მასწავლებლის წიგნი

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZeia mebonia, lamara qurCiSvilimaTematika XIImaswavleblis wigni(meTodikuri rekomendaciebi, sakontrolo werisvariantebis nimuSebi da miTiTebebi amocanebis amosaxsnelad)redaqtori Teimuraz vefxvaZegrifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebiserovnuli centris (brZaneba # 375, 18. 05. 2012) miergamomcemloba inteleqtiTbilisi 2012

§7.4. cvladiani gamosaxuleba. cvladiani gamosaxulebismniSvnelobis povna. igivurad toli gamosaxulebebi.gamosaxulebaTa gardaqmnis magaliTebi............................................................... 304§7.5. Semoklebuli gamravlebis formulebi. mamravlebaddaSla Semoklebuli gamravlebis formulebis gamoyenebiT......................... 305§7.6. racionaluri gamosaxulebis gardaqmnis magaliTebi...................................... 306sakontrolo wera......................................................................................................... 307§7.7. oTxkuTxedebi................................................................................................................ 308§7.8. msgavsi samkuTxedebi.................................................................................................. 310§7.9. kvadratuli fesvi. iracionaluri ricxvi. namdvili ricxvi. namdviliricxvis gamosaxva ricxviT wreze. namdvili ricxvis moduli..................... 311§7.10. kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebis gardaqmna................................ 312§7.11. n-uri xarisxis fesvi. ariTmetikuli fesvi........................................................ 314§7.12. piTagoras Teorema...................................................................................................... 315sakontrolo wera......................................................................................................... 316§7.13. racionalurmaCvenebliani xarisxi.algebruli gamosaxulebis gardaqmnis magaliTebi...........................................317§7.14. marTkuTxa koordinatTa sistema sibrtyeze.or wertils Soris manZilis gamosaTvleli formula................................... 318§7.15. wrewiri. wre................................................................................................................... 320§7.16. kvadratuli gantoleba. vietis Teorema.vietis Teoremis Sebrunebuli Teorema............................................................... 322§7.17. kvadratuli funqcia. kvadratuli samwevrikvadratuli samwevris daSla mamravlebad......................................................... 324§7.18. kvadratuli utoloba................................................................................................ 324sakontrolo wera......................................................................................................... 329gameoreba........................................................................................................................ 331literatura................................................................................................................... 3515

Sesavaliwigni Seicavs meTodikur rekomendaciebs axali erovnuli saswavlo gegmismixedviT Sedgenili XII klasis saxelmZRvanelosTvis (guram gogiSvili, TeimurazvefxvaZe, ia mebonia, lamara qurCiSvili, maTematika XII).sarekomendacio wignis daniSnulebaa daexmaros maswavlebels saswavlo procesisdagegmvasa da warmarTvaSi. yovel Temas Tan axlavs misi mecnieruli da meTodologiurisafuZvlebi, miTiTebuli iqneba literatura da misamarTebi internetSi, sadacmaswavlebeli moiZiebs damatebiT masalas warmodgenili sakiTxebis Sesaxeb.mowodebulia sakontrolo weris sarekomendacio nimuSebi da maTi Sefasebis kriteriumebi.gTavazobT Sefasebis zogad principebsac.mocemuli iqneba Sesabamisi axsna-ganmartebebi masalis wardgenis fazebis Sesaxeb_ motivacia, sakiTxis dasma, amocanis gansazRvra, problemaTa gadaWris gzebi,Semowmebis formebi. amasTanave, gakveTilis dagegmvis sqemebsa da ramdenime sanimuSogakveTilis scenarsac warmogidgenT.sarekomendacio wignSi Tavebisa da paragrafebis numeracia, maTi dasaxeleba moswavlissaxelmZRvaneloSi SemoRebul numeracias emTxveva.am wignis agebis principebi igivea, rac XI klasis sarekomendacio wignis Sedgenisas_ saswavlo gegma, Sinaarsisa da miznebis ruka, Sefasebis ZiriTadi mdgenelebida Sefasebis kriteriumebis ganmsazRvreli rekomendaciebi _ isini maswavlebliswignis aucilebeli Semadgeneli nawilebia da mTeli saswavlo wlis ganmavlobaSigamoiyeneba; maswavlebels aZlevs masalis gadacemis orientirebsa da Sefasebisformebs.wigni dagexmarebaT saswavlo procesis warmarTvis meTodikuri xerxebis SemuSavebissakiTxSi _ kvlevis procesi SeiZleba individualuri iyos, SeiZleba jgufurimuSaobiT ganxorcieldes. upiratesobas, cxadia, Temis erTobliv ganxilvasvaniWebT. saWiroebis SemTxvevaSi wina masalis erToblivi gaxsenebisa da amocanisdasmis Semdeg, romelic am masalis logikuri gagrZeleba SeiZleba iyos, mimdinareobsamoxsnis Ziebis procesi. xSirad amocana praqtikuli Sinaarsis sakiTxisganxilvas mosdevs. es procesi moswavleTa motivaciisa da swavlaSi CarTvis kargisaSualebaa.cxadia, swavlebis procesis warmarTveli maswavlebelia, saswavlo gegmiT dasaxuliamocanebis Sesrulebisas man SeiZleba sxvadasxva saSualeba gamoiyenos, sxvadasxvamasala moiSvelios. moswavlis saxelmZRvanelos gamoyenebis sakiTxSic viziarebTsaswavlo programaSi gamoTqmul Tvalsazriss: saxelmZRvaneloebis sargeblobisasmaswavlebels unda axsovdes, rom saxelmZRvanelo aris erT-erTi saSualeba da araerTaderTi, romelic emsaxureba erovnuli saswavlo gegmis saswavlo programebSimocemuli Sedegebis miRwevas. aseve unda gvaxsovdes, rom saxelmZRvanelo ar arisTavisTavad programa _ Sesabamisad, maswavlebeli ar unda iyos saxelmZRvaneloSimocemuli `masalis gavlaze~ orientirebuli, aramed aq mocemuli masalis gamoy-7

enebaze sagnobrivi standartebis Sedegebis misaRwevad. maswavlebels SeuZlia argamoiyenos romelime teqsti an aqtivoba, Secvalos drois xangrZlivoba, romelicromelime konkretul Temas eTmoba. daamatos aqtivobebi da sxva.`swavleba xelovnebaa ... swavleba maswavleblis individualur Tvisebebzeadamokidebuli da swavlebis kargi meTodi imdenia, ramdeni kargi maswavlebelicarsebobs~ [31]. Tumca, vcdilobT savarjiSoebis krebulebisa da sxva damatebiTimasalis gamoyenebis saWiroeba ar warmoiSvas _ saxelmZRvaneloSi mravladaa sxvadasxvasirTulis amocanebi da amocanebi, romlebic moswavleTa sxvadasxva profesiulmomavalsac iTvaliswinebs _ maTTvis, vinc umaRlesi skolis sxvadasxvaprofilis (humanitarul, sabunebismetyvelo, teqnikur, maTematikur) fakultetebzeapirebs Cabarebas, wignis bolos specialuri rubrikiT ramdenime testia (sxvadasxvasirTulis) warmodgenili, isini saSualebas miscems moswavleebs gaimeoronSeswavlili sakiTxebi. sarekomendacio wignSi gTavazobT miTiTebebs am amocanebisamosaxsnelad.sagnobrivi programis mixedviT me-12 klasSi wina wlebSi Seswavlili masalisgaRrmaveba, gafarToeba da axali Temebis damatebaa gaTvaliswinebuli. gameorebisprocesi, cxadia, yoveli axali Temis gadmocemas axlavs Tan _ axali codna winacodnaze dayrdnobiT Sendeba. Tumca, es procesi metwilad saswavlo wlis dasawyisSigvaqvs koncentrirebuli _ moswavle nel-nela `Sedis formaSi~. simravleTaTeoriis elementebi, kombinatorika, grafebi I TavSia mocemuli. Tumca, grafTaTeoriis sakiTxebs, sagnobrivi programis Sesabamisad, ufro dawvrilebiT gadmovcemT;igive SeiZleba iTqvas asaxvis cnebasa da simravleTa klasifikaciazec.wignSi Tavebi, ZiriTadad, Temebis mixedviT _ saswavlo gegmis mimarTulebebismixedviTaa warmodgenili, Tumca, amave saswavlo gegmisa da integrirebuli saswavlokursis moTxovnebis Sesabamisad, yoveli Temis gadmocemisas masalas xSiradsxva Temebsac vukavSirebT _ magaliTad, V TavSi geometriuli masalis gadmocemisasvixsenebT geometriul albaTobas da vxsniT axal amocanebs.kvlav vimeorebT da calke paragrafad gvaqvs gamoyofili dasabuTebis xerxebi.mas amjerad Sevsebuli formiT warmovadgenT _ vimeorebT maTematikuri induqciismeTods, veqtoruli aRricxvis sakiTxebs maT praqtikul gamoyenebebTan vakavSirebT.vcdilobT calkeuli fragmentebi logikuri TanamimdevrobiT, deduqciurimsjelobebis gamoyenebiT, analizisa da sinTezis, ganzogadoebisa da specializaciis,abstraqciisa da konkretizaciis meTodebiT gadmovceT. maswavleblis wignidagexmarebaT miTiTebuli literaturis gamoyenebiT gaimeoroT da gaiRrmavoTTqveni codna am mimarTulebiT.saxelmZRvaneloSi masalis gadmocemis meTodika wina wlebis saxelmZRvaneloebisanalogiuria: yoveli paragrafis bolos Semajamebeli daskvnebia, sxvadasxvamimarTuleba erTmaneTTan mWidro kavSirSia gadmocemuli; logikurad dasrulebuliraime Temis Tanamimdevrulad gadmocemisas sailustracio magaliTebi maTematikissxva nawilebidan aris SerCeuli. geometriuli masalis gadmocemisas gamoiyenebakoordinatTa meTodi, veqtoruli analizi; funqciuri damokidebulebebis aRwerisassakmao adgili aqvs daTmobili geometriul warmodgenebs.SenarCunebulia paragrafebis nawilebad dayofis sistemac; zogjer bolonawili, romelic specialuri niSnakiT _ `s~ (sxvadasxva) aris gamoyofili, isto-8

iuli faqtebis, terminebis warmoSobis istoriebsa da saintereso maTematikurifaqtebis gadmocemas eTmoba. zogjer es nawili maTematikis gaRrmavebul swavlebasemsaxureba; savarjiSoebis sistemac isea mofiqrebuli, rom isini Teoriuli masalisSeswavlis stimulicaa. amocanebis nawili paragrafis ZiriTad Sinaarss pasuxobs,nawili _ adre naswavlis gameorebisa da ganmtkicebisTvisaa gankuTvnili. maswavleblissarekomendacio wignSi miiRebT saWiro rekomendaciebs am mimarTulebiTac.did yuradRebas vuTmobT masalis Semzadebis, Sefasebisa da ganmtkicebissakiTxebs. es keTdeba yoveli Tavis, yoveli paragrafis doneze. amave moTxovnebsuyenebs saxelmZRvanelos sagnobriv programebSi miTiTebuli swavlebis Sedegebisada indikatorebis sistema. am process, Cven mier mowodebuli rekomendaciebis gaTvaliwinebiT,maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges.dasasruls, kidev erTxel aRvniSnavT, rom Cveni yoveli rCeva mxolod sarekomendacioxasiaTisaa da ar niSnavs mis ucilobel Sesrulebas. mivesalmebiT pedagogTayovel saqmian gamoxmaurebas, SemoqmedebiT midgomas swavlebis sakiTxebisadmida maT yuradRebiT gavecnobiT.9

მათ.XII.2.მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დამტკიცების პროცესისა და მისი შედეგის ანალიზი.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ახდენს რიცხვების შესახებ დებულების ან რაოდენობრივი მსჯელობის ნიმუშის და მისიშედეგის ანალიზს ერთი ან რამდენიმე პირობის, შეზღუდვის ან დაშვების შესუსტება-მოხსნით;• ასაბუთებს რიცხვების თვისებების ან რიცხვით კანონზომიერებების შესახებ განზოგადებით,ანალოგიით მიღებულ დასკვნებს ან დებულებებს (მათ შორის მათემატიკური ინდუქციისგამოყენებით);• რაოდენობებთან და სიდიდეებთან დაკავშირებული მსჯელობის ნიმუშზე ახდენსმსჯელობის ხაზის და დასკვნითი ნაწილის კრიტიკულ ანალიზს.მიმართულება: კანონზომიერებები და ალგებრამათ.XII.3.მოსწავლეს შეუძლია ფუნქციის ან ფუნქციათა ოჯახის თვისებების კვლევა და დადგენადა ამ თვისებების ინტერპრეტირება კონტექსტთან მიმართებაში.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• აღწერს და ადარებს შესწავლილ ფუნქციათა ოჯახებს ისეთი თვისებების მიხედვით,როგორიცაა: განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვებისა და ექსტრემუმისწერტილთა შესაძლო რაოდენობა, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობისშუალედები, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები;ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში;• იყენებს შესაფერის გრაფიკულ, ალგებრულ მეთოდებს და ტექნოლოგიებს ფუნქციისთვისებების (განსაზღვრის არე და მნიშვნელობათა სიმრავლე, ფესვები და ექსტრემუმისწერტილები, ნიშანმუდმივობისა და ზრდადობა/კლებადობის შუალედები, ლუწობა/კენტობა, პერიოდულობა, ასიმპტოტური ქცევა, გრაფიკის გეომეტრიული თვისებები)დასადგენად. ახდენს ამ თვისებების ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში;• აღწერს თუ რა გავლენას ახდენს ფუნქციის პარამეტრების ცვლილება ფუნქციის თვისებებზე;ახდენს ამ გავლენის ინტერპრეტირებას კონტექსტთან მიმართებაში.• იყენებს შესწავლილ ფუნქციებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და პრობლემისგადაჭრისას.მათ.XII.4. მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტული მათემატიკის მეთოდების გამოყენებამოდელირებისას და პრობლემების გადაჭრისას.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• იყენებს იტერაციას, რეკურსიას და მათემატიკურ ინდუქციას მოდელირებისას, დებულებებისდასაბუთებისას, ფორმულების გამოყვანისას, კომბინატორული ამოცანების ამოხსნისას;• იყენებს გრაფებს, ხისებრ დიაგრამებს და მათ თვისებებს მოდელირებისას და ამოცანებისამოხსნისას.11

მიმართულება: გეომეტრია და სივრცის აღქმამათ.XII.5.მოსწავლეს შეუძლია ფიგურების ან მათი ელემენტების ზომების პოვნა/შეფასება დამათი გამოყენება პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისას.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• პოულობს სივრცული ფიგურის მოცულობას;• იყენებს სივრცული ფიგურის ზომებს შორის ფუნქციურ დამოკიდებულებას ოპტიმიზაციისზოგიერთი პრობლემის გადასაჭრელად (მათ შორის რეალური ვითარების შესაბამისამოცანებში; მაგალითად ცილინდრული ფორმის ღია კონსერვის ყუთის დამზადებაზეიხარჯება S სმ 2 მასალა. როგორი უნდა იყოს ყუთის წრფივი ზომები, რომ მისი მოცულობაუდიდესი იყოს?);• იყენებს ვექტორებს გეომეტრიული დებულებების დასამტკიცებლად და ზომებისდასადგენად;• იყენებს ფიგურის ზომებს და მათ შორის კავშირებს გეომეტრიული ალბათობის დასადგენად.მათ.XII.6.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიული გარდაქმნების დახასიათება და მათი გამოყენებაგეომეტრიული პრობლემების გადაჭრისას.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ფიგურის გეომეტრიულ გარდაქმნას სიბრტყეზე გამოსახავს დეკარტეს კოორდინატებისსაშუალებით;• ასახელებს კოორდინატებში მოცემული გეომეტრიული გარდაქმნის შესაძლო ტიპს(პარალელური გადატანა, სათავის მიმართ ცენტრული სიმეტრია, საკოორდინატო ღერძებისმიმართ ღერძული სიმეტრია).მიმართულება: მონაცემთა ანალიზი, ალბათობა და სტატისტიკამათ.XII.7.მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა წარმოდგენა დასმული ამოცანის ამოსახსნელადხელსაყრელი ფორმით და მათი ინტერპრეტაცია.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• არჩევს მონაცემთა წარმოდგენის შესაფერის გრაფიკულ ფორმებს, ასაბუთებს თავის არჩევანს,აგებს და განმარტავს ცხრილებს/დიაგრამებს;• დაწყვილებული მონაცემებისთვის ქმნის გაფანტულობის დიაგრამას, თვისობრივად აღწერსმის ფორმას (რომელიმე წირის მაგალითად წრფის, პარაბოლის, მიდამოში კონცენტრაცია),აგებს საუკეთესო მისადაგების წრფეს;• ადგენს სიხშირეთა განაწილებას, წარმოადგენს მას გრაფიკულად და აღწერს მის ფორმას(მაგალითად, სიმეტრიულობა/ასიმეტრიულობა, მაქსიმუმის/მინიმუმის წერტილები).მათ.XII.8.მოსწავლე აღწერს შემთხვევითობას ალბათური მოდელების საშუალებით.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• განასხვავებს დამოუკიდებელ და დამოკიდებულ ხდომილობებს, ასახელებს მათ მაგალითებსდა ითვლის ხდომილობათა პირობით ალბათობებს;• ითვლის რთულ ხდომილობის ალბათობას ჯამისა და ნამრავლის ფორმულების გამოყენებით;12

• ატარებს ექსპერიმენტს მრავალჯერადი დაბრუნებით და ამ ექსპერიმენტის საშუალებითადგენს ურნის შედგენილობას _ აფასებს განსხვავებული ფერის ბურთულების რაოდენობათაშეფარდებას;• იყენებს სიმულაციებს შერჩევის სტატისტიკების (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალოკვადრატული გადახრა) ვარიაბელურობის გამოსაკვლევად და შერჩევის განაწილებათაასაგებად.მათ.XII.9.მოსწავლეს შეუძლია მონაცემთა ანალიზი და დასკვნების ჩამოყალიბება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ირჩევს მოცემული შერჩევისთვის ისეთ რიცხვით მახასიათებლებს, რომლებიც ხელსაყრელიაამოცანის ამოსახსნელად და ასაბუთებს თავის არჩევანს, ითვლის და ითვალისწინებსარჩეულ მახასიათებლებს გადაწყვეტილების მიღებისას;• ახდენს მონაცემთა ინტერპოლაციას/ექსტრაპოლაციას საუკეთესო მისადაგების წრფისსაშუალებით;• ამოიცნობს ჩანაცვლებას შერჩევისა და გამოკითხვის ნიმუშში, მსჯელობს თუ როგორზეგავლენას ახდენს შერჩევითი მეთოდი და შერჩევის მოცულობა დასკვნათა სანდოობაზე;• ითვლის კორელაციის კოეფიციენტს და მსჯელობს დაწყვილებულ მონაცემებს შორისწრფივი კავშირის შესახებ.პროგრამის შინაარსი1. რიცხვებთან დაკავშირებული რომელიმე ალგორითმი (მაგალითად, ევკლიდეს ალგორითმი).2. კავშირი ინფორმაციულ/საკომუნიკაციო ტექნოლოგიებსა და რიცხვთა თეორიებს შორის.3. ლოგარითმული სკალა.4. პოლინომიალური, წილად-წრფივი, კვადრატული/კუბური ფესვის შემცველი ფუნქციები.5. კვადრატული ფესვის შემცველი ერთუცნობიანი განტოლებები.6. ვარიანტების დათვლის ხერხები და ფორმულები, კომბინატორული ფორმულები.7. ორი სიმრავლის დეკარტული ნამრავლი; ორ სიმრავლეს შორის ასახვა, შებრუნებული ასახვა,სიმრავლის წინასახე.8. გრაფები და ხისებრი დიაგრამები: გრაფის განსაზღვრებa, გრაფის გამოსახვის ალგებრულიდა გეომეტრიული ხერხები.9. ფუნქციური დამოკიდებულება ფიგურის ზომებს შორის.10. ვექტორები სივრცეში, ვექტორული ნამრავლი.11. გეომეტრიული გარდაქმნის გამოსახვა დეკარტულ კოორდინატებში სიბრტყეზე.12. კუბის, მართკუთხა პარალელეპიპედის, მართი პრიზმის, პირამიდის, ცილინდრისა დაკონუსის გვერდითი და სრული ზედაპირის ფართობი და მოცულობა.13. მონაცემთა შეგროვების საშუალებანი: შერჩევითი მეთოდი, შერჩევა და ვარიაციულიმწკრივი; შერჩევის რიცხვითი მახასიათებლები (მედიანა, საშუალო მნიშვნელობა, საშუალოკვადრატული გადახრა).14. მონაცემთა მოწესრიგებული ერთობლიობების რაოდენობრივი და თვისობრივი ნიშნები:დაწყვილებული მონაცემები, კორელაცია.15. მონაცემთა წარმოდგენის საშუალებანი თვისობრივი და რაოდენობრივი მონაცემებისთვის.გაფანტულობის დიაგრამა, მისადაგების წირი.16. ალბათობა: პირობითი ალბათობა, ხდომილობათა დამოუკიდებლობა.; ალბათობათა ჯამისადა ნამრავლის ფორმულები; დიდ რიცხვთა კანონი (გაცნობის წესით).13

Sinaarsisa da miznebis rukaTemebis CamonaTvaliutolobis amoxsnis magaliTebijgufuri muSaoba: utolobisamoxsna sxvadasxva xerxiT.utolobaTa sistema.jgufuri muSaoba: amocanebisamoxsna kvadratuli utolobisgamoyenebiT;iracionaluri gantolebisamoxsnasimravle. moqmedebebi simravleebze;Sesabamisoba or simravlesSoris da misi gamosaxvis xerxebi;ori simravlis dekartulinamravli;asaxva. Seqceuli asaxva;grafTa Teoriis elementebi;debulebaTa dasabuTebis xerxebi;kombinatorikis formulebi.xdomilobaTa sivrce. xdomilobisalbaToba;jgufuri muSaoba.operaciebi xdomilobebze;damoukidebeli xdomilobebi;pirobiTi albaToba. xdomilobaTanamravlis albaToba;proeqtidid ricxvTa kanonis Sesaxeb.Temebis kavSiri miznebTan, rapunqtebs faravs Temautolobebis da utolobaTasistemis sxvadasxva (maT Sorisgeometriuli) xerxiT amoxsnaSigawafva. praqtikuli saxis amocanebisamoxsna utolobebis dautolobaTa sistemebis gamoyenebiT.iracionaluri gantolebebisamoxsnis magaliTebis ganxilva.XII.1, XII.2simravluri enis gamoyeneba funqciaTaojaxebis Sesaswavlad.iqmneba safuZveli debulebaTadasabuTebisas, formulebis gamoyvanisasiteraciis, rekursiis,maTematikuri induqciis, xisebridiagramis, grafebis gamoyenebisCvevebis dauflebisTvis.ricxvebis Tvisebebis, an ricxviTikanonzomierebebis Sesaxebdebulebebis sxvadasxva xerxiTdasabuTebis Cvevebis daufleba.XII.2, XII.4Ganasxvavebs damoukidebel dadamokidebul xdomilobebs;xdomilobaTa jamisa da namravlisalbaTobis gamosaTvleli formulebisgaazreba, maTi gamoyeneba;pirobiTi albaTobis gamoTvla.SeuZlia mravaljeradi dabrunebiTeqsperimentebis dagegmva,ganxorcieleba da Sedegebisgaanalizeba.XII.8savaraudosaswavlodro16 sT22 sT17 sT14

algoriTmi;evklides algoriTmi;evklides algoriTmis gamoyeneba;ricxvTa Teoriis gamoyenebisSesaxeb.funqcia. ricxviTi funqcia.ricxviTi funqciis mocemisxerxebi;operaciebi funqciebze. funqciaTakompozicia;wrfivi funqcia. wrfivi funqciiscvlilebis siCqare;polinomuri funqcia;zogierTi racionaluri dairacionaluri funqcia;maCvenebliani da logariTmulifunqciis gamoyenebismagaliTebi.ricxvebTan dakavSirebuli algoriTmebisgamoyeneba praqtikulisaqmianobidan gamomdinareda sxva mecnierebebTan dakavSirebuliproblemebis gadaWrisas.ganzogadebiT, analogiiT ricxvebisTvisebebis Sesaxeb miRebulidaskvnebis dasabuTeba sxvadasxvaxerxiT;mocemuli algoriTmiT monacemTadaSifrva-wakiTxvis demonstrireba.ricxvTa Teoriis aqtualurobada gamoyenebebi. XII.1, XII.2funqciaTa ojaxebis SedarebaSemdegi Tvisebebis mixedviT:gansazRvris are, mniSvnelobaTasimravle, eqstremumis wertilebi,nulebi, niSanmudmivoba, monotonuroba,perioduloba;grafikuli, algebruli meTodebis,teqnologiebis gamoyenebafunqciaTa Tvisebebis interpretaciisada modelirebisas.sididis cvlilebis grafikuligamosaxvisas iyenebs Sesaferisskalas (magaliTad, logariTmuls).funqciaTa Tvisebebis gamoyeneba,kerZod, logariTmuli da maCveneblianifunqciebis Tvisebebisgamoyeneba praqtikuli saqmianobidangamomdinare problemebisgadasawyvetad. XII.1. XII.313 sT21 sT15

geometriuli figurebi.veqtorebi sivrceSi;veqtorTa wrfivi kombinacia;koordinatebi sivrceSi;veqtoruli namravli;veqtorebis da koordinatebisgamoyenebis magaliTebis ganxilva;geometriuli gardaqmnebisgamosaxva dekartulkoordinatebSi;moculobamonacemTa analizi da statistika:populacia da SerCevaSerCevis ricxviTi maxasiaTeblebi(mediana, saSualo, sa-Sualo kvadratuli gadaxra)dawyvilebuli monacemebi. korelacia.gabnevis diagramasaskolo kursis masalismokle gameoreba. es saaTebiabiturientTa momzadebasacSeiZleba daeTmos.geometriuli debulebebisdasamtkiceblad da figuriszomebis dasadgenad veqtorebisgamoyenebis unaris ganviTareba;optimizaciis zogierTi problemisgadaWrisas geometriulifigurebis (maT Soris sivrculi)zomebs Soris funqciuridamokidebulebis gamoyenebis unari.poulobs zogierTi sivrculifiguris moculobas.sibrtyeze geometriuli gardaqmnebisgamosaxva dekartul koordinatebSi;mocemuli gardaqmnistipis dadgena.XII.5, XII.6monacemTa warmodgenis formebisSerCevis unari; SeuZlia cxrilebisSedgena da diagramebis ageba; Seu-Zlia SerCevis ricxviTi maxasiaTeblebisgamoTvla da Sedegebisgaanalizeba.dawyvilebuli monacemebisTvis qmnisgafantulobis diagramas, romlismixedviT agebs misadagebiswirs.iTvlis korelaciis koeficientsda agebs misadagebis wrfes.XII.7, XII.928 sT18 sT40 sT16

saswavlo masalis wardgenis fazebi da gakveTilisdagegmvis zogadi principebisaswavlo procesis organizaciis ZiriTadi forma gakve Ti lia; saganmanaTleblo,aRmzrdelobiTi da praqtikuli miz ne bis ganxorcieleba gakveTilze xdeba. amitommaTematikis swav lebis ZiriTadi sakiTxi gakveTilis kargi momzadeba da Cata rebaa.meTodikur literaturaSi didaqtikuri cneba _ `gakve Ti li~ ZiriTadad aseaRiwereba: gakveTili logikurad das ru lebuli, mTliani saswavlo-aRmzrdelobiTiprocesis gar kve uli SemosazRvruli monakveTia. masSi rTul urTierT da mokidebulebaSiaprocesis yvela ZiriTadi elementi: Sinaarsi, mizani, saSualebebi,meTodebi, organizacia; yovel gakveTilze gansazRvruli saganmanaTleblo daaRmzrdelobiTi amocanebi wydeba; am amocanebis gadawyveta konkretuli saswavloma sa lis ganxilvis procesSi mimdinareobs.maTematikis gakveTilisadmi wayenebuli mTavari moTxov ni le baa ZiriTadi didaqtikuriamocanis arseboba _ im Temis Ses wav lis miznis arseboba, romlisgadawyvetis procesi mo ce mul gakveTilze mimdinareobs. yoveli gakveTilis winkargad unda gaiazroT misi Sinaarsi da mizani, amaSi Cven mier mo wo debuli rukadagexmarebaT. miznis Sesabamisi unda iyos kar gad gaazrebuli da dagegmili saswavlomasalis wardgenis fazebi:motivacia; ar aris sakmarisi, rom maswavlebels gaaz re buli hqondes mizani;saWiroa, rom igi moswavleebisTvisac gax des ZiriTadi mizani. moswavleebTan saubariunda daviwyoT ara imiT, Tu ras vaswavliT, aramed mniSvnelovania Tavidanveinteresis aRZvra da iseTi situaciis Seqmna, roca moswavle motivirebulia da poulobspasuxebs kiTxvaze _ `risTvisaa saWiro~. motivacia SesaZlebelia praqtikuliamocanis dayenebiTa da misi amoxsnis xerxebis ZiebiT daviwyoT, an maTematikis Sigakanonzomierebis gaazrebiT, problemuri situaciis Seqmnis xelSewyobiT; mxolodamis Semdeg xdeba Sesabamisi amocanis dasma da misi amoxsnis Zieba.amocanis gansazRvris Semdeg mimdinareobs misi amoxsnis gzis Ziebis procesi.amoxsnis Ziebis procesis warmarTvis sxvadasxva meTodikuri saSualeba arsebobs.yovel amocanas, rogorc wesi, amoxsnis Ziebis garkveuli forma miesadageba. esformebia _ muSaoba jgufebad (SesaZlebelia or-oradac), mTeli klasis erToblivimonawileobiT, individualuri muSaoba da a. S. im SemTxvevaSic ki, roca amocanisamoxsnis ZiebaSi mTeli klasi erTdrouladaa Cabmuli, maswavlebelma swavleba iseunda warmarTos (moxerxubuli kiTxvis dasmis saSualebiT), rom Temis Seswavlisprocesis ZiriTadi Semoqmedebi Tavad moswavleebi aRmoCndnen; maswavlebeli amSemTxvevaSi warmarTvelis, `diriJoris~ funqcias unda asru lebdes.17

Sefasebis sistemas da gakveTilebis Semo Ta va zebul nimuSebs gaecnos. sarekomendaciowignis Sesavali mas gaacnobs saxelmZRvanelos agebisas avtorTa miergamoyenebul ZiriTad prin cipebs.maswavlebeli SemoqmedebiTad unda miudges Cven reko men da ciebs; igisafuZvlad iRebs Cven mier SemoTavazebul gegmas da azustebs mas sakuTarigamocdilebiTa da klasis Tavise bu rebebis gaTvaliswinebiT. es dazustebebigansakuTrebiT mniSv nelovania sawyis da damamTavrebel etapebze Se sasru lebelisavarjiSoebisa da sakontrolo weris variantebis SerCevisas.gakveTilis dagegmva iTvaliswinebs Casatarebeli procesis tips:• axali masalis gacnoba• masalis ganmtkiceba• codnis Semowmeba• sxva tipis gakveTilebi (gakveTili bunebaSi, gakveTili-proeqti, ...)Tumca, zogierTi tipis procesi (axali masalis gacnoba, gan mtkiceba, Semowmeba),rogorc wesi, yovel gakveTilze mim di nareobs, SesaZlebelia _ sxvadasxvamoculobiT.moswavleTa codnis Semowmeba, moswavleTa muSaobaze dak vir veba yovel gakveTilzemimdinareobs. gakveTilze mTavaria vaswavloT da aRvzardoT. swavleba arniSnavs mxolod codnis gadacemas _ swavleba codnis SemoqmedebiTad dauf lebasunda niSnavdes, misi gamoyenebis unaris ganviTarebaze unda iyos morgebuli. moswavleTaSefaseba swavlis procesze maswavleblis dakvirvebebiT, moswavleTa miersakontrolo da damoukidebeli samuSaoebis Sesrulebis xarisxiT gani saz Rv reba.yoveli gakveTilis Semdeg sakuTar wignakSi Cai niS neT moswavleebze dakvirvebebisSedegebi, gaiTvaliswineT mos wavleTa SemoqmedebiTi aqtiuroba (masalis aTvisebisdone kargad Cans savarjiSoebis amoxsnis drosac _ ganmtkicebis pro cesSi).saswavlo masalis dasabuTebuli SerCeva iTvaliswinebs Sem deg moTxovnebs:• saswavlo masalis Sesabamisoba Temis mizanTan• gakveTilze Sesasrulebeli samuSaos moculobis swori gansazRvra• optimaluri Tanafardoba konkretulsa da zogads Soris• Teoriasa da praqtikas Soris aucilebeli urTierT kav Siris ganxorcieleba.maswavlebelma, rogorc wesi, Tavidan bolomde deta lu rad unda gaiazrosgakveTili, winaswar, drois mixedviT unda iyos ganawilebuli mTeli samuSao.magaliTad, Tu gakveTilze axal Temaze gadasvlac aris gaT valiswinebuli,maSin SeiZleba im sakiTxebis Sesaxeb msje loba, romelTa bunebriv da kanonzomiergagrZelebis axali sa kiTxebi Seicavs, SeiZleba gakveTili pirdapir im praqtikuliamocanis ganxilviT daviwyoT, romlis maTematikuri modelis Seswavla axali maTematikurifaqtebis aRmoCenas, hipoTezis Camoyalibebasa da dasabuTebebs moiTxovs.am procesis buneb rivi gagrZeleba Sesabamis savarjiSoTa sistemis ganxilvaa.kiTxvebze pasuxebis gacemis sistema ar unda iyos erT fe rovani _ mxolodwarmatebul moswavleebTan mimarTebiT ar unda SemoifargloT; moswavlis raimemosazrebas myisve nu upasuxebT. swor pasuxsac ki, maSinve nu daeTanxmebiT xol me_ gaakeTeT pauza, iqneb garkveuli eWvic ki gamoTqvaT misi mosazrebis sisworismimarT. amiT miaRwevT imas, rom bavSvebi daubrundebian dasmuli kiTxvis analizsda male WeSmariti daskvna _ swori pasuxi _ klasis dominantur mosazrebadgadaiq ceva. klasi, erToblivi ZalisxmeviT, `gaiZulebT~ daeTanxmoT mis pozicias.19

es axarebs, amxnevebs da aerTianebs axal gazr debs. es maTi erToblivi azris gamarjvebaa.Tqvens mizansac xom es warmoadgens _ moswavle CamoayaliboT Semoqmed,codniT aRWurvil, iniciativian, xalisian axalgazrdad. maTematika mZlavri emociurimuxtis matarebelia da misi amoqmedeba Tqveni ZalisxmeviT miiRweva.yuradRebiT unda movisminoT yvela pasuxi, uxeSi Sec do mis SemTxvevaSic kidauSvebelia mkacri uaryofiTi Sefa se bebis gamoTqma.yuradReba miaqcieT, rom terminebi, cnebebi da movlenebi sworad iyos ganmartebuli.gakveTilebis dagegmvasa da warmarTvaSi xels SegiwyobT sanimuSo gakveTilebisscenarebi.axali masalis ganmtkicebis procesi SeiZleba e. w. `tes turi~ amocanebis `amoxsniT~daviwyoT, maTi Sesruleba swori pasuxis SerCeviT unda Semoifarglos _zogjer SeiZleba komentarebis gakeTebac gaxdes saWiro. yovel paragrafSi mo cemulimasala, rogorc wesi, 2 gakveTilzea gaTvalis wi ne buli; meore gakveTilzecodnis ganmtkicebaze zrunviT Semo vifarglebiT.swavlebis erT-erTi saintereso da mniSvnelovani forma jgu furi muSaobaa.es muSaoba SeiZleba gakveTilis procesis erT-erTi Semadgeneli nawili iyos _daukavSirdes axali ma salis gaazrebas, praqtikuli saqmianobis (eqsperimentis) anSemajamebeli daskvnebis gamotanas, an, SesaZlebelia, mas mTe li gakveTilic davuTmoT.mis warmarTvaSi moswavlis sa xel mZRvaneloSi warmodgenili amocanebissistema dagexmarebaT (magaliTad, amocanebi jgufuri muSaobisTvis). am Sem TxvevaSijgufur muSaobas SeiZleba Sejibris saxec ki miv ceT.organizaciulad jgufuri muSaobis es varianti _ paeq ro ba _ jgufuri muSaobaSeiZleba ase movawyoT:winaswar vacxadebT Catarebis dRes; moswavleebs vavalebT samuSao rveulisormagi furceli iqonion. paeqroba mos wav leTagan kapitnebisa da maTi TanaSemweebisdasaxelebiT iwyeba. optimaluria 4-5 moswavlisgan Semdgari jgufebi _ gundebi.gun debis dakompleqteba SeiZleba kapitnebsac miandoT. mTa varia, `arCevnebma~ dididro ar wagarTvaT.mas Semdeg, rac gundebi dakompleqtdeba, winaswar gamrav le buli amocanebidaurigeT gundebs (an dafaze amowereT pirobebi). am SemTxvevaSi yvela gundserTnairi davaleba miecema.gakveTilis dasrulebamde 10-12 wuTiT adre kapitnebs eva lebaT warmoadginonmaTi gundebis Sedegebi _ maTi amocanebis amoxsnebi. CaibareT es amoxsnebi winaswarikomentarebis gareSe da saukeTeso amoxsnebis avtorebi rigrigobiT miipatiJeTdafasTan naSromTa mokle prezentaciisTvis. cxadia, kritika da polemika, Tu amissafuZveli arsebobs, unda iyos uSeRa vaTo, magram koreqtuli. am bWobaSi TqvencmogiwevT xandaxan Cabma; zogjer mediatoris rolis Sesrulebac. es proceduraaRniSnul droze mets ar moiTxovs, radgan amocanebi yvelas kar gad aqvs gaazrebulida mxolod sakvanZo punqtebia xaz gasasmeli.am gansjis dasrulebisTanave unda aRdges merxebis Tavda pirveli ganlageba,Semdeg acxadebT gundebis mier mopovebul qulebs (TiToeuli amocana SeiZleba2-quliani skaliT Sefasdes) da dakavebul adgilebs am paeqrobaSi. SeiZleba daawesoTdamatebiTi qulebi prezentaciis Sesafaseblad.20

jgufuri muSaobisTvis amocanebi SeiZleba SeirCes saxel mZRva neloSi SesabamisiniSnakiT gamoyofili adgilidan. Tumca, winaswar yvela amocana rom ar iyos `gaSifruli~,iqneb maTi pirobebi odnav SecvaloT, an zogierTi amocana pa rag rafisdamatebiTi savarjiSoebis krebulidan airCioT.moswavlis saxelmZRvaneloSi SemoTavazebuli jgufuri mu Saobis zogierTiproeqti raime erTi axali Temis Sesabamisi struq turirebuli kiTxvebisgan Sedgeniliamocanaa _ yoveli kiTxva winas ukavSirdeba _ kiTxvebze pasuxebis sistemaraime erTi axali Temis Sesabamisi problemis dasmas da amoxsnas gulisxmobs. amSemTxvevaSi pasuxebis sistema, romelic mos wav leTa jgufis erToblivi ZalisxmevisSedegia, maTi ko leq tiuri SemoqmedebiTi naSromia da misi Sefaseba prezen ta ciisasganxorcieldeba.zogjer jgufebs sxvadasxva saxis davalebebi SeiZleba mivceT _ sxvadasxvaeqsperimentis Catareba (magaliTad, geometriuli obieqtis Tvisebebis dasadgenad)an sxvadasxva geometriuli faqtis ganxilva-dasabuTeba, Sedegis war modgena. amSemTxvevaSi moswavleebi msjeloben warmodgenili varaudebis koreqtulobaze daadareben maT. aseTi tipis jgufuri muSaobebi, rogorc zemoT aRvniSneT, gakveTilisfragmenti SeiZleba iyos da xSirad unda gamoviyenoT.Teoriuli masalis gadmocemis Cveneuli meTodika saSua lebas gaZlevT airCioTyvelaze ufro mosaxerxebeli forma Sinaarsisa da miznebis rukaSi miTiTebulimoTxovnebis Sesas ruleblad.Sefasebis zogadi principebisaskolo Sefasebis axali sistema, romelic erovnuli saswavlo gegmiT arisgansazRvruli, iTvaliswinebs Semdeg aucilebel midgomebs: akademiuri moswrebisSefaseba unda iyos xSiri da mravalmxrivi. unda Sefasdes ara marto informaciisfloba, aramed SeZenili unar-Cvevebi. ar aris sakmarisi moswavle mxolod sakontrolowerebis safuZvelze Sefasdes. maswavlebeli unda afasebdes prezentaciebis,mos wav lisave TviTSefasebis, jgufuri muSaobis, Tu sxva tipis aqti vobebis mixedviT.maswavlebelma Sefasebisas unda gaiT valiswinos saganmanaTleblo procesSimoswavlis CarTulobis xarisxi (saxlSi micemuli davalebis Sesrulebis xarisxi,gak ve Tilze aqtiuroba, SemoqmedebiToba da sxva), amasTanave, mi zan Sewonilia moswavlesacgavacnoT winaswar Sefasebis kri te riumebi. am kriteriumebis SedgenaSiSeiZleba moswavleTa Car Tvac.sakontrolo werebis Sefasebis sqemebs am wignSi gaec no biT. dauSvebelia moswavleTaqcevis gaTvaliswineba akade miuri moswrebis Sefasebisas _ gakveTilzearasaTanadod moqceva, rogorc wesi, aisaxeba akademiur moswrebaze.moswavlis niSani unda gamomdinareobdes mis mier sagnis Seswavlis sxvadasxvakomponentisgan _ sakontrolo weris Sesruleba, gakveTilze msjeloba, jgufurimuSaoba, prezen tacia da sxva.21

10. ახდენს მიღებული შედეგების განზოგადებას, ამყარებს კავშირებს (მაგალითად სხვა მათემატიკურსტრუქტურებთან, ობიექტებთან ან სხვა დისციპლინებთან) და იყენებს ამ კავშირებს როგორცპრობლემის გადაჭრისას, ასევე მიღებული შედეგების გაანალიზებისას;11. ირჩევს დასაბუთების ხერხს (მაგალითად: საწინააღმდეგოს დაშვების გამოყენება დამტკიცებისას,ევრისტული მეთოდის გამოყენება დასაბუთებისას);12. ინფორმაციის გადაცემისას წარმოაჩენს საკითხის არსს (მაგალითად, მათემატიკური ობიექტისარსებით თვისებებს);13. კორექტულია მასწავლებელთან და მეგობრებთან მიმართებაში. იგებს და აანალიზებს სხვისნააზრევს;14. თანამშრომლობს თანაკლასელებთან ჯგუფური სამუშაოების შესრულებისას;15. აუდიტორიისა და საპრეზენტაციო მასალის მიხედვით ირჩევს პრეზენტაციის ფორმას დადამხმარე საშუალებებს (მათ შორის საინფორმაციო ტექნოლოგიებს). ეფექტიანად იყენებსპრეზენტაციისათვის განკუთვნილ დროს;16. ახდენს პრობლემის ფორმულირებას აუდიტორიისათვის გასაგები ფორმით. ასაბუთებსპრობლემის აქტუალურობას და მნიშვნელობას (იგულისხმება პრობლემის პრაქტიკული ან/დაწმინდა მეცნიერული აქტუალურობა);17. სადემონსტრაციოდ იყენებს მაგალითებს, როგორც რეალური ვითარებიდან ასევე მათემატიკიდან;18. კეთილსინდისიერად ასრულებს დავალებებს (ვადებისა და რაოდენობის თვალსაზრისით).2) შემაჯამებელი დავალებების კომპონენტიშემაჯამებელი დავალების კომპონენტი უკავშირდება სწავლა-სწავლების შედეგს. ამკომპონენტში უნდა შეფასდეს ერთი სასწავლო მონაკვეთის (თემა, თავი, პარაგრაფი, საკითხი)შესწავლა-დამუშავების შედეგად მიღწეული შედეგები. კონკრეტული სასწავლო ერთეულისდასრულებისას მოსწავლემ უნდა შეძლოს მათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრულიცოდნისა და უნარების წარმოჩენა. შესაბამისად, შემაჯამებელი დავალებები უნდა აფასებდესმათემატიკის საგნობრივი პროგრამით განსაზღვრულ შედეგებს.შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები:სტანდარტის მოთხოვნათა დასაფარად, რეკომენდებულია შემაჯამებელ დავალებათამრავალფეროვანი ფორმების გამოყენება. მათემატიკის შემაჯამებელ დავალებათა ტიპები შეიძლებაიყოს:1. ტექსტურ ამოცანასთან დაკავშირებული ღია ან დახურული (რამდენიმე შესაძლო პასუხს შორისსწორი პასუხის შერჩევა, შესაბამისობის დამყარება, სწორი თანმიმდევრობით დალაგება) ტიპისდავალება;2. ტექსტის წაკითხვა და მონაცემთა ანალიზით (გამოთვლების ან ლოგიკური მსჯელობისსაფუძველზე) მიღებული დასკვნის გადმოცემა და დასაბუთება (მათ შორის ისეთი ტექსტის,რომელიც შეიცავს დიაგრამებს და ცხრილებს);3. განტოლების ამოხსნა, ასოითი გამოსახულების გამარტივება, რიცხვითი გამოსახულებისმნიშვნელობის გამოთვლა;4. გეომეტრიული ამოცანა, რომელშიც მოსწავლეს მოეთხოვება ფიგურის თვისებების დადგენა,ზომების განსაზღვრა, ფიგურის აგება;5. ამოცანა, რომელშიც წინასწარ განსაზღვრული მონაცემების საფუძველზე მოსწავლეს მოეთხოვებამოცემული ფაქტის დასაბუთება ან უარყოფა (მაგალითად, თეორემის დამტკიცება).მოთხოვნები, რომლებსაც უნდა აკმაყოფილებდეს შემაჯამებელი დავალებები:• დავალების თითოეულ ტიპს უნდა ახლდეს თავისი შეფასების ზოგადი რუბრიკა;• ზოგადი რუბრიკა უნდა დაზუსტდეს კონკრეტული დავალების პირობისა და განვლილიმასალის გათვალისწინებით;23

• 10 ქულა უნდა გადანაწილდეს რუბრიკაში შემავალ კრიტერიუმებზე;• მითითებული უნდა იყოს სტანდარტის ის შედეგები, რომელთა შეფასებასაც ემსახურებაშემაჯამებელი დავალება.ზოგადი რუბრიკის ნიმუში:შეფასების ზოგადი რუბრიკა ტექსტური ამოცანისათვის (წერითი დავალება)• ამოცანის მონაცემების ორგანიზება;• ადეკვატური აღნიშვნების შემოტანა;• ამოხსნის გზის მოძებნა;• ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღება.კონკრეტული რუბრიკის ნიმუშიტექსტური ამოცანა, რომლის ამოხსნა მოითხოვს განტოლების შედგენას და ამოხსნასსაფეხურებიქულაამოცანის მონაცემების ორგანიზებაამოხსნისათვის საჭირო მონაცემების ამოკრეფა ამოცანის ტექსტიდან 0 - 1მონაცემების ორგანიზება და ისეთი ხერხით ჩაწერა, რომელიც აადვილებს ამოხსნის 0 - 1გზის მოძებნასადეკვატური აღნიშვნების შემოტანასაძიებელი სიდიდეების გამოყოფა 0 - 1საძიებელი სიდიდეებისათვის ასოითი აღნიშვნების შემოღება 0 - 1მათემატიკური ობიექტებისა და პროცედურებისათვის სწორი აღნიშვნების0 - 1გამოყენება (მაგალითად: ფუნქციის, ალგებრული მოქმედების)ამოხსნის გზის მოძებნაგანტოლების შედგენის წინმსწრები მსჯელობა 0 - 1განტოლების შედგენა 0 – 1ამოხსნის გზის რეალიზება და პასუხის მიღებაგანტოლების ამოხსნის ხერხის მოძებნა 0 - 1განტოლების ამოხსნა და პასუხის მიღება 0 – 1 - 224

sanimuSo gakveTilebisanimuSo gakveTili #1aqtivoba: simravleebze moqmedebebis gameoreba, codnis gaRrmaveba (damoukidebelimuSaobis fragmentiT) ($ 1.4).reziume: moswavleebi ixseneben simravleebTan dakaSirebul ZiriTadi cnebebisSinaarss, simravleebze moqmedebebs da iRrmaveben saTanado codnas.specialurad SerCeuli magaliTebis analiziT, amocanebis amoxsniT iviTarebenam sakiTxTa kvlevis unarebs.aqtivobis mizani:• simravleTa Teoriis ZiriTadi cnebebisa da simravleebze moqmedebaTa gaxsenebada maTi praqtikul amocanebSi gamoyenebis Cvevebis gamomuSaveba;• dasmuli amocanis amoxsnis alternatiuli meTodebis moZieba da maTi gamoyeneba.kerZod, logikuri amocanebis amoxsnisas venis diagramebis gamoyenebis unar-Cvevebis gamomuSaveba da gaRrmaveba.• arsebuli an Tavad moswavlis mier gamoTqmuli hipoTezis kritikuli analizisunaris ganviTareba. msjelobis unaris daxvewa.• damoukidebeli muSaobis unaris ganviTareba.aucilebeli wina codna:• yvela saWiro cnebasa da debulebas, rasac viyenebT Teoriul nawilSi, moswavleebimaswavlebelTan erTad gzadagza erToblivad ixseneben.• amocanebis amosaxsnelad aucilebelia adre Seswavlili iseTi mniSvnelovanifaqtebis codna, rogoricaa, magaliTad, paralelogramobis niSnebi, samkuTxedzeSemoxazuli da Caxazuli wrewirebis arseboba, ricxviTi sistemebis urTierTmimarTebebida sxva.gakveTilis dasawyisSi, sasurvelia, klasma gaixsenos simravlis mocemis xerxebi_ es magaliTebis ganxilviT xorcieldeba. moswavleTa yuradRebas mivapyrobT simravlismaxasiaTebel Tvisebebze _ Tvisebebze, romelic aqvs am simravlis yovelelements da ara aqvs yovel im obieqts, romelic am simravles ar ekuTvnis. nimuSadviyenebT paragrafis Teoriuli nawilis pirvel punqtSi moyvanil magaliTs:A={x|(x+1)(x– 1 2)=0, x∈R},B={x|(x+1)(x– 1 2)=0, x∈Z}.25

SevTavazoT moswavleebs A da B simravleebis warmodgena elementebis CamoTvliT:A={–1; 1 2}, B={–1}.• aqvs Tu ara, A da B simravleebs saerTo elementi?• aqvs Tu ara, A simravles raime elementi, romelic ar ekuTvnis B-s?• ram ganapiroba A da B simravleebis sxvadasxvaoba?• Seadaron A da B simravleebi kidev or simravles: C={x|(x+1)(x– 1 2)=0, x∈Q},D={x|(x+1)(x– 1 2)=0, x∈R, x

sanimuSo gakveTili #2aqtivoba: simravleTa dekartuli namravli ($ 1.5).reziume: moswavleebi ecnobian axal cnebebs _ dalagebuli simravle (kerZod,dalagebuli wyvili, sameuli), ori an meti simravlis dekartuli namravli; amcnebaTa gamoyenebiT moswavleebi warmoadgenen axal maTematikur obieqtebs, realursamyaroSi SesaZlo mimarTebebs.aqtivobis mizani:• axali cnebebis aTviseba, mocemuli simravleebis dekartuli namravlisSedgenisa da, piriqiT, mocemuli namravlis mixedviT Tanamamravli simravleebisaRdgenis unar-Cvevebis gamomuSaveba;• ricxviTi simravleebis dekartuli namravlebisa da sakoordinato sibrtyezemaT gamosaxulebebs Soris urTierTcalsaxa Sesabamisobis dadgenis gamocdilebisSeZena.• miRebuli codnis praqtikul amocanebSi gamoyenebis SesaZleblobaTa aRmoCenisada maTi realizebis unaris ganviTareba.aucilebeli wina codna• simravleTa Teoriis elementebis codna § 1.4-Si mocemuli moculobiT;• sakoordinato sibrtyis wertilebsa da koordinatTa Sesabamis wyvilebs SorisSesabamisobis dadgenis unari _ es sakiTxi gakveTilebze reguluralud ganixileba,amitom sagangebo, xangrZlivi dro am gaxsenebis ar dasWirdeba.gakveTils viwyebT simravlis dalagebulobis cnebis Sinaarsis aRweriT; kerZod,ganvixilavT sakoordinato sibrtyis (a; b) da (b; a) tipis wertilebs da vrwmundebiT,rom, Tu a≠b, maSin (a; b) da (b; a) sxvadasxva wertilebs gansazRvravs.gavixsenebT, rom amave wesiT Sedgenili {a; b} da {b; a} simravleebi tolia.simravlis dalagebuloba gulisxmobs ara marto simravlis elementebis CamonaTvals,aramed, simravlis elementebis gansazRvrul Tanamimdevrobasac.sazogadod, dalagebuli wyvilebisTvis (a; b)=(c; d) niSnavs, a=c da b=d. piriqiTac,Tu a=c da b=d, maSin (a; b)=(c; d).sailustraciod ganvixilavT raime or sasrul simravles. magaliTad, A={O; ∆},B={1; 2; 3}. SevTavazoT moswavleebs warmoadginon elementebis CamoTvliT dalagebulwyvilTa ori simravle:M={(m; n) | m∈A, n∈B},N={(p; t) | p∈B, t∈A}.• ramden elements Seicavs M simravle; N simravle?• tolia Tu ara, M da N simravleebi?ganvsazRvroT ori simravlis dekartuli namravlis cneba _ A×B={(a; b) | a∈A,b∈B}.• sworia Tu ara, rom A×B=M; B×A=N?moviSvelioT paragrafis Teoriul nawilSi mocemuli sxva magaliTebic.gansakuTrebuli yuradRebiT ganvixiloT A×A SemTxveva _ moswavles raime Asimravlis dekartuli kvadrati ar unda SeeSalos A-s orelementian qvesimravleTasimravleSi.27

yuradRebiT gavarCioT me-4 magaliTi _ ori sasruli simravlis dekartulinamravlis cxrilis saxiT warmodgena. es xels Seuwyobs ricxviTi simravleebisdekartuli namravlis sakoordinato sibrtyeze warmodgenis procesis ukeT gagebas.ori simravlis analogiurad ganisazRvreba sami an meti simravlis dekartulinamravlic. SeTavazeT moswavleebs SearCion raime sami sasruli simravle dawarmoadginon am simravleTa dekartuli namravli.• vTqvaT, A={s; r}, B={k}, C={a; o}. warmoadgineT B×C da A×B×C simravleebicxrilis saxiT.• vTqvaT, M={1; 2; 3}, N=(5; 6}. warmoadgineT M×N namravli elementebisCamoTvliT da TiToeul elements SeusabameT sakoordinato sibrtyis raime wertili.ra wesi SearCieT am SesabamisobisTvis? aRwereT wertilTa ganlageba sibrtyeze dasaTanado wertilTa simravleebi.aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebaaqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT gTavazobT paragrafSi warmodgenilisakontrolo kiTxvebisa da amocanebis gamoyenebas.sasurvelia, sakontrolo kiTxvebze pasuxebis SerCevisas moswavle axdendessakuTari varaudis ilustrirebas raime konkretuli magaliTiT da SeeZlos Tavisimosazrebebis dacva pedagogisa da TanaklaselTa winaSe. gansakuTrebiT sainteresoaim kiTxvebze gamoxmaureba, romlebsac moswavleebi Tavad usvamen erTmaneTs.aqtivobis ganxilva-Sefasebadekartuli namravlis cneba maTematikis erT-erTi fuZemdebluri cnebaa _mis safuZvelze xdeba simravleTa Soris Sesabamisobis, mimarTebis, asaxvis da sxvamravali mniSvnelovani cnebis gansazRvra. amrigad, aRwerili aqtivobiT miRebulicodna da Cvevebi SemdgomSi mravalgzis iqneba gamoyenebuli.vfiqrobT, rom es aqtivoba saazrovno unarebis ganmaviTarebelicaa.sanimuSo gakveTili #3aqtivoba: asaxva. Seqceuli asaxva ($ 1.6).reziume: or simravles Soris Sesabamisobis cnebis arsSi garkvevasTan erTadmoswavleebi ecnobian Sesabamisobebis kerZo saxeebs _ asaxvas, `ze~-asaxvas, Seqcevadasaxvas.aqtivobis mizani:• axali cnebis _ simravleTa Soris Sesabamisobis _ arsSi garkveva.• sxvadasxva magaliTis garCevis safuZvelze, Sesabamisobis SesaZlo TvisebaTagamokveTa-daxarisxeba.• SesabamisobaTa kerZo saxeebad klasificirebis unar-Cvevebis gamomuSaveba.28

• urTierTcalsaxa Sesabamisobis, Seqceuli asaxvis agebis gamocdilebis SeZena.• miRebuli codnis aqtualurobis gaazreba _ gamoyenebiTi aspeqtebis warmo-Cena.aucilebeli wina codna:• simravleTa Teoriis ZiriTadi cnebebisa da simravleebze moqmedebebis Tvisebebisfloba;• simravleTa dekartuli namravlis Sedgenis unari.gakveTils viwyebT ori raime ricxviTi simravlis ganxilviT. magaliTad, A={5;10; 14} da B={2; 5; 7}. mivmarTavT klass Seadginon yvela SesaZlo (a; b) dalagebuliwyvilebis simravle (a∈A, b∈B), romelic ganisazRvreba TvisebiT: `a aris b-sjeradi~. moswavleebi, cxadia, erToblivi ZalisxmeviT, iolad amoxsnian amocanas _C={(5; 5); (10; 2); (10; 5); (14; 2); (14; 7)}.axla amave simravleebisTvis aseTi Tviseba davasaxeloT: `a≤b~. miviRebT orelementiansimravles:D={(5; 5); (5; 7)}.moswavleebTan erTad vmsjelobT, Tu ra damokidebulebaa Cven mier Sedgenil Cda D simravleebsa da A×B dekartul namravls Soris. vRebulobT _ C da D qvesimravleebiaA×B simravlis _ C da D Sesabamisobebia A da B-s Soris.vamaxvilebT moswavleTa yuradRebas ramdenime Tvisebaze,romelic Sesabamisobas SeiZleba (aucilebeli ar aris) hqondes:X-is yovel elements Seesabameba raime elementi Y-idan; X-israime elements Seesabameba Y-is erTze meti elementi; X-isyovel elements Seesabameba Y-is erTaderTi elementi; X-is gansxvavebulelementebs Y-is gansxvavebuli elementebi Seesabameba;Y-is yoveli elementi aris X-is raime elementis Sesabamisida sxva. am Tvisebebis (an maTi nawilis) mqone SesabamisobebismixedviT, maTi SedarebiT, sxvadasxva magaliTebis ganxilviT,moswavleebs vacnobT cnebebs _ `asaxva~, `ze-asaxva~, `urTierTcalsaxa Sesabamisoba~,`Seqcevadi asaxva~, `asaxvis Seqceuli asaxva~. es cnebebi ilustrirebuli undaiyos magaliTebiT _ gamoiyeneT paragrafSi warmodgenili sqemebi; magaliTad, suraTzewarmodgenil SemTxvevaSi, yovel x-s (X-idan) Seesabameba garkveuli (erTaderTi)elementi Y-dan _ gvaqvs asaxva; amasTanave, yovel y-s (Y-idan) aqvs wina saxe(erTi mainc) X-Si _ gvaqvs `ze~-asaxva; X-is or elements erTi da igive saxe aqvs_ asaxva Seqcevadi ar aris. Y warmoadgens X simravlis saxes f asaxvisas _ f(X)=Y.asaxvis kerZo saxeebidan gansakuTrebul mniSvnelobas vaniWebT Seqcevad asaxvasda, Sesabamisad, Seqceul asaxvas. Tu f:X → Y Seqcevadia, maSin f-is Seqceul asaxvasvuwodebT f(X) simravleze gansazRvrul iseT f –1 asaxvas, romelic yovel f(x) elementsf(X)-dan `daabrunebs~ x-Si. amrigad, X-is yoveli x elementisTvis f –1 (f(x))=x. Tuasaxva urTierTcalsaxaa, maSin cxadia Y-is yoveli y elementisTvis f(f –1 (y))=x, y=f(x).pedagogebma unda gaiTvaliswinon, rom terminebs `asaxva~ da `funqcia~, ZiriTadad,gamoviyenebT xolme, rogorc sinonimebs, Tumca ricxviTi simravlis asaxvisas,an `cvladebis~ terminebis gamoyenebisas upiratesobas `funqcias~ mivaniWebT. magaliTad,`y cvladi x cvladis funqciaa~.29

sasurvelia moswavleebs SeaxsenoT formuliT mocemuli zogierTi funqciis SeqceulismoZebnis etapebi. magaliTad, mocemulia f : X → Y, f (x)= 3x+27 . gamovsaxoT xmisi y saxis saSualebiT:y= 3x+27⇒ x= 7y–23Seqceul funqcias aqvs saxe: f –1 :Y → X, f –1 (y)= 7y–23 .Tumca, Tu davubrundebiT tradiciul aRniSvnebs, CavwerT: f –1 (x)= 7x–23 .aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebamizans sakontrolo kiTxvebisa da amocanebis gamoyenebiTac SeiZleba miaRwioT.ecadeT moswavleebma kiTxvebze pasuxis gacemis dros moiyvanon Sesabamisi magaliTebi,warmoadginon Sesabamisobebi sqemis saxiT.amocanebis amoxsnisas, sasurvelia, moswavlem moaxdinos sakuTari arCevanis argumentirebaSesabamisi cnebis, Tvisebisa Tu magaliTis warmodgeniT.aqtivobis ganxilva-SefasebasimravleTa Soris Sesabamisobis, asaxvis cnebebi maTematikis umniSvnelovanesicnebebia; am cnebebis SinaarsSi safuZvliani garkveva da Sesabamisi gamoyenebisunarebis ganviTareba zogadad maTematikis warmatebuli Seswavlis mniSvnelovaninawilia.migvaCnia, rom am aqtivobas saazrovno unarebis ganmaviTarebeli funqciac akisria.sanimuSo gakveTili #4aqtivoba: debulebaTa dasabuTebis xerxebi ($ 1.8).reziume: debulebaTa dasabuTebis adre naswavl xerxebs magaliTebis garCevissaSualebiT vixsenebT da am xerxebis gamoyenebis axlebur nimuSebsac vixilavT.aqtivobis mizani:• davxvewoT moswavleTa logikuri msjelobis unari;• gavamdidroT maTi codna damtkicebis axali xerxebiT;• gavacnoT moswavleebs araerTi saintereso faqti maTematikis sxvadasxva nawilidan_ am faqtebis damtkiceba msjelobis nimuSad mogvyavs.aucilebeli wina codna• moswavleebs unda hqondeT warmodgena pirobiTi winadadebis, induqciis, sawinaaRmdegosdaSvebis meTodis Sesaxeb _ marTalia, paragrafis Teoriul nawilSiam cnebebisa da faqtebis Sexsenebas garkveuli dro davuTmeT, magram axla ufrosafuZvlianad ganvixilavT sakiTxebs.30

gakveTils pirobiTi winadadebis gaxsenebiT viwyebT _ swored am saxiTaaumetes SemTxvevaSi Camoyalibebuli dasamtkicebeli debuleba. pirobiT winadadebaSigamovyoT piroba da daskvna _ moviSvelioT Sesaferisi magaliTebi; mniSvnelovaniamoswavleebi gavavarjiSoT sxva saxiT mocemuli debulebis pirobiTi winadadebisformiT CamoyalibebaSi; magaliTad, debuleba `martivi ricxvis kvadratssami gamyofi aqvs~ asec Camoyalibdeba _ `Tu ricxvi martivia, maSin mis kvadratssami gamyofi aqvs~.debulebis pirobiTi winadadebis formiT Camoyalibeba sawinaaRmdegos daSvebismeTodis gamoyenebis pirveli etapia: vTqvaT, vamtkicebT debulebas `Tu p, maSin q~;vuSvebT sawinaaRmdegos _ `Tu p, maSin q~ da, Tu am daSvebis safuZvelze CatarebulimsjelobiT (pirobiTi winadadebebis `jaWviT~) mivalT pirobis, an raime WeSmaritifaqtis uaryofamde, davaskvniT _ Tavdapirveli debuleba WeSmaritia. meTodisilustrirebisas gamoiyeneT paragrafis pirvel nawilSi moyvanili magaliTebi.am gakveTilze maTematikuri induqciis meTodis mxolod zogadi sqemis CamoyalibebiTada oriode magaliTis garCeviT SemovifargleT.induqciis (sruli induqciis) meTodis gamoyenebis erT-erTi gadamwyveti momentiagansaxilvel obieqtTa simravlis sasruli odenobis klasebad dayofa ise, romTiToeuli klasis obieqtebisTvis debulebis damtkiceba erTi sqemiT mimdinareobdes.es gansakuTrebiT mniSvnelovania, roca debuleba gamoTqmulia usasrulosimravlis obieqtTa mimarT. magaliTad, `nebismier n naturaluri ricxvisTvis n 5 –niyofa 5-ze~. debulebis WeSmaritoba dasamtkicebelia yoveli naturaluri n ricxvisTvis.Tumca, xerxdeba N-is dayofa 5 klasad _ {5k | k∈N}, {5k–1 | k∈N}, {5k–2 |k∈N}, {5k–3 | k∈N}, {5k–4 | k∈N} _ da TiToeuli klasisTvis debulebis damtkicebagamartivebis teqnikaze daiyvaneba.aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebaaqtivobis gafarToeba-gaRrmaveba sakontrolo kiTxvebiTa da amocanebiTac miiRweva.SevniSnoT, rom am paragrafis amocanebi Seexeba maTematikis sxvadasxva nawils_ aq mniSvneloba eniWeba dasabuTebis xerxebis gamoyenebas da ara TviT debulebisTematikas.aqtivobis ganxilva-SefasebamaTematikis, rogorc deduqciuri mecnierebis ganviTareba, debulebebis damtkicebis(dasabuTebis) gziT xdeba. amasTanave, rac ufro mravalferovania sakvleviobieqtebi miT ufro mravalferovani da mZlavri unda iyos maTi kvlevis aparati,maTematikuri debulebebis WeSmaritobis dadgenis xerxebi.maTi floba da mocemuli amocanisTvis xelsayreli meTodis SerCeva saTanadounarebis ganviTarebiT miiRweva.naTelia, rom mocemuli aqtivoba saSualebas iZleva msjeloba-dasabuTebisramdenime xerxis ganxilvasTan erTad, Tvali gadavavloT nacnob faqtebsac da aRmovaCinoTaxali kanonzomierebebi maTematikis sxvadasxva nawilidan.31

sanimuSo gakveTili #5aqtivoba: xdomilobebze operaciebis gaxseneba da am operaciebis TvisebebisSeswavla ($ 2.2).reziume: moswavleebi ixseneben operaciebs xdomilobebze _ jams, namravls;saTanadod SerCeuli magaliTebis ganxilvis gziT ecnobian aRniSnuli operaciebisTvisebebs; iZenen am operaciaTa gamoyenebis Cvevebs.aqtivobis mizani:• xdomilobebze operaciebis _ jamisa da namravlis gaxseneba;• aRniSnuli operaciebis Tvisebebis Seswavla magaliTebis garCevisa da Sedegebisganzogadebis gziT;• eqsperimentTan dakavSirebuli xdomilobis elementaruli xdomilobebiTgamosaxvisas operaciebis gamoyenebis unar-Cvevebis ganviTareba.aucilebeli wina codna:• moswavle unda flobdes simravleTa Teoriis elementebs im moculobiT, racwarmodgenilia §1.4-Si;• unda hqondes xdomilobis cnebis Sinaarsze mkafio warmodgena.• unda icnobdes eqsperimentis xdomilobaTa sivrcis agebis magaliTebs da TavadacgaaCndes saTanado unar-Cvevebi.• xdomilobaTa albaTobis cnebis codna da albaTobis gamoTvlaze umartivesiamocanebis amoxsnis unari.I etapi: gavixsenebT raime eqsperimentis Sesabamis xdomilobebsa da maTze moqmedebebis(operaciebis) Catarebis wesebs, rasac davakavSirebT am eqsperimentisxdomilobaTa sivrcis qvesimravleebze moqmedebebs.gaxsenebis process kiTxva-pasuxis saSualebiT warvmarTavT (isargebleT saxelmZRvaneloSiSemoTavazebuli SekiTxvebiT da SeavseT isini Tqveni survilisamebr).pasuxebis komentari da analizi Tavad moswavleebis erToblivi gansjiT xdeba.magaliTi 1-is ganxilvis saSualebiT SesaZlebelia Teoriuli codnis ilustrirebademonstracia.gansakuTrebuli yuradRebiT movekidoT xdomilobaTa araTavsebadobis sakiTxs_ mniSvnelovania moswavleebma xdomilobaTa araTavsebadoba daakavSiron am xdomilobaTaSesabamis xelSemwyobi elementaruli xdomilobebis simravleTa Tanaukve-TobasTan (araTanamkveTobasTan). araTavsebadi xdomilobebis mniSvnelovani magali-Tia xdomiloba da misi uaryofa _ A da A. amasTanave, es magaliTi imiTac arissayuradRebo, rom A + A aris aucilebeli xdomiloba (P(A + A)=1).araTavsebadi xdomilobebisTvis samarTliania formulaP(A+B)=P(A)+P(B).sasurvelia am formulis WeSmaritobis demonstrireba magaliTebis saSualebiT.II etapi. vixilavT Tavsebadi xdomilobebis SemTxvevas, anu xdomilobebs,romelTa namravlis albaToba nuli ar aris. simravleTa TeoriaSi miRebuli gvqondaformulan(A∪B)=n(A)+n(B)–n(A∩B),romelic asec Caiwereba:n(A+B)=n(A)+n(B)–n(A . B).32

Tu am tolobis yvela wevrs gavyofT xdomilobaTa sivrceSi elementebis odenobaze,miviRebTP(A+B)=P(A)+P(B)–P(A . B).sasurvelia ganamtkicoT am formulis codna paragrafis Teoriul nawilSimoyvanili magaliTebis ganxilvis saSualebiT.aqtivobis gafarToeba-gaRrmaveba:aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT ganixileT sakontrolo kiTxvebi daSemoTavazebuli amocanebi.moswavleTa pasuxebis siswore TviT moswavleebma Seafason _ aseTi diskusiebimniSvnelovnad xvewen da ganamtkiceben moswavleTa codnas.`testuri~ amocanebis amoxsnisas sasurvelia moswavleebs mosTxovoT xolmearCevanis marTebulobis dasabuTeba, zogjer SeiZleba komentarebiTac dakmayofildeT.aqtivobis ganxilva-Sefaseba:mocemuli aqtivoba mniSvnelovani nabijia Teoriuli codnis aTvisebasa dagaRrmavebaSi, miTiTebuli sakiTxebis gamoyenebiTi aspeqtebis warmoCenasa da maTigadaWris gzebis ZiebaSi; es aqtivoba amzadebs safuZvels saswavlo programiT gaTvaliswinebulimravali sxva sakiTxis Sesaswavlad.sanimuSo gakveTili #6aqtivoba: operaciebi funqciebze. funqciaTa kompozicia ($ 4.2).reziume: moswavleebi ecnobian funqciebze gansazRvrul operaciebs _ Sekrebas,gamoklebas, gamravlebas, gayofas. ixilaven formulebiT mocemuli funqciebisjams, sxvaobas, namravlsa da ganayofs; ganixilaven funqciebis kompoziciasa da miskerZo SemTxvevas _ iteracias. iyeneben miRebul codnas praqtikuli amocanebisgadawyvetisas.aqtivobis mizani:• funqciebze operaciebis Sesrulebis aTviseba;• funqciebis kompoziciis agebis Cvevebis gamomuSaveba;• funqciis Seqcevadobis dadgenisa da Seqceuli funqciis agebis unar-CvevebisSeZena;• praqtikuli saqmianobidan an mecnierebis sxvadasxva dargebidan momdinare amocanebisgadawyveta – modelirebisas funqciis Tvisebebis gamoyenebis unar-CvevebisSeZena-ganviTareba;• funqciisa da funqciaTa ojaxis Tvisebebis gamokvlevisa da am Tvisebebis gamoyenebiTiaspeqtebis kvleva, saTanado gamocdilebis SeZena.aucilebeli wina codna:• moswavle unda flobdes Sesabamisobebisa da maTi kerZo SemTxvevis _ asaxvebis,Seqcevadi asaxvebis cnebebTan dakavSirebul codnas im moculobiT, rac war-33

sadac I igivuri funqciaa. misi ganazRvris area g funqciis gansazRvris are. f-isSeqceul funqcias ase aRvniSnavT: f –1 .• yvela funqcias aqvs Seqceuli? _ ara;• aqvs Tu ara Seqceuli f(x)=x 2 , x∈(–∞; +∞) funqcias? _ ara, radgan nebismierix∈(–∞; +∞) ricxvisTvis gvaqvs f(x)=f(–x).• aqvs Tu ara Seqceuli f(x)=x 2 , x∈[0; +∞) funqcias? _ aqvs, f –1 (x)= √x .yuradRebiT gaarCieT me-10 da me-11 magaliTebi _ es xels Seuwyobs Seqcevadobisada Seqceulis cnebebis aTvisebas.Semdeg etapze vixilavT Seqceuli funqciis grafikis agebis sakiTxs. sasurveliamoswavleebma Tavad aRmoaCinon Sesabamisi kanonzomiereba _ maswavlebeli sworaddasmuli SekiTxvebiT exmareba maT:• vTqvaT, x 0∈D(f) da y 0=f(x 0). ekuTvnis Tu ara (x 0; y 0)) wertili f funqciis grafiks?• Tu f(x 0)=y 0, maSin sworia Tu ara, rom f –1 (y 0)=x 0?• ekuTvnis Tu ara (y 0; x 0) wertili f –1 funqciis grafiks?• aris Tu ara (x 0; y 0) da (y 0; x 0) wertilebi y=x wrfis mimarT simetriulebi?me-12 da me-13 magaliTebi masalis erTgvar SejamebaSi gvexmareba.aqtivobis gafarToeba-gaRrmaveba:aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT ganixileT paragrafis meore nawilSiSemoTavazebuli mravalricxovani amocanebi.#30-#34 amocanebi iteraciis kargi magaliTebia; isini SeiZleba gamoviyenoTmaTematikis wrezec da gakveTilzec.aqtivobis ganxilva-Sefaseba:am Temis ganxilvis Sedegad moswavle iZens mniSvnelovan unar-Cvevebs, romelicgamoadgeba rogorc wminda Teoriul-maTematikuri, ise praqtikuli saqmianobidanan mecnierebis sxva dargebidan momdinare amocanebis gadawyveta-modelirebisas.sanimuSo gakveTili #7aqtivoba: sivrceSi dekartis koordinatebis ganxilva; sivrceSi veqtorisa daveqtorebze moqmedebebis koodinatebiT warmodgena ($ 5.2, punqti 1).reziume: moswavleebi ixseneben sivrceSi dekartis koordinatebis gansazRvras,koordinatTa sistemis orientacias, koordinatTa RerZebis mgezav ortebs _ i -s,j -sa da k-s; ecnobian i -s, j -sa da k-s wrfivi kombinaciiT nebismieri a=(x; y; z) veqtoriswarmodgenas:a=x i +y j +zkda am warmodgenis gamoyenebiT amtkiceben ramdenime mniSvnelovan debulebas.aqtivobis mizani:• veqtoris sigrZisa da mimarTulebis, veqtorebze operaciebisa da maTi Tvisebebisgeometriuli interpretirebis Cvevebis gamomuSaveba;35

• koordinatebis gamoyenebis codnis SeZena, magaliTad, veqtorebisa da veqtorebzeoperaciebis, sivrcis wertilebs Soris manZilis, wrfeebs Soris kuTxiskoordinatebiT gamosaxvisas;• geometriuli debulebebis dasamtkiceblad da figuraTa zomebis dasadgenadveqtorebis gamoyenebis unar-Cvevebis gamomuSaveba-ganmtkiceba;• figuraTa geometriul Tvisebebsa da Sesabamis algebrul gamosaxulebebs Sorislogikuri kavSirebis damyarebisa da am kavSirebis gamoyenebis gamocdilebismiReba;• sivrcis aRqmis gaRrmaveba;• damoukideblad muSaobis unaris ganviTareba.• sivrcis ganzomilebaze pirveli warmodgenebis gamomuSaveba.aucilebeli wina codna:• yvela saWiro cnebasa da debulebas, rasac viyenebT Teoriul nawilSi, moswavleebimaswavlebelTan erTad gzadagza erToblivad ixseneben.aqtivobis mimdinareoba:gakveTilis dasawyisSi vixsenebT sivrcul koordinatTa sistemas da mis or SesaZloorientacias _ marcxenasa da marjvenas:xymarcxena sistemamarjvena sistemasasurvelia moswavleebs avuxsnaT am terminebis warmomavloba _ adamianismarcxena da marjvena mtevnebze ceri, saCvenebeli da Sua TiTebis ganlagebasa daSesabamisi sistemebis RerZebis ganlagebas Soris msgavseba (gamoyeneT s rubrikiTmocemuli masala):Semdgom marjvena sameulebs ganvixilavT _ es SeTanxmebis Sedegia.aRwerili wesiT SerCeuli koordinatTa sistemis mgezavi ortebia, Sesabamisad,i , j , k. amrigad, am veqtorebis koordinatebiai =(1; 0; 0), j =(0; 1; 0), k=(0; 0; 1).Tu M wertilis koordinatebi sivrceSi aris (x; y; z), maSin OM =(x; y; z) daOM = x i +y j +zk (*)36

mniSvnelovania kavSiri veqtorebze moqmedebebsa da veqtoris koordinatebs Soris:Tu p=(x 1; y 1; z 1), q=(x 2; y 2; z 2), maSinp+q=(x 1+x 2; y 1+y 2; z 1+z 2);p – q=(x 1-x 2; y 1-y 2; z 1-z 2).Tu p=(x; y; z), α∈R,maSin αp=(αx; αy; αz).es faqtebi paragrafis Teoriul nawilSi debulebebis saxiTaa warmodgenili damaTi damtkicebisTvis gamoiyeneT veqtoris (*) warmodgena. SesaZlebelia damtkicebadafaze CavataroT da amisTvis romelime moswavle gamoviZaxoT, romelsac daevalebaklasSi mimdinare ganxilvis oponireba da dafaze asaxva.paragrafis meore nawilSi vixsenebT veqtorebis skalarul namravls:a ⋅ b =|a|⋅| b|⋅ cosϕ, sadac ϕ aris kuTxe a-sa da b-s Soris.skalaruli namravlis Tvisebebia:1) a ⋅ b = b ⋅ a2) (aa)⋅ b)=a(a⋅b), α∈R3) (a+b)⋅c=a ⋅ c+b ⋅ c4) (aa +bb)⋅ (gc +δd) =aga⋅c + ada⋅d + bgb⋅c + bdb⋅d, α, β, γ, δ∈R.mniSvnelovani Sedegia:Tu a=(x 1; y 1; z 1), b=(x 2; y 2; z 2), maSin a⋅b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2.am faqtis damtkicebisas gamoviyenoT veqtoris (*) warmodgena da skalaruli namravlisTvisebebi:a =x 1i +y 1j +z 1k, b =x 2i +y 2j +z 2ka ⋅ b =x 1x 2i ⋅ i +x 1y 2i ⋅ j +x 1z 2i ⋅k+y 1x 2j ⋅ i +y 1y 2j ⋅ j +y 1z 2j ⋅k+z 1x 2k⋅ i +z 1y 2k⋅ j +z 1z 2k⋅k.Tu gaviTvaliswinebT, rom i , j , k wyvil-wyvilad marTobuli ortebiai ⋅ j = i ⋅k=...=k⋅ j =0:amasTanave, i ⋅ i = j ⋅ j =k⋅k=1, maSin miviRebT;a ⋅ b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2.am formulis gamoyenebiT miiReba or veqtors Soris kuTxis kosinusis gamosaxulebaveqtorebis koordinatebis saSualebiT:xcosϕ=1x 2+y 1y 2+z 1z 2.2√x12 +y 12+z 12√x 22+y 22+z 2SevniSnoT, rom a da b aranulovani veqtorebi TanamimarTulia mxolod maSin,roca cosϕ=1; sawinaaRmdegodaa mimarTuli _ roca cosϕ=–1 da marTobulia, rocacosϕ=0, anu x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.37

I Tavigameoreba. zogierTi saxis gantolebisa da utolobis amoxsna.simravlis asaxvaam TavSi ZiriTadad, adre naswavli sakiTxebis gameorebaa; ganvixilavT kvadratulutolobas, utolobaTa sistemebs, kombinatorul analizs. 2011-2016 wlebis saswavlogegmis moTxovnebis gaTvaliswinebiT ganxilulia iracionaluri gantolebebi dagrafTa Teoriis elementebi. mniSvnelovan yuradRebas vuTmobT sakiTxebis urTierTkavSirebsada gamoyenebebs. gameorebasTan erTad vzrunavT moswavleTa codnisgaRrmavebasa da saTanado unarebis ganviTarebaze _ es gansakuTrebiT aqtualuriadamamTavrebel XII klasSi.$1.1 utolobis amoxsna intervalTa meTodiTmizani: funqciis Tvisebebis gamoyenebis unaris ganviTareba; niSanmudmivobisSualedebis dadgena da gamoyeneba, kvadratuli funqciis Tvisebebis gameoreba dagamoyeneba. moswavleebma gaimdidron im praqtikuli amocanebis kvlevis aparati,romelTa maTematikuri modeli utolobebs ukavSirdeba.winapirobebi. moswavleebma unda icodnen kvadratuli funqciis Tvisebebi; ni-Sanmudmivobebis Sualedebisa da grafikis cneba; grafikis geometriuli Tvisebebi;funqciis nulebi, funqciis grafikis daxasiaTeba nulebisa da nulebs Soris yofaqceviskonteqstSi. kvadratuli samwevris daSla mamravlebad.gakveTilis ZiriTadi miznis gacnoba.moswavleebs SevaxsenebT, rom isini ukve icnoben kvadratul funqcias, ganxilulihqondaT is praqtikuli amocanebic, romelTa gadawyvetas mivyavarT kvadratulifunqciis gamokvlevamde _ vipovoT dadebiTobis an uaryofiTobis Sualedebi;amovxsnaT kvadratuli utolobebi. isini ukve icnoben kvadratuli funqciisTvisebebis gamoyenebiT kvadratuli utolobis amoxsnis xerxebs. Temis ganxilvismizania kvadratuli funqciis Tvisebebi davukavSiroT mis nulebs Soris funqciis`yofaqcevas~ _ nulebs Soris funqcia inarCunebs niSans, amitom sakmarisia mniSvnelobispovna yoveli aseTi Sualedis erT romelime wertilSi. analogiuri TvisebisSeiZleba iyos sxva funqciebic. Temis Seswavlis mizania gamoviyenoT es meTodiutolobebis amonaxsnTa simravlis sapovnelad. gavlil masalasTan kavSiris konteqstSiganvixilavT martiv utolobas, roca ori wrfivi mamravli gvaqvs:(x–1)(x–2)>0klasis winaSe davsvamT problemas: kvadratuli utolobis SemTxvevaSi niSanmudmivobisSualedebis povnis gamoyenebiT utolobis amoxsnis xerxi gamoviyenoT39

d) mocemuli utoloba tolfasia x(x+5)x–5 ≥0utolobis.pasuxi: x∈[–5;0]∪(5; +∞).24 a), b), g) da d) utolobebi amoixsnas klasSi. maTi marcxena nawilebi erTnairiada es umartivebs moswavles amonaxsnTa simravlisTvis x=5 wertilis mikuTvnebissakiTxSi garkvevas. oTxive utolobisTvis SeiZleba erTi RerZi gakeTdes, saTanadointervalebTan erTad mivuTiToT marcxena mxaris gamosaxulebis niSnebi da amovxsnaTutolobebi. TiToeul SemTxvevaSi aucileblad Semowmdes yvela sasazRvro wertili:a) (–∞; –3]∪[4; +∞),b) (–∞; –3)∪(4; 5)∪(5; +∞),+ – + +g) (–3; 4),d) [–3; 4]∪{5}.e), v), z) da T) utolobebis marcxena mxare gadavweroT (x–3)(x+1) 2 (x+9) saxiT (3da –1 aris x 2 –2x–3 kvadratuli samwevris fesvebi) da amovxsnaT utolobebi a)_d)utolobebis msgavsad.25 a) x-is nebismieri mniSvnelobisTvis x 2 +4x+5>0 (x 2 -is koeficienti dadebiTia,D0 utolobis. vpoulobT fesvebs: x 1=–4, x 2=–1da vRebulobT: (x+1)(x+4)>0, saidanac intervalTa meTodiT davadgenT amonaxsnTasimravles:(–∞; –4)∪(–1; +∞),b) amovxsnaT (x–6)(x+6) 0, x(x+4)(x+1)(x–2) 0,41

saidanac intervalTa meTodiT vRebulobT amonaxsnTa simravles:(-∞; - 3)∪( 1 2 ; 1)∪( 3 2 ; +∞).d) mocemulis tolfasi utolobaa:1(x–3)(x–4) - 3(x–3)(x+3) ≤0,2x–15(x–3)(x–4)(x+3) ≥0.saidanac, intervalTa meTodiT, vRebulobT amonaxsnaTa simravles:(–∞; –3)∪(3; 4)∪[ 15 2 ; +∞).27 a) mocemuli utolobis tolfasia(x–1) 2≥0 utoloba.xpasuxi: (0; +∞).b) mocemulis tolfasi utolobaa(x–1) 2>0.xpasuxi: (0; 1)∪(1; +∞).g) (x–1)2

d) mocemulis tolfasi utolobaa:2x+3x(2x–3) >0. pasuxi: (– 3 2 ; 0)∪( 3 2 ; +∞).29 a)x 2≥0 utoloba sruldeba nebismieri x-sTvis,x 2 +1b) x2 +1≥0 utoloba sruldeba nebis mi eri x≠0-sTvis,x 2g)(x–5)(x+5)x(x–3)(x+3) ≥0pasuxi: x∈ [–5; –3)∪(0; 3)∪[5; +∞).d)x 2 +25≥0 utoloba tolfasia x(x–3)(x+3)>0 utolobis.x(x 2 –9)pasuxi: (–3;0)∪(3; +∞)30 a) (x–2)(x+2)x(x–3) 2 ≥0pasuxi: [–2; 0)∪[2; 3)∪(3;+ ∞)b) (3x–1)2 (2x–1)(2x+1)≥0 utoloba tolfasiax(x 2 +4)(3x–1) 2 (2x–1)(2x+1)≥0 utolobis, radganxx 2 +4>0 utoloba sruldeba nebismieri x-sTvis.pasuxi: [- 1 2 ; 0)∪{ 1 3 }∪[ 1 2 ; +∞).g) x 2 (1–x)(x+10)>0 utoloba amovxsnaT intervalTameTodiT:pasuxi: (–10; 0)∪(0;1).d)x 2 (x+3)(x+4)–2,5(x–3)(2x–3) ≥0pasuxi: [–4; –3]∪{0}∪( 3 2 ; 3).31 a)x(x–√5 )(x+√5 )≤0, saidanac (x–√5 )(x+√5 )≤0, x≠0x(x 2 +5)pasuxi: [–√5 ; 0)∪(0; √5 ].b) x(x2 –3)(x+1)>0,x(x–1)x(x–√3 )(x+√3 )(x+1)>0.x(x–1)pasuxi: (–√3 ;–1)∪(0;1)∪(√3 ; +∞).g) (x–√10)(x+√10) ≥0x–πpasuxi: [–√10; π)∪[√10; +∞)43

d) x(x–√10)(x+√10)(x+4)(x–3)≥0pasuxi: (–4; –√10]∪[0;3)∪[√10; +∞).32 wylis avzis zomebi aRvniSnoT x, x+5 da x+10-iT. misi moculoba meti undaiyos x + 25 gverdis mqone kubis moculobaze:x(x+5)(x+10)>( x + 2 5,x(x+10)> x2 +10x+25, 8x8+80x>x 2 +10x+25, 7x 2 +70x–25>0, x 1≈–10,35, x 2≈0,345.saidanac miaxloebiTx0,345.virCevT x-is mniSvnelobebs (x 2;+∞) Sualedidan. amrigad, pirobaSi miTiTebulisaxis avzis fuZis mcire x gverdi SeiZleba iyos nebismier ricxvi (0,345; +∞)Sualedidan (miaxloebiT). fuZis meore gverdi da simaRle Sesabamisad gamoiTvleba.pasuxi: x, x+5 , x+10, x∈(0,345;+ ∞).33 Tu konteineris simaRles aRvniSnavT x-iT, maSin misi fuZis gverdebi iqnebax+2 da x+6. pirobis Tanaxmad, kubis formis konteineris wiboa x da x 3 3 utoloba modulis Tvisebebis gamoyenebiT. ganvixiloT oriSemTxveva:Tu x≥0, maSin x>3;Tu x3, anu x3 an x

pasuxi: (–∞; –3)∪(3;+ ∞).|x| geometriulad gamosaxavs sakoordinato wrfis saTavidan im wertilamdemanZils, romlis koordinatia x. mocemul SemTxvevaSi |x|>3, saTanado wertilebi 3erTeulze meti manZiliTaa daSorebuli saTavidan, amitom maTi x koordinatebisTvisvRebulobT:x>3 an x

aviyvanoT kvadratSi:9x 2 –36x+36>x 2 , saidanac 2(x–3)(x - 3 2 )>0, x∈(-∞; 3 2)∪(3; +∞).• amovxsnaT igive utoloba SemTxvevebis ganxilviT. ricxviTi wrfe davyoT samSua ledad da TiToeul maTganSi amovxsnaT utoloba.ZZZ] x2[[[] –(3x–6)>–x ] –(3x–6)>x ] 3x–6>x.\miviRebT x3.\\pasuxi: (-∞; 3 2)∪(3; +∞).mocemuli utolobis amonaxsnTa simravles mogvcems namdvil ricxvTa simravlidan|3x–6|≤|x| utolobis amonaxsnebis gamoricxva. ganvixiloT es ukanaskneliutoloba.vRebulobT: |x|≥3|x–2|, anu M(x)-dan 0-mde manZili (|x|) metia an tolia M-dan 2-isSesabamis wertilamde manZilis gasammagebul sidideze.suraTze isini daStrixulia.darCa (-∞; 3 2)∪(3; +∞).v) |x–3|+|x–5|

pirobiT, rom arSiis farTobi ar iyos fotosuraTis farTobze naklebi da gaormagebulfarTobze meti.moswavleTa yuradReba gavamaxviloT imaze, rom arSiis farTobs ori pirobisdakmayofileba moeTxoveba, TiToeuli piroba Sesabamisi algebruli TanafardobiTaRiwereba.wina masalasTan kavSiris konteqstSi, vimeorebT kvadratuli funqciis yofaqcevas,grafiks da kvadratuli utolobis amoxsnis sqemebs.moswavleTa ZiriTadi aqtivoba gakveTilze dasmuli amocanis maTematikuri modelisagebas ukavSirdeba _ TiToeuli pirobis Sesabamisad, miiReba ori kvadratuliutoloba, romelsac arSiis siganis aRmniSvneli, x cvladi unda akmayofilebdes.maSasadame, veZebT x cvladis yvela im mniSvnelobas, romelic orive utolobas akmayofilebs.saZiebeli simravle miiReba am utolobebis amonaxsnTa simravleebisTanakveTiT. am daskvnamde misvlis Semdeg, moswavleebi advilad pouloben sistemisamonaxsns da ayalibeben sistemis amoxsnis wess.amis Semdeg moswavleebis aqtivobebi dakavSirebulia konkretuli sistemebisamoxsnebis povnasTan. amisTvis SeiZleba gamoviyenoT saxelmZRvanelos TeoriulnawilSi warmodgenili magaliTebi.codnis ganmtkicebis mizniT sasurvelia SevTavazoT sakontrolo kiTxvebi daramdenime amocana, romelTa amoxsna did dros ar moiTxovs, magaliTad, 3, 6 da9-is g.saSinao davalebad SeiZleba SevTavazoT 1-2, 4-5 7-10 amocanebi.codnis ganmtkicebisTvis saWiro muSaoba Semdeg gakveTilze grZeldeba. vxsniTsaxelmZRvaneloSi warmodgenil amocanebs.erTi gakveTili SeiZleba davuTmoT jgufur muSaobas da SevTavazoT moswavleebsamocanebi, romlebic kvlevas, problemis gadawyvetisas arastandartul midgomas,matematikuri modelis Seqmnasa da gamoyenebas gulisxmobs (amocanebi 19, 20,24, 25, 26).miTiTebebi amocanebis amosaxsnelad2 sistemis I utoloba asec Caiwereba (2x–1) 2 ≥0. cxadia, misi amonaxsnTa simravlea(–∞;+∞). amitom sistemis amonaxsnebs warmoadgens II utoloba.3 sistemis I utolobas amonaxsni ara aqvs, sistemasac ara aqvs amonaxsni.4 sistemis I utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSivneloba, amitomsistemis amonaxsnTa simravle emTxveva II utolobis amonaxsnTa simravles.5 (2x–1) 2 ≤0 utolobas akmayofilebs erTaderTi mniSvneloba _ x= 1 2. is II utolobasacakmayofilebs. e. i. sistemis amonaxsnia mxolod x= 1 2 .Z][]\6 mocemuli sistemis tolfasi sistemaa(x–2)(x–6)≥0(x–3)(x+1) ≤0pasuxi: x∈[–1; 2].(x–2)(x–6)(x–3)(x+1)47

7Z][]\(x–4)(x+3) ≤0(x–4)(x+4)≥0(x–4)(x+3)(x–4)(x+4)utolobebis amonaxsnTa simravleebis TanakveTa erTelementiani simravlea _ {4}.11 x 2 +1>0 da x 2 +x+1>0 utolobebs akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba,amitome) sistema tolfasia v) tolfasia4ZZ] x–1≤0] x–2>0[[] x(x–10)>0 sistemis, ] x(x+1,2)≥0 sistemis.\\13 b) mocemulis tolfasi utolobaaZ] 5(x–1,2)(x+5)≥0[] (x+4)(x–1)0[] 5(x–1)(x– 4 \ 5 )≥0pasuxi: (-∞; 4 5 )∪[1; 3 2 )∪ (3 2 ; +∞).axla cxadia, rom am sistemas amonaxsni ara aqvs (sistema araTavsebadia).d) sistemis I utolobas ara aqvs amonaxsni, amitom sistemas ara aqvs amonaxsni.e) sistemis I utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba. amitom sistemisamonaxsni emTxveva II utolobis amonaxsns.14 a) orive utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba (pirvelisD

15 a) mocemulis tolfasi sistemaaZ] (x–100)(x+3)>0[] x(x–140)≤0, saidanac x∈(100; 140].\b) Z ][]\g) Z ][]\d) Z ][]\(x–2,4)(x+1,5)≥0(x–3)(x+2)0(x+3) 2 ≥0.II utolobas akmayofilebs x-is nebismieri mniSvneloba. sistemis amonaxsni emTxvevaI utolobis amonaxsns: (–∞; –2)∪(– 1 2 ; +∞).16 a) Z ][b) Z ][]\]\2x+3≥0x 2 –4≥0,3x 2 –10x+3>04x–x 2 ≥0,x∈[2; +∞).saidanac Z ] 3(x–3)(x– 1[3 )>0]\ x(x–4)≤0, x∈[0; 1 3)∪(3; 4].g) Z ][]\Zx–4≥0] x≥49–(x–3) 2 >0[] x(x–6)0 (x–3) 2 >0.II utolobas akmayofilebs nebismieri x, garda x=3, miviReT,x∈[1;3)∪(3;4,5].v) Z ] 9–4x 2 ≥0[] x≥0, saidanac x∈[0; 1,5].\z) Z Z] x≥0] x≥0[[]]\√x ≠3\x≠9.pasuxi: [0;9)∪(9;+∞).T) Z Z] x+3≥0] x≥–3[[]]\√x+3≠5\x+3≠25.pasuxi: [–3; 22)∪(22; +∞).aRsaniSnavia, rom am savarjiSoebis amoxsnis gzebi arastandartulia da moiTxovsmoswavlisgan naswavli masalis kombinirebulad gamoyenebis unars.49

17 ormagi utoloba tolfasia sistemis:] x 2 –9x≤0 b) Z ] x 2 –9

Tu 0≤–a

es ormagi utoloba tolfasiaZ] 4x 2 –16x≥0[] 3x 2 –16x+1≤0 sistemis, saidanac miaxloebiT x∈[4; 5,25].\21-23, 25, 26 amocanebSi damrgvalebis wesebis garda viTvaliswinebT _ amocanispirobebSi metobiTaa damrgvaleba gamarTlebuli, Tu naklebobiT.24 a) gavixsenoT: Tu √a 2 =a, maSin a≥0. mocemul gantolebas akmayofilebs x-isnebismieri mniSvneloba, romlisTvisac x 2 –9≥0, x∈(–∞; –3]∪[3; +∞).b) –x 2 +7x–6≥0, x 2 –7x+6≤0, saidanac x∈[1;6].25 a) vTqvaT, turistebi dRiurad xkm-is gavlas apirebdnen. amocanis maTematikurimodeli aseTiaZ] 6(x+5)>90[] 8(x–5)

sinjvis xerxi. cxrilSi CavweroT yvela SesaZlo ricxvi da SevarCioT is, romelicamocanis pirobas akmayofilebsxy yx namravli jami15 51 765 6626 62 1612 8837 73 2701 11048 84 4032 13259 95 5605 154pasuxi: 26.b) vTqvaT, saZiebeli orniSna ricxvia xy=10x+y, sadac y=x–3, anu xy=11x–3. misimomdevno ricxvia 11x–2. pirobiT,Z][]\(11x–3)(11x–2)>275011x–3+11x–2

11 9 99 √20212 10 120 √24413 11 143 √29014 12 168 √34015 13 195 √39416 14 224sinjva SevwyviteT, rogorc ki farTobi gaxda 224sm 2 . SeiZleba sinjvanaxtomebiTac ganvaxorcieloT. amocanis pirobebs akmayofilebs erTi SemTxveva,roca gverdebia 15 sm da 13sm.vip3 mricxveli unda iyos sruli kvadrati:(2x+3) 2 an (2x–3) 2 , e. i. a=12, an a=–12.4 diskriminanti D=a 2 +4>0. amrigad, a-s nebismieri mniSvnelobisTvis samwevrsaqvs ori nuli.5 cxadia, y = x2 – 4funqciis gansazRvris ares x=2 wertili ar ekuTvnis.x–2SevkvecoT (x–2)-ze, miviRebT: y=x+2, x≠2. es aris wrfe, romlidanac `amogdebulia~(2; 4) wertili.6 x 2 +x+10>0 nebismieri x-isTvis, amitom nebismieri x amonaxsns warmoadgens.7 magaliTad, a) (x+3)(x–5)>0, b) x(x–6)≤0,g)x– 6≤0, d)xxx– 6 ≤0, e) 1x(x– 6)

3 pirobiT, parabolis Stoebi qveviT yofila mimarTuli _ a0 utolobis amonaxsnTa simravlidan. vRebulobT x>3, x∈(3;+∞).b) |x–3|>0 nebismieri x≠3-isTvis. amrigad, x+5>0 utolobis amonaxsnebidan undagamovricxoT x=3. miviRebT simravles (–5; 3)∪(3; +∞).g) radgan |x 2 +2x–3|≥0 nebismieri x-sTvis, amitom, mocemuli utolobis amonaxsnebsmiviRebT x 2 +2x–3 samwevris nulebisa da x+4≤0 utolobis amonaxsnTa simravlisgaerTianebiT. samwevris nulebia –3 da 1, x+4≤0 utolobis amoxsniT vRebulobT:x∈(–∞; –4]. amrigad, x∈(–∞;–4]∪{–3; 1}.d) |x 2 –9|>0 nebismieri x≠3 da x≠–3-isTvis. amrigad, vxsniT utolobas x–10

12 pirobiT,Z][]\a 2 +a>02a 2 –7a–4

SearCieT swori pasuxi:sakontrolo wera1. cnobilia, rom a(x 2 –4)(x+3)≥0 utolobis amonaxsnTa simravlea(–∞;–3]∪[–2;2]. maSin1) a>0 2) a=0 3) a0 utolobaTa sistemis amonaxsnTa simravlea1) [ 1 2 ; +∞) 2) (–∞; 0)∪(4;+ ∞) da x=1 23) (–∞; 0)∪(4; +∞) 4) (0;4).5. Z ][]\x 2 +x≤0x 2 –ax≤0 sistemas aqvs erTaderTi amonaxsni1) Tu a0 4) Tu a≥0.6. y=√x 2 –9 +√4–x 2 funqciis gansazRvris area1) (–3;–2)∪(2;3) 2) ∅3) (–∞;–3)∪(3;+∞) 4) (–2;2).amoxseniT amocanebi:7. amoxseniT utoloba:x3x+2 < x–1 –1 .8. vTqvaT, kvadratis ori mopirdapire gverdidan TiToeulis sigrZe 2 sm-iTgavzardeT, danarCeni ori gverdidan TiToeulis sigrZe _ 1 sm-iT SevamcireT.miRebuli marTkuTxedis farTobi mocemuli kvadratis farTobze meti aRmoCnda.ipoveT kvadratis gverdis SesaZlo umciresi mTeli mniSvneloba.pasuxebi da miTiTebebi:1. a

7. mocemuli utolobis tolfasi utolobaa:3x 2 +2x+2(3x+2)(x–1) < 0,x 2 +2x+2>0 nebismieri x-isTvis, miviReT(3x+2)(x–1)x 2 , saidanac x>2. x-is umciresi mTeli mniSvnelobaa 3.pasuxi: x=3.Sefasebis sqema:testuris tipis amocanebidan (1-6) TiToeulis swori pasuxi Sefasdes 1 quliT.me-7 da me-8 amocanebidan TiToeulis srulyofili amoxsna Sefasdes 2 quliT, TumcaSeiZleba am amocanebis nawilobrivi Sefasebac.Tu magaliTad, me-7 amocanis amoxsnisas moswavlem utolobis orive mxaregaamravla (3x+2)(x–1)-ze da amiT gadavida kvadratuli utolobis amoxsnaze,maSin Semdgomi swori msjeloba SeiZleba Sefasdes 0,5 quliT. Tu moswavlemgaerTmniSvnelianebiT miRebuli wiladuri gamosaxulebis mniSvnelis nulebicSeinarCuna da sxva Secdoma ar mosvlia, SeiZleba SevafasoT 1,5 quliT.$1.3. iracionaluri gantolebis amoxsnamizani. problemis gadawyvetisas iracionaluri gantolebis Sedgenisa da amoxsnisCvevebis daufleba; iracionaluri gantolebis amoxsnisas tolfasi gantolebismiRebis gaazreba, gareSe fesvis aRmoCenis unaris ganviTareba, koordinatTa meTodisgamoyeneba.winapirobebi. sibrtyeze koordinatebisa da or wertils Soris manZilis codna;samkuTxedis utolobis, wrfis gantolebis, wrfis RerZebTan gadakveTis povniscodna; gantolebaTa tolfasobis codna.moswavleTa motivaciis konteqstSi gakveTili amocanis dasmiT iwyeba. am amocanisamoxsnas mivyavarT iseTi gantolebis amoxsnis Ziebaze, romelSic x cvladikvadratuli fesvis qveSaa.moswavleTa aqtivobebi dakavSirebulia sxvadasxva tipis iracionaluri gantolebebisamoxsnebTan, zogi gantolebis amoxsnisas warmoiSveba gareSe fesvi, yuradRebasvamaxvilebT gareSe fesvis warmoSobis mizezebis axsnaze _ kvadratSi ayvanisasSeiZleba ar miviRoT mocemuli gantolebis tolfasi gantoleba. am faqtisilustracia SeiZleba martiv magaliTze _ x–2=0, x 2 =4, am ukanasknels aqvs orifesvi _ x=2 da x=–2, maTgan pirveli gantolebis (x=2 gantolebis) fesvi mxolodx=2-ia. martivi magaliTis ganxilviT, SeiZleba iseTi magaliTis moyvanac, roca gareSefesvi ar warmoiSveba _ √x = √6 gantoleba misi orive mxaris kvadratSi ayvaniTmiRebuli x=6 gantolebis tolfasia. aqve gavamaxviloT yuradReba imaze, rom kvadratSiayvanisas miRebuli gantoleba mocemuli gantolebis Sedegia _ mocemuli58

gantolebis yvela fesvi miRebulis fesvebia da mocemuli gantolebis fesvebi amfesvebSi unda veZioT, amitom sakmarisia CavataroT Semowmeba da aRmovaCinoT gareSefesvebi, Tu isini arsebobs.miTiTebebi:2 SeiZleba amovxsnaT gantoleba da Semdeg SevarCioT gareSe fesvi:x=-2 akmayofilebs mocemul gantolebas, _ is fesvia.x=2 mocemul gantolebas ar akmayofilebs _ is gareSe fesvia.8 g) orive mxaris kvadratSi ayvaniT miviRebT x 2 -7x+9=0 kvadratul gantolebas,romlis fesvebia x 1=7+ √13 7– √13, x 2 2= 2. cxadia,7+ √13>3 da amitom mocemuli gantolebis2marjvena mxare uaryofiTia, x 1gareSe fesvia.7– √13pasuxi: 2.d) kvadratSi ayvanis Semdeg miRebuli kvadratuli gantolebis fesvebia:x 1=15+ 8 √97 da x 2=15– 8 √97 . x 2

e) dasaSveb mniSvnelobaTa simravles gansazRvravs sistema:Z][]\2x–6≥03–x≥0, x=3, romelic gantolebas ar akmayofilebs.v) dasaSveb mniSvnelobaTa simravlea [4; +∞). x-is am mniSvnelobebisTvis √x ≥2,√ x+5 ≥3; marcxena mxare ki naklebia 5-ze.am savarjiSoebze muSaobisas moswvales uviTardeba kvlevisa da analizis unari,alternatiuli gzebidan racionaluri gzis moZiebis unari. garkveulwilad, am tipisamocanebiT jamdeba mravali sakiTxis codna _ masSi integrirebulia algebris,analizisa da geometriis sakiTxebi.12 a) mocemuli gantolebis tolfasi gantolebaa:|x+4|=(x–4)(x+4),saidanacZ][]\x+4≥0x+4=(x-4)(x+4)anZ][]\x+4

MA+MB=5√2 , TviT AB monakveTis sigrZec _ AB=5√2 , amrigad M∈AB.Tu AB wrfis gantolebaa y=kx+b, maSinZ][]\2=k⋅0+b–3=–5k+b, saidanac b=2, k=1.y=x+2 wrfis abscisaTa RerZTan gadakveTis wertilia (–2;0). pasuxi: x=–2.II xerxi. aviyvanoT mocemuli gantoleba kvadratSi: √x 2 +10x+34 2 =(5√2 –√x 2 +4) 2 .gamartivebis Semdeg gantoleba CavweroT ase: √ 2(x 2 +4) =2–x,misi kvadratSi ayvaniT miviRebT: x=–2.b) mocemul tolobas SeiZleba aseTi geometriuli warmodgena davukavSiroT:I da III sakoordinato kuTxeebis biseqtrisaze (y=x wrfeze) mdebare M wertilidanA(1;6) da B(4;2) wertilebamde manZilebis jami 5-ia. vipovoT yvela aseTi wertili.Tu AB wrfis gantolebaa y=kx+b, maSinZ][]\6=k+b2=4k+b, saidanac k= – 4 3 , b=22 3 .radgan AB=5, MA+MB=5, amitom M aris AB da y=x wrfeebis gadakveTis wertili:Z][]\y=x,y= – 4 3 x+22 3 , saidanac x=22 7 .II xerxi. mocemuli gantoleba aviyvanoT kvadratSi.√2x 2 –14x+37 2 =(5–√2x 2 –12x+20 ) 2 ,5√2x 2 –12x+20 =x+4,kvlav kvadratSi ayvaniT miiReba: (7x–22) 2 =0, x= 22 7 .x-is es mniSvneloba mocemuli gantolebis fesvia.g) utoloba ase gadavweroT:√(x–3) 2 +1+√(x–2) 2 +4 ≤√10 .am utolobas SeiZleba aseTi geometriuli warmodgena davukavSiroT: x RerZzemdebare M(x;0) wertilidan A(3;1) da B(2;–2) wertilebamde manZilebis jami ar aRemateba√10 -s. MA+M≤AB, vpoulobT AB monakveTis sigrZes _ AB=√10 . am ori pirobidangamomdinareobs: MA+MB≤√10 . maSin M Zevs AB monakveTze _ M aris AB wrfisa dax RerZis gadakveTis wertili. AB wrfis gantolebaa y=3x-8. es wrfe x RerZs kveTswertilSi, romlis koordinatebia:y=0, x= 8 3 .II xerxi. √(x–2) 2 +4≤√10 –√(x–3) 2 +1 , (*)fesvqveSa gamosaxulebebi nebismieri x-isTvis dadebiTia. ganvixilavT x-is immniSvnelobebs, romlebisTvisac √10 ≥ √x 2 –6x+10, anu x 2 –6x≤0, x∈[0;6].(*) utolobis kvadratSi ayvaniT miviRebTx 2 –4x+8≤10–2√10(x 2 –6x+10)√10(x 2 –6x+10)≤6–x, am utolobis orive mxare arauaryofiTia (gavixsenoT, rom ganixilebax∈[0;6]). kvadratSi ayvaniT miviRebT: (3x-8) 2 ≤0saidanac x= 8 3 . cxadia, 8 3 ∈[0;6].pasuxi: 8 3 .61

17 I xerxi. mocemuli gantoleba ase gadavweroT:√(x–1) 2 +4+√(x–8) 2 +25≤7√2 . movZebnoT abscisaTaRerZze iseTi A(x; 0) wertili, romlidanac B(1; ±2)da C(8; ±5) wertilebamde manZilebis jamia 7√2 . Bda C wertilebis ordinatebis niSani calsaxad araagansazRvruli, radgan CvenTvis maTi kvadratebiacnobili. Tumca, (1; 2) da (1; –2), agreTve (8; 5) da(8; –5) wertilebi OX RerZis mimarT simetriulia daamitom am RerZis nebismieri wertilidan erTi daimave manZilebiTaa daSorebuli.ganvixiloT B(1; 2) da C(8;–5) SemTxveva; maSinAB=√(x–1) 2 +4, AC=√(x–8) 2 +25, BC=√7 2 +7 2 =7√2 .pirobiT, AB+AC=BC, rac niSnavs, rom A wertiliBC monakveTs ekuTvnis. vTqvaT,y=kx+baris BC wrfis gantoleba.maSin Z ] 2=k+b[] –5=8k+b, saidanac k=–1, b=3.\BC wrfis gantolebaa y=–x+3.am wrfis OX RerZTan gadakveTis wertilia (3; 0). maSasadame, x=3.II xerxi.√ x 2 –2x+5 +√x 2 –16x+89 =7√2 .es gantoleba ase gadavweroT:√x 2 –16x+89 =7√2 –√ x 2 –2x+5 .tolobis orive mxare aviyvanoT kvadratSi.x 2 –16x+89=98–14⋅√2 ⋅√ x 2 –2x+5 +x 2 –2x+5–14x–14=–14 √ 2x 2 –4x+10x+1=√ 2x 2 –4x+10 .Tu x+1³0, maSinx 2 +2x+1=2x 2 –4x+10x 2 –6x+9=0(x–3) 2 =0x=3cvladis es mniSvneloba akmayofilebs yvela pirobas.pasuxi: x=3.62