Tavi - Ganatleba

I Tavi
§1
samkuTxedebis msgavsebis I niSani
B
A 1 C 1
A C
B
A C
gasaxseneblad!
naxazis mixedviT ipoveT xis simaRle, Tu biWis sima-
Rlea 1,6 m.
Tu samkuTxedis ori gverdi gadakveTilia mesame gverdis
paraleluri wrfiT, maSin am wrfiT miRebuli samkuTxedi
mocemuli samkuTxedis msgavsia.
A C
B 1
A 1 C 1
1
2
ABC samkuTxedis AB gverdis A 1 wertilidan gavlebulia
A 1 C 1 || AC monakveTi. ipoveT A 1 C 1 monakveTis
sigrZe, Tu AB=6 sm, A 1 B= sm, xolo AC=15sm.
Tu erTi samkuTxedis ori kuTxe meore
samkuTxedis ori kuTxis tolia, maSin es
samkuTxedebi msgavsia.
damtkiceba:
ganvixiloT ∆ABC da ∆A 1 B 1 C 1 . ∠A=∠A 1 da ∠B=∠B 1 .
ABC samkuTxedis B wverodan gadavzomoT BA =A 1 B 1
da BC =B 1 C 1 monakveTebi. samkuTxedebis tolobis II
niSnis Tanaxmad, ∆A BC =∆A 1 B 1 C 1 , saidanac miviRebT,
rom ∠A =∠A 1 , magram mocemulobis Tanaxmad ∠A 1 =∠A,
e.i. ∠A=∠A , saidanac wrfeTa paralelobis niSnis
Tanaxmad davaskvniT, rom A C ||AC. maSasadame,
∆ABC~∆A BC , magram ∆A BC =∆A 1 B 1 C 1 , e.i.
∆ABC~∆A 1 B 1 C 1 . r.d.g.

?
amocana
amocana
1
B
A C
N M
2
B
K
A C
1
2
3
4
5
K
N M
3
I Tavi
giam da daTom gadawyvites napirze SemoWrili tbis
patara yuris yvelaze ganieri adgilis gazomva.
amisaTvis maT A da B wertilebidan gaWimes Tokebi C
wertilSi gadakveTamde. Tokebis sigrZeebi – AC=15 m
da BC=10 m. amis Semdeg AC-s gagrZelebaze gadazomes
CN= m sigrZis monakveTi, xolo BC-s gagrZelebaze
– CM= m. MN-is sigrZis gazomvis Semdeg, romelic m
aRmoCnda, biWebma daaskvnes, rom AB tolia 10 m-is.
sworia Tu ara maTi varaudi?
or marTkuTxa samkuTxeds toli maxvili kuTxe aqvs.
pirvelis kaTetebis sigrZeebi sm da 4sm. ipoveT
meore samkuTxedis kaTetebis sigrZeebi, Tu misi
hipotenuzis sigrZea 15 sm.
amoxsna:
samkuTxedibi msgavsia I niSnis Tanaxmad. cxadia, pirveli
samkuTxedis hipotenuzis sigrZea 5 sm. maSasadame,
e.i. meore samkuTxedis kaTetebia 12 sm da 9 sm.
mocemulia ABC da MNK samkuTxedebi, amasTan ∠A=∠N,
∠B=∠K, AB=10; NK=10; BC=15. ipoveT KM.
amoxsna:
cxadia ∆ABC ~ ∆NKM, saidanac AB BC
= . e.i.
NK KM
10 15
= .
2 KM
pasuxi: KM= sm.
Semdegi winadadebebidan romelia mcdari:
Tu ori samkuTxedis TiTo kuTxe tolia, maSin es samkuTxedebi msgavsia;
Tu ori samkuTxedis ori kuTxe tolia, maSin es samkuTxedebi msgavsia;
ori tolferda samkuTxedi msgavsia;
marTkuTxa samkuTxedebi msagvsia, Tu Tolia TiTo msgavsi kuTxe;
KM= .
tolferda samkuTxedebi msgavsia, Tu maTi wverosTan mdebare kuTxeebi tolia.

4
I Tavi
sf
g
savarjiSoebi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
BCD marTkuTxa samkuTxedSi marTi D kuTxis wveroze gavlebuli BC
hipotenuzis paraleluri wrfe da B wveroze gavlebuli BC-s pependikularuli
wrfe ikveTebian A wertilSi. BD=1 sm, BC=18sm. ipoveT AD-s
sigrZe.
AD da BE ∆ABC-is simaRleebia, romlebic ikveTeba O wertilSi.
AD+BE= 5 dm, AO=9 dm, BO=1 dm. ipoveT OE da OD.
ABC samkuTxedSi C kuTxe marTia, AC=6 sm, BC=1 sm; BC gverdze aRebulia
D wertili ise, rom ∠ADC=90º–B.
^
rogor nawilebad yofs D wertili
BC gverds?
marTkuTxa samkuTxedSi, romlis kaTetia 9 sm, xolo masTan mdebare
maxvili kuTxe 60º, Caxazulia rombi ise, rom 60º-iani kuTxe maT saerTo
aqvT. ipoveT rombis gverdis sigrZe.
ABCD mocemuli paralelogramia, misi diagonalebis gadakveTis
wertilze gavlebulia BC–s perpendikularuli wrfe, romelic BC–s E
wertilSi kveTs, AB-s gagrZelebas ki – F wertilSi. ipoveT BE, Tu AB=a,
BC=b da BF=c.
ABCD trapeciaSi (BC||AD) diagonalebis gadakveTis wertilia O. daamtkiceT,
rom ΔBOC~ΔDOA.
ABCD trapeciaSi gavlebulia AC diagonali. ∠ABC=∠ACD. ipoveT AC
diagonalis sigrZe, Tu fuZeebis sigrZeebia 1 sm da 7 sm.
daamtkiceT, rom marTkuTxa samkuTxedSi simaRlis daSvebis Sedegad
miiReba sami wyvili msgavsi samkuTxedi.
paralelogramis gverdebis sigrZeebia dm da 16 dm. did fuZeze daSvebuli
simaRlis sigrZea 8 dm. ipoveT
mcire fuZeze daSvebuli simaRlis sigrZe.
B C
5
H
A
E 4,8
D
naxazis mixedviT ipoveT BH monakveTis
sigrZe, Tu cnobilia, rom ABCD
marTkuTxedia.

?
§2
samkuTxedebis msgavsebis II niSani
B
A C
A C
1
2
3
4
5
6
B 1
A 1 C 1
I Tavi
transportiris daxmarebiT daxazeT ori toil A da
A 1 kuTxe. A kuTxis gverdebze gadazomeT AB da AC,
xolo A 1 kuTxis gverdebze ki A 1 B 1 = AB da A 1 C 1 = AC
monakveTebi. Danayofebiani saxazaviT gazomeT BC
da B 1 C 1 monakveTebi da ipoveT maTi sigrZeebis
Sefardeba.
Tu ori samkuTxedis TiTo kuTxe tolia da am
kuTxis mimdebare gverdebi proporciulia,
maSin es samkuTxedebi msgavsia.
damtkiceba:
Semdegi winadadebebidan romelia WeSmariti:
1
anvixiloT ΔABC da ΔA B C . pirobis Tanaxmad,
1 1 1
∠B=∠B da A B
1
AB
1 1 B1C1 = B.
BC
ABC samkuTxedis BA gverdze gadavzomoT BA =B A 1 1
monakveTi. A wertilidan ki A C ||AC.
cxadia, ΔABC~ΔA BC , saidanac miviRebT, rom B
A B
AB
2 BC2
= (1)
BC
A B
AB
1 1 = BC2BA,
radgan BA =B1A , saidanac (1)-is gaTval-
BC
1
iswinebiT miviRebT, rom BC =BC . 1
maSasadame, samkuTxedebis tolobis pirveli niSnis
Tanaxmad,
ΔA BC =ΔA B C , e.i. ΔA B C ~ΔABC. r.d.g.
1 1 1 1 1 1
ori samkuTxedi msgavsia, Tu maTi ori gverdi proporciuli;
ori marTkuTxa samkuTxedi msgavsia, Tu maTi ori gverdi proporciuli;
ori tolferda samkuTxedi msgavsia, Tu maTi ori gverdi proporciuli;
ori tolferda samkuTxedi msgavsia, pirvelis ferdi da fuZe Sesabamisad
proporciuli meoris ferdis da fuZis.
ΔABC~ΔA B C , Tu ∠A=∠A ; 1 1 1 1 AB BC
=
A1B1 B1C1 ΔABC~ΔA B C , Tu ∠A=∠A ; 1 1 1 1 AB AC
=
A1B1 A1C1 5

6
I Tavi
g
amocana 1 ABC samkuTxedis AB da BC gverdebze aRebulia
Sesabamisad M da K wertilebi. ipoveT MK monakveTis
B
sigrZe, Tu AB=1 , MB=7, BK=6, BC=14, xolo AC= 6.
M
K
A C
savarjiSoebi
1
2
3
4
5
6
7
amoxsna:
ganvixiloT ∆ABC da ∆MBK.
MB
BC
7 1
= = ;
14 2
BK 6
= =
AB 12
1
2
miviReT, rom MB BK
= , xolo ∠B saerToa.
BC AB
samkuTxedebis msgavsebis II niSnis Tanaxmad,
∆MBK~∆CBA, saidanac miviRebT: MK 1
= .
AC 2
e.i.
1
MK= AC =13.
2
pasuxi: MK=1 .
mocemulia ABC da A 1 B 1 C 1 samkuTxedebi ∠B=∠B 1 . ipoveT AC:A 1 C 1 , Tu AB:
A 1 B 1 = BC:B 1 C 1 =5:7.
ori tolferda samkuTxedis fuZe da ferdi Sesabamisad proporciulia
meore samkuTxedis fuZisa da ferdis. ipoveT meore samkuTxedis
wverosTan mdebare kuTxe, Tu pirvelis fuZesTan mdebare kuTxe 5°.
mocemulia, rom ori marTkuTxa samkuTxedis kaTetebi proporciulia.
ipoveT meore samkuTxedis kuTxebi, Tu pirvelis erTi kuTxe 60°-ia.
ABC samkuTxedSi AB=15 m da AC=18 m. AB gverdze gadadebulia AD=10 m,
xolo AC gverdze – AE=1 m sigrZis monakveTebi. msgavsia Tu ara ΔABC
da ΔADE?
ABC da A 1 B 1 C 1 samkuTxedebis B da B 1 kuTxeebi tolia. amasTan, AB:
A 1 B 1 =BC:B 1 C 1 = ,5. ipoveT AC da A 1 C 1 gverdebis sigrZeebi, Tu maTi jami
4, m-ia.
4
ABC da EDF samkuTxedebSi ∠B=∠D, AB= DE
3
, DF= BC,
AC+EF=5 sm.
3 4
ipoveT AC da EF.
B C
E
H
A D
ABCD paralelogramia. S ABCD =60.
naxazis mixedviT ipoveT BH monakveTis
sigrZe.

?
§3
8 sm
samkuTxedebis msgavsebis III niSani
B
16 sm
A C
1 sm
A C
1
2
3
4
B 1
A 1 C 1
1
I Tavi
rogor fiqrobT, SeiZleba Tu ara, rom sm, 7 sm,
sm, 5 sm, 10 sm da 4 sm sigrZis Cxirebidan amovarCioT
romelime sami da avawyoT mocemulis msgavsi
samkuTxedi?
Tu erTi samkuTxedis gverdebi meore samkuTxedis
gverdebis proporciulia, maSin es samkuTxedebi
msgavsia.
damtkiceba:
ganvixiloT ABC da A B C samkuTxedebi, romelTa
1 1 1
gverdebi, pirobis Tanaxmad, proporciulia.
e.i.
A B
AB
1 1 B C
BC
1 1 A1C1 = =
AC
(1)
ABC samkuTxedis BA gverdis B wverodan gadavzomoT
BA =B A monakveTi. A wertilidan gavataroT
1 1
A C ||AC. cxadia, ΔA BC ~ΔABC, maSasadame,
A B
AB
2
Semdegi winadadebebidan romelia WeSmariti:
BC2 A2C2 =
BC
=
AC .
miRebuli Sedegi SevadaroT (1)-s, miviRebT, rom
BC =B 1 C 1 da A C =A 1 C 1 . maSasadame, samkuTxedebis
tolobis III niSnis Tanaxmad, ΔA BC =ΔA 1 B 1 C 1 .
miviReT, rom ΔA 1 B 1 C 1 ~ΔABC. r.d.g.
marTkuTxa samkuTxedebi msgavsia, Tu erTis kaTeti da hipotenuza Sesabamisad
proporciulia meore kaTetis da hipotenuzis.
tolferda samkuTxedebi msgavsia, Tu maTi ferdebi Sesabamisad
proporciulia.
tolferda samkuTxedebi msgavsia, Tu erTis fuZe da ferdi Sesabamisad
proporciulia meoris fuZisa da ferdis.
7

8
I Tavi
g
g
amocana 1
mocemulia ∆ABC da ∆A 1 B 1 C 1 , amasTan AB:A 1 B 1 = BC:B 1 C 1 = AC:A 1 C 1 .
ipoveT B kuTxis gradusuli zoma, Tu ∠A 1 =45° da ∠C 1 =70°.
amoxsna:
savarjiSoebi
1
2
3
4
5
6
7
ganvixiloT ∆A 1 B 1 C 1 . ∠B 1 =180°-(45°+70°)=65°.
∆ABC~∆A 1 B 1 C 1 (samkuTxedebis msgavsebis III niSnis Tanaxmad).
e.i. ∠B 1 =∠B=65°.
pasuxi: ∠B=65°.
daadgineT, msgavsia Tu ara samkuTxedebi, Tu maTi gverdebis sigrZeebia
1 sm, sm, 1,5 sm da 1 sm, 8 sm, 16 sm.
ABC samkuTxedSi Caxazulia kvadrati ise, rom misi ori wvero AC gverdze
mdebareobs, danarCeni ori ki AB da BC gverdebze. ipoveT kvadratis
gverdis sigrZe, Tu AC=4 sm, xolo AC gverdze daSvebuli simaRlis
sigrZe ki 1 sm-ia.
ABCD paralelogramSi AB=4 0 sm. BC gverdze aRebulia E wertili ise,
rom BE:EC=5:7 da gavlebulia DE wrfe, romelic AB–s gagrZelebas F
wertilSi kveTs. ipoveT BF-is sigrZe.
F wertili ABCD paralelogramis AB gverdis gagrZelebaze Zevs; DF da
AC ikveTeba E wertilSi. ipoveT BF-is sigrZe, Tu AE:EC=m:n da AB=a.
trapeciis fuZeebis sigrZeebi 2sm da 6sm-ia. rogori SefardebiT gayofs
trapeciis simaRles diagonalebis gadakveTis wertilze gavlebuli
fuZeebis paraleluri wrfe?
daamtkiceT, rom trapeciaSi diagonalebiT Seqmnili fuZeebTan mdebare
samkuTxedebi msgavsia.
B C
A D B
ABCD kvadratis sigrZea 5 sm.
AD gverdis gagrZelebaze gadadebulia
DE=BD sigrZis monakveTi. ipoveT S ∆BDE .

§4
proporciuli monakveTebi msgavs samkuTxedebSi
(jgufuri mecadineoba)
1
2
3
4
5
daasabuTeT, rom Tu ΔABC~ΔA 1 B 1 C 1 , maSin
a
a
I Tavi
erTi samkuTxedis gverdebis sigrZeebi samjer metia meore samkuTxedis
gverdebis sigrZeebze. ipoveT patara samkuTxedze Semoxazuli
wrewiris radiusis sigrZe, Tu did samkuTxedze Semoxazuli wrewiris
radiusi 15 sm-ia.
msgavsi samkuTxedebze Semoxazuli wrewirebis radiusebis sigrZeebis
Sefardebaa 1,5. ipoveT am samkuTxedebis perimetrebis Sefardeba.
ABC samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusia 5 sm-ia. ipoveT mis msgavs
A 1 B 1 C 1 samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusi, Tu AB:A 1 B 1 = 0:7.
Tu ABC da A B C samkuTxedebi msgavsia, r da r Sesabamisad maTSi Caxa-
1 1 1 1
zuli wrewirebis radiusebia, maSin WeSmaritia:
PABC
r1
PABC r
a) = ; b) = ;
P r
r1 A1B1C
1
b
b
c
c
m
a l a ha
= = = = = = = =
m l h r R
1 1 1 a1
a1
a1
1 1
da amoxseniT amocanebi:
PA 1B1C
1
g) r – r 1 = P ABC – PA
1B1C ; d) r + PABC = r1
+ PA B C .
1 1 1 1
B C
M
F
E
A D
r
R
moc: ABCD kvadrati.
BF=FA, AE=EC.
EM||AB. S ∆EMC = sm .
u.v. EM.
P
P
1
9

I Tavi
10
§5 proporciuli monakveTebi wreSi
C
C
D
A
O
N
O
B A
1
wris gareT mdebare wertilidan laSas da ikas
undaT iseTi sxivis gatareba, romelic wrewirs
gadakveTs or wertilSi ise, rom mocemuli wertilidan
gadakveTis wertilebamde manZilebis namravli
iyos udidesi. ika ambobs, rom es wrewiris centrze
gamavali sxivia. sworia Tu ara ikas varaudi?
Tu mocemuli wertilidan wrewirisadmi gavlebulia
mxebi da mkveTi, maSin mxebis monakveTis sigrZis
kvadrati tolia mkveTis gare monakveTis sigrZis
namravlisa mTliani mkveTis sigrZeze.
C
B
vTqvaT, BA da BD mocemuli mxebi da mkveTia.
ganvixiloT ΔABC da ΔDBA, ∠BAC = AMC
2
(rogorc mxebiT da qordiT Sedgenili kuTxe),
(
damtkiceba:
(
∠D = AMC
(rogorc AMC rkalze dayrdnobili
2
Caxazuli kuTxe). e.i. ∠BAC=∠D, xolo ∠BB saerToa.
AB AB
miviReT, rom ΔABC~ΔDBA. e.i. = , aqedan
DB DB
AB =DB·BC. r.d.g.
Tu mocemuli wertilidan wrewirisadmi gavlebulia
ori mkveTi, maSin TiToeuli mkveTisa da misive gare
monakveTis sigrZeebis namravlebi tolia.
P A
O
B
M
damtkiceba:
vTqvaT, AC da AN mocemuli mkveTebia. gavavloT
AP mxebi. wina Teoremis Tanaxmad AP =AB·AC da
AP =AM·AN, saidanac AB·AC=AM·AN. r.d.g.

A 3
C
amocana 1
C
1
K
2
4
x
x
A
B
K
O
O
savarjiSoebi
1
2
erTi da igive wrewiris ori urTierTgadamkveTi qordidan
TiToeuli gadakveTis wertiliT iyofa monakveTebad,
romelTa sigrZeebis namravlebi tolia.
D
B
D
damtkiceba:
I Tavi
AB da CD erTi da igive wrewiris urTierTgadamkve-
Ti qordebia. K maTi kveTis wertilia.
ganvixiloT ΔAKD da ΔCKB. ∠1=∠ , rogorc vertikaluri
kuTxeebi, ∠ =∠4, rogorc BD
rkalze dayrdnobili
Caxazuli kuTxeebi. samkuTxedebis msgavsebis
I niSnis Tanaxmad, ΔAKD~ΔCKB, saidanac miviRebT,
AK KD
rom = . aqedan AK·KB=CK·KD. r.d.g.
CK KB
wrewirSi gavlebulia ori, AB da CD, urTierTgadamkveTi
qorda. gadakveTis wertiliT AB qorda iyofa
or tol nawilad, CD qorda ki – 5 sm da 0 sm-is sigr-
Zis monakveTebad. ipoveT AB qordis sigrZe.
amoxsna:
moc. (O;r) wrewiri
AK=KB
CK=5 sm
KD= 0 sm
u. v. AB
AK=KB≡ x. urTierTgadamkveTi qordebis Sesaxeb Teoremis
Tanaxmad, miviRebT AK·KB=CK·KD, saidanac
x·x=5·20. e.i. x =5· 0 anu x=10, AB=2x=20.
pasuxi: AB qordis sigrZea 20 sm.
urTierTgadamkveTi ori qordidan gadakveTis wertiliT erTi gayofilia
Suaze, meore ki – 48 sm-isa da sm-is tol nawilebad. ipoveT
pirveli qordis sigrZe.
mocemulia P wertili, romelic 11 sm radiusis mqone wrewiris centridan
daSorebulia 7 sm-iT. am wrewirSi gavlebulia 18 sm sigrZis qorda,
romelsac P wertili or monakveTad yofs. ipoveT am monakveTebis sigrZeebi.
11

1
I Tavi
3*
4
5
6
7
8
9
10
11
12*
13
14
ipoveT tolferda samkuTxedze Semoxazuli wrewiris radiusis sigrZe,
Tu samkuTxedis fuZe 16 sm-ia da simaRle – 4 sm.
wrewirisadmi erTi wertilidan gavlebulia mkveTi da mxebi.
ipoveT mxebis monakveTis sigrZe, Tu mkveTis gare da Siga monakveTebi,
saTanadod, gamoisaxeba Semdegi ricxvebiT:
1) 4 da 5; ) , 5 da 1,75; ) 1 da .
mxebis monakveTis sigrZe 0 sm-ia, xolo imave wertilidan gavlebuli
udidesi mkveTis sigrZe – 50 sm. ipoveT wrewiris radiusis sigrZe.
erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi da mkveTi. i poveT
maTi sigrZeebi, Tu mxebi 0 sm-iT naklebia mkveTis Siga monakveTze da 8
sm-iT meti – gare monakveTze.
mocemuli wertilidan wrewirisadmi gavlebulia 1 sm sigrZis mkveTi
da mxebi, romlis sigrZe mkveTis Siga nawilis 2
-s Seadgens. ipoveT
3
mxebis sigrZe.
mocemuli wertilidan gavlebulia mkveTi da 0 sm sigrZis mxebi. ipoveT
mkveTis sigrZe, Tu misi gare nawili ise Seefardeba Siga nawils,
rogorc 4:5.
erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia ori mkveTi. pirveli mkve-
Tis Siga monakveTi 47 m-ia, gare monakveTi – 9 m, xolo meore mkveTis
Siga monakveTi 7 m-iT metia gare monakveTze. ipoveT meore mkveTis
sigrZe.
wrewiris radiusi 7 sm-ia. centridan 9 sm-iT daSorebuli wertilidan
gavlebuli mkveTi wrewiriT Suaze iyofa. ipoveT mkveTis sigrZe.
daamtkiceT, rom tolferda samkuTxedebi, romelTac fuZis mopirdapire
wverosTan mdebare kuTxeebi toli aqvT, msgavsia.
tolferda ABC samkuTxedSi, romlis fuZea AC da misi mopirdapire
kuTxe 6º, gavlebulia AD
biseqtrisa. daamtkiceT, rom ABC da CAD samkuTxedebi
msgavsia.
daamtkiceT, rom samkuTxedis SuamonakveTebiT Seqmnili samkuTxedi
mocemuli samkuTxedis msgavsia.
daamtkiceT, rom marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis wverodan daSvebuli
simaRle am samkuTxeds mis msgavs or samkuTxedad yofs.

§6 msgavsi samkuTxedebis farTobebis Sefardeba
B
A C
B 1
A 1 C 1
1
I Tavi
ori xe izrdeba sxvadasxva pirobebSi. amitom er-
Tis foToli daaxloebiT 1,5-jer grZelia meorisa.
daadgineT, ramdenjer metia erTi foTolis far-
Tobi meoris farTobze?
msgavsi samkuTxedebis farTobebis Sefardeba tolia
Sesabamisi gverdebis kvadratebis Sefardebisa.
moc. ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1
u. d.
S �ABC
S�A1B1 C1
=
damtkiceba:
AB 2
2
A1B1 pirobis Tanaxmad,
AC AB
ΔABC~ΔA B C ⇒ =
1 1 1 A1C1 A B
AB=k·A B . 1 1
S ∆ABC = 1
2
1 1
≡ k ⇒ AC=k·A 1 C 1 da
AB·AC·sin∠A = 1
2 k·A 1 B 1 ·k·A 1 C 1 ·sin∠A 1 =
= 1
2 k ·A 1B1 ·A 1C1 ·sin∠A 1 =k ·S ⇒ ∆A1B 1C1 S�ABC S�A1B1 C1
a b c ha la ma p R r √S
ΔABC~ΔA B C ⇒ 1 1 1 = = = = = = = = = ··· =
a1 b1 c1 h l m p1 R1 r a1 a1 a1
1 √
S 1
=k . r.d.g.
1

I Tavi
14
amocana 1
A
amocana 2
A
O
D
B
savarjiSoebi
1
2
O
D
M
C
C
M
B
ACA da CB monakveTebi wrewirs kveTs Sesabamisad D da
M wertilebSi. daamtkiceT, rom ΔDCM~ΔBCA.
damtkiceba:
C wertilidan gavlebulia ori mkveTi – CA da CB,
maSasadame,
CD CB
CD·CA=CM·CB ⇒ = . DCM da BCA.
CM CA
samkuTxedebisaTvis C kuTxe saerToa, msgavsebis niSnis
Tanaxmad, ΔDCM~ΔBCA. r.d.g.
monakveTi wrewiris diametria. CA da CB mkveTebi
wrewirs kveTs Sesabamisad D da M wertilebSi.
ipoveT ∠CBD, Tu S ∆DCM :S ∆ACB =1:4.
amoxsna:
∠ADB=90°, rogorc diametrze dayrdnobili Caxazuli
kuTxe. zemoT ganxiluli amocanis Tanaxmad,
DC √S�DCM
1
ΔDCM~ΔBCA ⇒ = = .
BC √S
2
�ABC
ganvixiloT ΔCBD; ∠D=90°.
DC 1
1
= ⇒ sin∠CBD=
BC 2 2
pasuxi: ∠CBD= 0°.
⇒ ∠CBD= 0°.
samkuTxedis perimetria 10 sm, misi farTobi ki – sm . ipoveT mocemuli
samkuTxedis msgavsi samkuTxedis perimetri, Tu misi farTobia 1 sm .
ABC samkuTxedSi AB
gverdze aRebuli M wertilidan gavlebulia AC gverdis
paraleluri MN monakveTi. ipoveT MN-is sigrZe, Tu S =18sm ΔABC 2 ,
S =4sm da AC= sm.
ΔMNB

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13*
I Tavi
marTi kuTxis SigniT mocemulia M wertili, romelic kuTxis gverdebidan
daSorebulia 4 sm da 8 sm-is toli manZilebiT. M wertilze gamavali
wrfe marTi kuTxidan kveTs samkuTxeds, romlis farTobia 100 sm .
ipoveT samkuTxedis kaTetebis sigrZeebi.
ipoveT im kvadratis farTobi, romelic Caxazulia a gverdis mqone wesier
samkuTxedSi.
ABC samkuTxedSi Caxazulia kvadrati ise, rom misi erTi gverdi
Zevs samkuTxedis AB
gverdze. ipoveT kvadratis gverdi, Tu AB=AC=8,
BC=8 2
√ 5
.
mocemuli samkuTxedis farTobis ra nawils Seadgens im samkuTxedis
farTobi, romelic misgan SuamonakveTiTaa CamoWrili?
samkuTxedSi gavlebulia yvela SuamonakveTi. mocemuli samkuTxedis
farTobis ra nawils Seadgens SuamonakveTebiT Sedgenili samkuTxedis
farTobi?
paralelogramis gverdebis Suawertilebi SeerTebulia mimdevrobiT. i
poveT miRebuli oTxkuTxedis farTobi, Tu paralelogramis farTobi
4 sm -ia.
samkuTxedis fuZis paraleluri wrfe am samkuTxedis farTobs yofs :1
SefardebiT (wveros mxridan). ra SefardebiT yofs es wrfe gverdebs?
samkuTxedis gverdis paraleluri wrfe am samkuTxeds toldid
nawilebad yofs. ipoveT miRebuli samkuTxedis perimetri, Tu mocemuli
samkuTxedis perimetri 5 sm-ia.
samkuTxedis gverdebia 5 dm, 9 dm, 6 dm. ipoveT misi msgavsi samkuTxedis
farTobi, Tu misi udidesi gverdis sigrZe 5 dm-ia.
tolferda samkuTxedis ferdi warmoadgens wrewiris diametrs. am
wrewiris samkuTxedis fuZesTan da meore ferdTan gadakveTis wertilebi
SeerTebulia monakveTiT. ipoveT miRebuli oTxkuTxedis far-
Tobi, Tu tolferda samkuTxedis fuZea 4, xolo masze daSvebuli simaRle
– 6.
15

I Tavi
16
§7 heronis formula
B
a
A C
x
B
y
z
a
A C
z y
amocana 1
B
x
1 14
a
A C
15
samkuTxedis farTobi gamoiTvleba formuliT
S= √ p(p–a)(p–b)(p–c) , sadac p naxevarperimetria,
xolo a, b da c samkuTxedis gverdebis sigrZeebia.
1
damtkiceba:
ganvixiloT ∆ABC. kosinusebis Teoremis Tanaxmad
a =b +c – bc·cosa, saidanac miviRebT, rom
2 2 2
cosa
b +c –a
= , maSasadame,
2bc
2 2 2 2
(b +c –a )
sin a=1–cos a=1 –
4b c
2 2 2 2 2 2 2 2
4b c –(b +c –a )
=
4b c
2 2 =
2 2 2 2 2 2
= (2bc–b –c +a )(2bc+b +c –a )
4b c
2 2 .
2 2
1 b c
viciT, rom S= bc·sina ⇒ S =
2
4 ·sina=
2 2
= b c
4 ·(a+b–c)(a–b+c)(b+c+a)(b+c–a)
4b c
2 2 ,
a+b+c
≡p aRniSvnis gamoyenebiT miviRebT, rom
2
a+b+c
=p–c;
2
a+b+c
=p–b;
2
a+b+c
=p–a. samkuTxedis
2
farTobis gamosaTvleli formula miiRebs saxes
S =p(p–a)(p–b)(p–c), saidanac miviRebT, rom
S= √ p(p–a)(p–b)(p–c) . r.d.g.
daamtkiceT, rom samkuTxedis farTobi gamoiTvleba
formuliT
√ xyz(x+y+z) .
ipoveT im samkuTxedis umciresi simaRle, romlis
gverdebis sigrZeebia 1 sm, 14sm, 15sm.
amoxsna:
moc: ABC; AC=15sm;
AB=1 sm; BC=14sm.
u.v. ABC-s umciresi simaRle.

?
1
2
p= 13+14+15
2
Semdegi winadadebebidan romelia WeSmariti:
sm; p–a=7sm; p–b=6sm; p–c=8sm.
I Tavi
S= √ 21·7·6·8 = ·7·4=84. cxadia, samkuTxedis umciresi
simaRle iqneba udides gverdze daSvebuli simaRle,
amitom BK= 2S�ABC 84·2
= =11, .
AC 15
pasuxi: 11, sm.
Tu a, b da c samkuTxedis gverdebis sigrZeebia, p ki _ naxevarperimetri,
maSin:
a) S= √ p(p–a)(p–b)(p–c) ; b) S= √ p(p–a)(p–b)(p–c)
1
; g) S= √ p(p–a)(p–b)(p–c) .
2
samkuTxedis farTobi gamoiTvleba formuliT S= √ p(p–a)(p–b)(p–c) , sadac p:
a) perimetria; b) naxevarperimetria; g) gaorkecebuli perimetria.
savarjiSoebi
1
2
3
4
5*
ipoveT samkuTxedis gverdebi: a) Tu isini ise Seefardeba erTmaneTs,
rogorc 6: 5: , samkuTxedis farTobi ki udris 9m -s; b) Tu isini ise
Seefardeba erTmaneTs, rogorc 9:10:17, farTobi ki udris 144 sm -s.
ipoveT oTxkuTxedis farTobi, romlis diagonalia 17 sm da am diagonalis
erT mxareze mdebare gverdebia 10 sm da 1 sm, meore mxareze mdebare
gverdebi ki udris 8 sm da 15 sm.
ipoveT paralelogramis farTobi, Tu misi erTi gverdi 51 sm-ia, diagonalebi
ki – 40 sm da 74 sm.
ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu mocemulia misi sami gverdi:
a) 5, 6, 9; b) 17, 65, 80; g) 25
6
29
, , 6.
6
samkuTxedis gverdebia 10 sm, 17 sm da 1 sm. am samkuTxedSi imgvarad
aris Caxazuli 4 sm perimetris mqone marTkuTxedi, rom misi erTi
gverdi mdebareobs samkuTxedis udides gverdze. ipoveT marTkuTxedis
gverdebi.
17

I Tavi
18
1
Tema
§8 rogor gamovTvaloT samkuTxedis farTobi,
roca mocemulobaSi figurirebs gverdwbis da
medianebis sigrZeebi
A
rogorc viciT, samkuTxedis mediana gverds yofs or tol nawilad, xolo
Tavad mediana ki medianebis kveTis wertiliT iyofa SefardebiT :1 wveros
mxridan. e.i. Tu mocemulobaSi figurirebs samkuTxedis medianebi da gverdebi,
maSin cnobilia maTi erTmaneTTan kveTiT miRebuli nawilebic. amitom
Tu gavamuqebT an gavaferadebT mocemulobas, maSin nebismieri gaferadebuli
monakveTi cnobili iqneba. farTobis gamosaTvlelad gvWirdeba samive
gverdis codna. e.i. veZebT samkuTxeds , romlis samive gverdi wiTelia.
SesaZlebelia 5 tipis mocemuloba. mocemulia:
1) m a ; a; b; ) m a ; b; c; ) m a ; m b ; a; 4) m a ; m b ; c; 5) m a ; m b ; m c .
m a
B
K
C
a
2
c
A
m a
S S
B C
K
a
S
b
b
D
moc: ∆ABC;
m a ; b; a.
u.v. S ∆ABC .
naxazze gamoikveTa samkuTxedi AKC, romlis samive
gverdi wiTelia. anu, samive gverdi cnobilia. heronis
formuliT viangariSoT S ∆AKC , S ∆ABC = · S ∆AKC .
moc: ∆ABC;
m a ; b; a.
u.v. S ∆ABC .
AK medianis gagrZelebaze gadavdoT KD=AK monakveTi.
∆ACD-dan Teorema 1-is I Sedegis Tanaxmad miviRebT,
rom S ∆ACK =S ∆KCD ≡S, xolo ∆BAC-dan ki – S ∆BKA =S ∆AKC , e.i.
S ∆ABC =S ∆ADC .
ADC samkuTxedSi wiTelia samive gverdi. AD= m a ;
DC=c; AC=b. heronis formuliT vipovoT S ∆ADC ,
S ∆ADC =S ∆ADC = S.

3 A
moc: ∆ABC;
m ; m ; a.
a b
O
B
D
C
K
u.v. S ∆ABC .
I Tavi
2
BOD samkuTxedis samive gverdi wiTelia. BO= mb ,
3
OD= 3
1 1
ma , BD= a. heronis formuliT vpoulobT S∆BOD ,
2
S ∆ABC =6·S ∆BOD .
4 C
moc: ∆ABC;
m ; m ; c.
a b
O
A B
5
B
N M
O
A С
K
D
savarjiSoebi
1
2
3
u.v. S ∆ABC .
∆AOB-Si samive gverdi wiTelia. A
2
AO= ma , BO=
3 3
lobT S ∆AOB , S ∆ABC = ·S ∆AOB .
moc: ∆ABC;
m a ; m b ; c.
u.v. S ∆ABC .
2 mb , AB=c. heronis formuliT vpou-
OK-s gagrZelebaze gadavdoT KD=OK monakveTi.
Teorema 1-is I Sedegis Tanaxmad S =S ≡S,
∆OKC ∆CKD
∆AOK=∆KDC (ori gverdiT da maT Soris mdebare
2 ma .
kuTxiT), e.i. DC=AO=
3
2 2
∆ODC-Si viciT sami gverdi. DC= ma ; OC= mc ; OD=
3 3 3
heronis formuliT vpoulobT S ∆ODC , S ∆ABC = ·S ∆ADC .
2 mb .
ABC samkuTxedSi gavlebulia medianebi AA , BB da CC . O maTi
1 1 1
gadakveTis wertilia. A A-dan CC -ze daSvebulia A N perpendikulari.
1 1 1
1
ipoveT fardoba CA :AO, Tu S = 1 ∆OA1N 12 S∆ABC .
tolferda samkuTxedis medianebia 15, 15 da 18. ipoveT samkuTxedis
farTobi.
ipoveT samkuTxedis farTobi, Tu misi ori gverdi Sesabamisad udris
7sm-s da 9sm-s, mesame gverdis mediana ki udris 6sm-s.
19

I Tavi
0
4
5*
6
ipoveT farTobi samkuTxedisa, romlis medianebi urTierTperpendikularulia
da 5-isa da 9-is tolia.
ipoveT ABC samkuTxedis AC gverdze daSvebuli simaRle, Tu AC=a da
S ∆AOC =Q, sadac O medianebis gadakveTis wertilia.
S farTobis mqone tolferda samkuTxedSi ferdebis medianebis mier
Seqmnili im kuTxis sidide, romelic fuZis mopirdapired mdebareobs,
a-s tolia. ipoveT am samkuTxedis fuZis sigrZe, Tu S=900, sin � 3
=
2 5 .

I Tavis mokle mimoxilva
B
A C
B
cx ax
A C
B
cx ax
A C
bx
samkuTxedebis msgavsebis niSnebi
B 1
A 1 C 1
B 1
c a
A 1 C 1
B 1
c a
A C 1 1 b
I Tavi
1 Tu erTi samkuTxedis ori kuTxe meore
samkuTxedis ori kuTxis tolia, maSin
es samkuTxedebi msgavsia.
∠A=∠A 1 , ∠B=∠B 1 , maSin ∆ABC~∆A 1 B 1 C 1 .
2 Tu erTi samkuTxedis ori gverdi meore
samkuTxedis ori gverdis proporciulia
da am gverdebiT Seqmnili
kuTxeebi tolia, maSin es samkuTxedebi
msgavsia.
AB BC
= , ∠B=∠B , maSin ∆ABC~∆A B C .
A1B1 B1C 1 1 1 1
1
3 Tu erTi samkuTxedis gverdebi meore
samkuTxedis gverdebis proporciulia,
maSin es samkuTxedebi msgavsia.
AB BC AC
= = ,
A1B1 B1C1 A1C1 maSin ∆ABC~∆A 1 B 1 C 1 .
Tu ∆ABC~∆A 1 B 1 C 1 , maSin
a b c ma la ha r R P
= = = = = = = = =
a1 b1 c1 m l h r1 R1 P a1 a1 a1
1
,
√S
√
sadac m a , l a , h a -iT aRiniSneba Sesabamisad a
gverdis mediana, biseqtrisa da simaRle. r
da R ki Caxazuli da Semoxazuli wrewiris
radiusebia, P perimetria.
S 1
1

I Tavi
C
C
A
O
C
B
D
M
O
O
B
B
N
a b
C
D
M
A
B A
c
proporciuli monakveTebi wreSi
A
erTi da igive wrewiris ori urTierTgadamkveTi qordidan
gadakveTis wertiliT TiToeuli iyofa monakveTebad,
romelTa sigrZeebis namravlebi tolia.
AM·MB=CM·MD.
Tu mocemuli wertilidan wrewirisadmi gavlebulia
mxebi da mkveTi, maSin mxebis monakveTis kvadrati
tolia mkveTis gare monakveTis namravlisa mTlian
mkveTze.
AB =AC·AD.
Tu mocemuli wertilidan wrewirisadmi gavlebulia
ori mkveTi, maSin TiToeuli mkveTis da misive gare
monakveTis sigrZeebis namravlebi tolia.
S ABC = p(p–a)(p–b)(p–c)
AB·AC=AM·AN.
√ , sadac p= a+b+c
.
2

I Tavis damatebiTi amocanebi
1
2
3
4
5
6
7
8
9*
10*
I Tavi
samkuTxedis gverdebis Sefardebaa :5:4. ipoveT misi msgavsi simkuTxedis
gverdebis sigrZeebi, Tu am ukanasknelis perimetri 55 m-ia.
msgavsi samkuTxedebis perimetrebis Sefardebaa 10:9. erTi samkuTxedis
gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 6:7:8. ipoveT orive
samkuTxedis gverdebi, Tu samkuTxedebis umciresi gverdebis jami
8sm-is tolia.
tolferda samkuTxedSi, romlis ferdi udris 100-s da fuZe 0-s, Caxazulia
wrewiri. ipoveT manZili ferdebTan Sexebis wertilebs Soris.
ABC samkuTxedis AB gverdze aRebul D wertilze gavlebulia DF||AC
monakveTi. ipoveT BF
monakveTis sigrZe, Tu AD:DB=5:6, BC= sm.
ABC samkuTxedSi gavlebulia BD wrfe ise, rom ABD=BCA. ipoveT DC, TuU
AB=8 da AC=10.
ABC tolferda samkuTxedis fuZea 1 sm, xolo ferdi – 18 sm. AB da BC
ferdebze aRebulia M da N wertilebi ise, rom BM=BN. ipoveT BM monakveTis
sigrZe, Tu AMNC oTxkuTxedis perimetri 40 sm-ia.
ori tolferda samkuTxedis ferdebs Soris mdebare kuTxeebi tolia.
erTi samkuTxedis ferdi da fuZe Sesabamisad 17 sm da 10 sm-ia, meore
samkuTxedis fuZe 8 sm-ia. ipoveT misi ferdis sigrZe.
or tolferda samkuTxedSi wverosTan mdebare kuTxeebi tolia. pirveli
samkuTxedis perimetria 544 m. ipoveT misi gverdebi, Tu meore samkuTxedis
ori gverdi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc 1: .
ori wrewiri erTmaneTs garedan exeba. Sexebis wertilze gavlebuli
wrfe warmoSobs wrewirebSi qordebs, romelTa Sefardebaa 13:5. ipoveT
radiusebis sigrZeebi, Tu manZili centrebs Soris udris 36 sm-s.
samkuTxedis 1 0º-iani kuTxis Semadgeneli gverdebia 6 sm da 1 sm.
ipoveT am kuTxis biseqtrisis sigrZe.
11 naxazis mixedviT daadgineT, ras unda
udrides ℓ, rom ekranze kolbis gamosaxuleba
miviRoT -jer gadidebuli.

I Tavi
4
g
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
ori qordidan gadakveTis wertiliT erTi gayofilia 1 m-isa da
18 m-is tol nawilebad, meore ki – SefardebiT :8. ipoveT meore qordis
sigrZe.
wrewiris wertilidan mis diametrze daSvebulia perpendikulari.
ipoveT am perpendikularis sigrZe, Tu diametris monakveTebia 1 sm da
sm.
erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi da mkveTi. ipoveT
mxebis monakveTis sigrZe, Tu is 5 sm-iT metia mkveTis gare monakveTze
da amdenadve naklebia Siga monakveTze.
erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi da mkveTi. mkveTis
sigrZe udris a-s da misi Siga monakveTi mxebis sigrZiT metia gare monakveTze.
ipoveT mxebis monakveTis sigrZe.
erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi da mkveTi. mxebis monakveTi
metia mkveTis Siga da gare monakveTebze Sesabamisad sm-iTa da
4sm-iT. ipoveT mkveTis sigrZe.
erTi wertilidan gavlebulia wrewiris mkveTi da mxebi. maTi jami udris
0 sm-s, xolo mkveTis Siga monakveTi sm-iT naklebia mxebze. ipoveT
mkveTisa da mxebis sigrZeebi.
erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mkveTi da mxebi. maTi jami
udris 15 sm-s, xolo mkveTis gare monakveTi sm-iT naklebia mxebze.
ipoveT mkveTisa da mxebis sigrZeebi.
wrewiris radiusi udris ,5sm-s. centridan 8,5sm-iT daSorebuli wertilidan
gavlebulia mkveTi ise, rom misi gare monakveTis Sefardeba
Siga monakveTTan aris : . ipoveT mkveTis sigrZe.
ori qorda gagrZelebulia urTierTgadakveTamde. ipoveT miRebul gagrZelebaTa
sigrZeebi, Tu qordebis sigrZeebia a da b, maTi gagrZelebaTa
Sefardeba ki aris m:n.
ABC samkuTxedis farTobi 18 sm-ia. D wertili AC gverdze aRebulia
ise, rom DC= AD.
ipoveT ABD da DBC samkuTxedebis farTobebi.
D wertili Zevs ABC samkuTxedis AB gverdze. rogor Seefardeba AD
monakveTi DB-s, Tu ACD samkuTxedis farTobi samjer naklebia ABC
samkuTxedis farTobze?

23*
24
I Tavi
E wertili ABC samkuTxedis AD
medianas yofs SeefardebiT : (wveros
mxridan). ipoveT BEC samkuTxedis farTobi, Tu ABC samkuTxedis far-
Tobia 40.
I Tavis testi
1
2
3
4
5
6
I varianti
SesaxvevSi dgas patrulis manqana. naxazis
mixedviT daadgineT:
a) gzis ra sigrZis monakveTis gakontroleba
SeuZlia patruls;
b) gzis ra sigrZis monakveTs gaakontrolebs
patruli, Tu igi gzis napiridan
1 metris daSorebiT dadgeba?
AB BC
mocemulia ABC da A B C samkuTxedebi. = =k
1 1 1 A1B1 B1C1 ra pirobis damatebaa saWiroa imisTvis, rom mocemuli
samkuTxedebi iyos msgavsi:
a) meore niSnis Tanaxmad;
b) mesame niSnis Tanaxmad?
ABC da MNK samkuTxedebi msgavsia, amave dros msgavsebuli gverdebia AB
da NK. daasaxeleT kuTxe, romelic B kuTxis tolia, Tu M>N
^ ^
da C

I Tavi
6
7
8
9
10
11
A
D
D
6 sm
5x
K
4x
O
O
C
B x
A
10 sm
x+5
D
O
B
C
C
A
x–5
B
naxazis mixedviT aRadgineT amocanis
piroba da ipoveT DC qordis sigrZe.
naxazis mixedviT aRadgineT amocanis
piroba da ipoveT AB-s sigrZe.
Tu AB mocemuli wrewiris mxebia, BD ki
– mkveTi, maSin sruldeba:
a) AB =BC·CD;
b) AB =CD·BD;
g) AB =BC·BD;
d) AB =BC ·CD .
Tu ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1 da AB:A 1 B 1 =1:4, maSin S ΔABC :S ΔA1B1C1 tolia:
a) 1:16; b) 1:4; g) 1: .
marTkuTxa samkuTxedis gverdebi ise Seefardeba erTmaneTs, rogorc
:4:5, maSin marTi kuTxis wverodan daSvebuli simaRliT miRebuli samkuTxedebis
farTobebis Sefardebaa:
a) 9: 5; b) 16: 5; g) 9:16.

1
2
3
4
5
6
7
II varianti
I Tavi
mocemulia ori winadadeba: 1. „ABC da A 1 B 1 C 1 samkuTxedebi msgavsia“;
. “ABC da A 1 B 1 C 1 samkuTxedebi tolia”. ganvixiloT ori axali winadadeba:
a) Tu 1, maSin ; b) Tu , maSin 1.
romeli maTgania yovelTvis WeSmariti?
aris Tu ara SesaZlebeli, rom:
a) samkuTxedis Suaxazi am samkuTxedis ori gverdis
marTobuli iyos;
b) samkuTxedis Suaxazi am samkuTxedis erTi gverdis
marTobuli iyos;
g) marTkuTxa samkuTxedis simaRle toli iyos TiToeuli
monakveTis, romlebadac is hipotenuzas yofs;
d) marTkuTxa samkuTxedis simaRle naklebi iyos TiToeul
monakveTze, romlebadac is hipotenuzas yofs?
tolgverda samkuTxedis SigniT aRebuli nebismieri wertilidan gavlebulia
wrfeebi, romlebic mocemuli samkuTxedidan mis msgavs samkuTxeds
kveTs. ramdeni aseTi wrfis gavlebaa SesaZlebeli?
a) 1; b) ; g) ; d) 4.
marTkuTxa samkuTxedis hipotenuzaze aRebul nebismier wertilze
gavlebulia wrfeebi, romlebic mocemuli samkuTxedidan mis msgavs
samkuTxeds kveTs. ramdeni aseTi wrfis gavlebaa SesaZlebeli?
a) 1; b) ; g) ; d) 4.
SeiZleba Tu ara, rom: a) marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis biseqtrisa
im monakveTebis saSualo geometriuli iyos, romlebadac is
hipotenuzas yofs? b) marTkuTxa samkuTxedis marTi kuTxis simaRlem
hipotenuza kaTetebis proporciul monakveTebad gayos?
erTi wertilidan gavlebulia wrewiris mkveTi da mxebi. maTi jami udris
0 sm-s, xolo mkveTis Siga monakveTi sm-iT naklebia mxebze. ipoveT
mkveTisa da mxebis sigrZeebi.
A
8 sm
O
K
C
2 sm
D
B
naxazis mixedviT aRadgineT amocanis piroba
ipoveT CD qordis sigrZe.
7

I Tavi
8
8
9
10
11
erTi wertilidan wrewirisadmi gavlebulia mxebi da mkveTi. mkveTis sigrZe
udris a-s, xolo misi Siga da gare monakveTebis sigrZeTa sxvaoba
mxebis monakveTis sigrZis tolia. ipoveT mxebis monakveTis sigrZe.
C
D
A
K
B
O
O
B
N
C
M
A
Tu AC da AN mocemuli wrewiris mkveTebia,
xolo B da M ki Sesabamisad – maTi
wrewirTan kveTis wertilebi, maSin
sruldeba:
a) AB·CB=AM·MN;
b) AB·AC=AM·AN;
g) AB =AM ;
d) AC·CB=AN·MN.
CD mocemuli wrewiris diametria, AB
misi mkveTi qorda, maSin sruldeba:
a) CK·KD>AK·KB;
b) CK·KD=AK·KB;
g) CO =AK·KB;
d) AK·KD=CK·KB.
4
Tu ΔABC ~ ΔA B C da S :S = 1 1 1 ΔABC ΔA1B1C1 9 , maSin R:R 1 tolia:
a) 4:9; b) : ; g) 16:81.