Adott az { }
5. Az inverz függvény deriváltja
A folytonos függvények tulajdonságai alapján ha I ⊆ intervallum és az
f : I → függvény folytonos, akkor f ( I ) is intervallum. Az f : I → f ( I)
−1
függvény szürjektív, tehát ha az f függvény injektív is, akkor létezik az f : J → I
inverz függvény, ahol J = f ( I)
. A folytonos függvények tulajdonságaiból az is
következik, hogy az inverz függvény folytonos. A következő tétel az inverz függvény
deriválhatóságát biztosítja, ha f deriválható és a deriváltja sehol sem 0 .
Tétel. Ha I és J intervallumok és f : I → J bijektív, valamint f deriválható az
1
x 0 pontban és f ′ ( x 0 ) ≠ 0 , akkor f − deriválható az y0 = f ( x0)
pontban és igaz az
alábbi egyenlőség:
− 1
1
( f
′ ) ( f ( x0)
) = .
f′ ( x )
Bizonyítás.
−1 −1
f () y − f ( y0) x − x0
1
lim = lim = , ahol az
y→y0 y −y x→x0 f( x) −f
( y ) f′ ( x )
0 0
−1
f ( y)
= x változócserét hajtottuk végre a határértékben. Ebből következik, hogy
1
f − deriválható y f ( ) -ban és igaz a tételben szereplő egyenlőség.
x =
0 0
0
0

Deriválható függvények 127
Következmény. Ha f deriválható I -n és f ′ ( x) ≠ 0, ∀ x ∈I , akkor 1
f −
1
deriválható J f ( I)
-n és ( )
−
=
′ ( )
is megkaphatjuk, ha az ( )
eredményt előre is megmondhatjuk.
1
f ( f x ) = , ∀x ∈I
. Ezt az összefüggést úgy
f ′ ( x)
f f x = f( f x ) = x
−1 −1
( ) ( ) egyenlőséget deriváljuk. Így az
Példák
1. Az
⎡ π π⎤
f : ⎢− , ⎥ → ⎡−1, ⎤
2 2
⎢ 1
⎢ ⎥ ⎣ ⎥,
⎣ ⎦ ⎦
f ( x ) = sin x függvény szigorúan növekvő a
⎡ π π⎤
⎢−,
⎥
⎢⎣ 2 2⎥
⎦
intervallumon, tehát van inverze
−1 f : ⎡ ⎡ π π⎤
−1, 1 ⎤ → ⎢− , ⎥
⎣⎢ ⎦⎥ ⎢⎣ 2 2⎥⎦
,
−1
f ( x)
= arcsin x . Az inverz függvény deriválási szabályát alkalmazva:
1
( arcsin x)
′ = =
cos( arcsin x) 1
=
2
1 −sin ( arcsin x) 1
2
1 −x
, ha x ∈( −1,
1) .
2. Az f :[0, π] →− [ 1, 1],
f ( x ) = cos x függvény szigorúan csökkenő és inverze
− 1
f = arccos : [ −1, 1] → [0,
π]
, tehát
− ′ 1 1
1
= ′ = =− = −
−sin arccos x 1 −cos arccos x 1 −x
1
( f ( x) ) ( arccos x)
ha x ∈( −1,
1) .
( ) 2 2
( )
3. Az
⎛ π π⎞
f : ⎜−
⎜ , ⎟
⎜⎝
⎟ →
2 2⎠⎟,
f ( x ) = tg x függvény szigorúan növekvő, inverze
1
f
− ⎛ π π⎞
: , ⎟ −1
→ ⎜
⎜− ⎟ (
⎜⎝ 2 2⎠⎟,
f x) = arctg x , tehát
( arctg x) ′ =
1
1
2
cos ( arctg x)
2
1
1
= cos ( arctg x)
= = .
2 2
1+ tg ( arctgx) 1+
x
Gyakorlatok
Számítsd ki a következő függvények deriváltját és határozd meg a deriválhatósági
tartományt:
a) f ( x) = 3 4 x ⋅ x ⋅ x ;
1 5 x
b) fx ( ) = x− arctg 2x + arctg
2 3 3 ;
1+ 3x
c) fx ( ) = arcsin ;
2
2x
d) fx ( ) = arccos 2
1 + x
;
e) fx ( ) = 5xarcsin3x; f)
1 2
arccos( x + 1)
;
3
,

128 Deriválható függvények
2 2x+
1
g) fx ( ) = arctg ;
3 3 3
i) fx ( ) = arcsin( cosx)
.
2
h) f ( x) = ( x + 1) arctgx
;
5.10. A függvény differenciálja
Értelmezés. Az f : D → függvényt differenciálhatónak nevezzük az x0D pontban, ha létezik olyan m ∈ szám, amelyre
∈
⎛f( x) f ( x0) m( x x0)
⎞
lim ⎜ − − −
⎜
⎟ 0
x→x ⎜
=
0 x x
⎟ .
⎜⎝ −
⎟
0 ⎠
A df ( x 0 ) : → , df ( x 0 ) ( h) = m ⋅ h függvényt az f differenciáljának nevezzük
az f pontban.
Tehát az f függvény akkor és csakis akkor differenciálható az x 0 pontban, ha
deriválható -ban és a függvény differenciálja az x -ban a df lineáris
függvény: df .
∈
x 0
0
( x 0 )
( x ) () t = f ′ ( x ) ⋅t
0 0
5.11. Magasabb rendű deriváltak
Értelmezés. Az f : D→ függvényt az x0 ∈ D pontban kétszer deriválhatónak
nevezzük, ha f deriválható az x egy V ∩ D környezetén és az f′ : V ∩D→ függvény is deriválható az
′
( f ′ ) ( x0 ) f′ ( x0)
= ′ -val jelöljük.
0
0
x pontban. Az f másodrendű deriváltját az x pontban
Ha f ′ deriválható a D halmazon akkor azt mondjuk, hogy f kétszer deriválható a
D -n és a másodrendű deriváltját ′′ ( ′ )
f = f ′ -vel jelöljük. Az f′′ : D→
függvényt
másodrendű deriváltnak (második deriváltnak) nevezzük és f -vel is jelöljük.
Értelmezés. Azt mondjuk, hogy az f : D→ függvény n -szer deriválható
( 2)
n ≥ az x0 D
környezetén és az (
Az
∈ pontban, ha f ( 1)
1)
( 2)
n − -szer deriválható az x pont egy V ∩ D
n − -ed rendű derivált deriválható az 0
( n) ( n−
1)
′
( 0)
( ) ( 0
)
0
x ∈ D pontban.
f x = f x jelölést alkalmazzuk és ezt az f n -ed rendű
deriváltjának nevezzük az x pontban. Ha az f : D → függvény n -szer
deriválható D -n, akkor az
0
( n)
f : D → ,
( )
( n ) ( n−
1)
′
f ( x) = f ( x)
függvényt az f n -ed
rendű deriváltjának nevezzük..
*
Ha minden n ≥1
, n∈ esetén az f függvény n -szer deriválható egy
pontban (vagy egy halmazon) akkor azt mondjuk, hogy f végtelenszer deriválható
(az illető pontban vagy halmazon).
Megegyezés szerint, a nulladrendű derivált
( 0)
f = f éppen a függvénnyel egyenlő.
0

Deriválható függvények 129
Példák
1. Az f : → ,
k
f ( x) = x ( k ∈ )
végtelenszer deriválható és
( )
k
f ( x) = k!
,
2. Az f : \ { 0}
→ ,
f ( x)
n
( − ) ⋅
n 1
( ) 1 n!
( )
x +
n
f x = , ahol n ≥1 , x ≠ 0 .
x
3. Az f ( x) = e függvény esetében
természetes kitevőjű hatványfüggvény
( n)
( ) 0
f x
= , ha n> k.
1
= függvény végtelenszer deriválható és
x
( ) ( )
( ) ⎛ ⎞
4. sin = sin ⎜ + ⋅ ⎟
⎝ 2 ⎠
n∈ , , x∈ .
n x x n π
( ) ⎛ ⎞
5. cos = cos⎜
+ ⋅ ⎟
⎝ 2 ⎠
n∈ , , x∈ .
n x x n π
6. ( ) ( ) n−1
n ( −1) ⋅( n −1)
ln x
=
x ( n)
x
7. ( a ) = a ⋅ln
x
n
, a > 0)
.
n a (
! *
, n∈ .
n x
f x = e , n∈ , x∈ .
Gyakorlatok
1. Az u: D→ és v: D→ függvények n -szer deriválhatók. Igazold, hogy
a) ( )
( n) ( n) ( n)
u+ v = u + v ;
b) ( )
( n) n
k = 0
k
n
( k) ( n k)
u v C u v −
⋅ =∑ (A Leibniz-formula)
2. Határozd meg f ( x)
tartományon):
′′ -et az alábbi függvények esetében (a maximális
2
a) f ( x) = x 1+
x ; b) f ( x) = xln
x; c) ( )
2
d) f ( x) ( x )
= 1+ arctgx.
3. Számítsd ki 0 -t, 0 -t és
2
x
f x e −
= ;
sin x
f ( ) f ′ ( ) f ′′ ( 0)
-t, ha f ( x) e cos( sin x)
= ⋅ .
4. Bizonyítsd be, hogy az alábbi függvények kétszer deriválhatók a megadott
pontokban:
⎧⎪ arctg x, a) f : → , fx ( ) = ⎪
⎨ 3 ⎪ x + x, ⎪⎩
x ≥ 0
, x 0
x < 0
= 0 ;
⎧ 2
⎪sin
x, x ≤ 0
b) f : → , fx ( ) = ⎪
⎨ , x 2
0
⎪ x , x > 0
⎪⎩
= 0 ;
5
c) f : → , f ( x) = 2x − 6 , x =
3 .
0

130 Deriválható függvények
5. Határozd meg az a,, bc ∈ paraméterek értékeit úgy, hogy az f : → ,
2
⎪⎧
ax + b, fx ( ) = ⎪
⎨
⎪ 2
cx + 4+ ln( x − x + 1 ) ,
⎪⎩
legyen az -en.
x ≤ 0
, x 0
x < 0
= 0 ; függvény kétszer deriválható
6. Határozd meg az a ∈ paraméter értékeit úgy, hogy az f : → ,
ax
fx ( ) = x⋅ e függvény teljesítse az f ′′′ ( x) −f′′ ( x) −8 f′ ( x)
+ 12 f( x)
= 0
összefüggést minden x ∈ esetén.
7. Bizonyítsd be, hogy az f : →
f x x
, (
)
2
( ) 3 4 x
= −
e függvény n -edik
( n) 2
x
*
deriváltja f ( x) = ( 3x
+anx + bn)
e alakú, bármely n ∈ esetén, ahol
an, bn
valós számok. Határozd meg az a n és b n valós számokat az n
függvényében!
ln x
8. Számítsd ki az f :(0, ∞) → , f ( x)
= függvény n -ed rendű deriváltját!
x
9. Adott az f ( x) = c cos x + c sin x függvény, ahol c , c ∈ állandók.
1 2
Bizonyítsd be, hogy f ′′ ( x) + f′ ( x)
= 0 .
10. Számítsd ki a következő függvények n -ed rendű deriváltját:
2 x
a) f : → ,
f ( x) = x ⋅ e ;
2 2x
b) f : → ,
f ( x) = x ⋅ e ;
c) f :(0, ∞) → , f( x) = x ⋅ lnx
;
2
d) f :( −1,1) → , f ( x) = x ln( 1−
x ) ;
1
e) f : \{0,1}
, f ( x)
= ;
x( 1 − x)
3
x
f) f : \{1,2} → ,
f ( x)
= ;
2
x − 3x + 2
2
2
x
g) f : → ,
f ( x) = ( 1−x ) ⋅cosx ; h) f : → ,
f ( x) e −
= .
11. Azt mondjuk, hogy az f : D → és g : D → függvények grafikus képei
az x
( k) ( k)
pontban n -ed rendben érintik egymást, ha f ( x ) = g ( x ) , k = 0,
n és
0
1 2
0 0
( n+ 1 ) ( n+
1)
f ( x0) ≠ g ( x0)
. Vizsgáljuk meg, hogy hányad rendben érintik egymást az
alábbi függvénypárok grafikus képei:
2
2
1
x x
a) f ( x) = x és gx ( ) = x+
1−
; b) fx ( ) = e és gx ( ) = + x+
1.
x
2
12. Számítsd ki a következő görbék által bezárt szög mértékét:
a) ( ) 2
2
f ( x) = x − 2 és g( x ) = 4x−x− 4;
b) fx ( ) = sinxés
gx ( ) = cosx.
⎧⎪
1
2 ⎪ x −1
e , x ∈ −1,1
13. Bizonyítsd be, hogy az f : → ,
fx ( ) = ⎪
⎨
⎪⎪
⎪Px
( ), x∈
\ −1,
1
⎪⎩
függvény, ahol P ∈ [ X]
, pontosan akkor végtelenszer deriválható, ha P
identikusan nulla. (Felvételi feladat, Kolozsvár)
( )
( )

Deriválható függvények 131
A könnyebb memorálás érdekében összefoglaltuk a fontosabb deriválási képleteket és
szabályokat.
f f ′ deriválhatósági tart.
n
x , n ∈
m
x , n ∈
a
x , a
∈
*
−
\
n 1
nx −
m 1
mx − \{0}
a 1
a x −
⋅ (0, ∞ )
x
e
x
e
x
a , a > 0, a ≠ 1
x
a ⋅ lna
ln x
1
x
(0, ∞ )
loga x , a > 0, a ≠ 1
1
x lna
(0, ∞ )
sin x cos x
cos x − sin x
tg x
1
2
cos
1
2
tg x
π
\ (2k + 1)
2
k ∈
ctg x
− 1
2
= −1− ctg x
2
sin x
\ { kπk ∈ }
arcsin x
1
2
1 − x
( 1, 1) −
arccos x
−1
2
1 − x
( 1, 1) −
arctg x
1
2
1 + x
arcctg x
−1
2
1 + x
( )
x = + { }
( f + g) ′ = f′
+g ′
( f ⋅ g) ′ = f′ ⋅ g + f ⋅ g ′
⎛f⎞ ′
⎜ f′ ⋅g −f ⋅g′
⎜
⎟ =
⎜⎜⎝ 2
g⎠ ⎟ g
( f ( gx ( )) ) ′ = f′ ( gx ( ) ) ⋅ g′ ( x)
n
( n) k ( n k) ( k)
( f g) Cnf −
⋅ = ∑ ⋅ ⋅g
k=
1
f x
′
= g x ⋅f x ⋅ f′ x + f x ⋅ f x ⋅g′ x
gx ( ) gx ( ) −1
gx ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( )