Musica Mistica Matematica - Liceo Scientifico Statale "Giuseppe ...

Appendice 4
GRUPPI DI TRASFORMAZIONI NEL PIANO
Si dice “trasformazione” di un qualsiasi insieme I una biiezione dell‟insieme in se stesso.
Una trasformazione nel piano è una qualunque corrispondenza biunivoca tra punti del piano.
Per i nostri scopi possiamo limitarci a considerare le trasformazioni lineari, descritte da sistemi di
equazioni di primo grado.
Consideriamo il sistema di equazioni:
(1)
X
ax by p
Y cx dy q
In virtù delle equazioni (1), ad ogni punto P (x; y) del piano Oxy corrisponde un punto
P‟ (X; Y) del piano. Eventuali punti lasciati invariati dalle equazioni (1) sono detti “punti uniti”
della trasformazione.
Se consideriamo nel piano Oxy un certo insieme di punti A, le (1) definiranno un altro insieme di
punti A‟ del piano.
La trasformazione (1) è interamente determinata dai coefficienti a, b, c, d.
La matrice A:
a
c
b
d
è detta matrice della trasformazione.
Il numero det A = ad - bc si chiama determinante della matrice.
Queste trasformazioni lineari sono dette affinità e le equazioni (1) sono dette equazioni delle
affinità.
Valgono i seguenti teoremi:
1° ) In un’ affinità ad una retta corrisponde una retta.
2° ) In un’affinità a rette parallele corrispondono rette parallele.
3° ) In un’affinità a rette incidenti corrispondono rette incidenti.
4° ) In un’affinità è costante il rapporto delle aree corrispondenti, tale rapporto si chiama rapporto
di affinità.
Un’affinità di equazioni (1) è detta:
positiva o diretta se det A 0
negativa o inversa se det A 0
Si può osservare, su grafici, che le affinità dirette conservano il verso delle figure, mentre le affinità
inverse non lo conservano.
GRUPPO DELLE AFFINITA’
Le affinità costituiscono un gruppo con l‟operazione detta “prodotto di affinità” così definita:
Siano date due affinità 1 e 2 , rispettivamente, di equazioni:
(1)
X
a1x
b1
y p1
Y
c1x
d1y
q1
X
'
a2X
b2Y
p2
Y
'
c2X
d2Y
q2
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