Lezione 8

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ANOVA (Analisi della Varianza ) Può essere ANOVA univariata unifattoriale (One-way Anova): considera gli effetti di un parametro controllato sul prodotto (processo) ANOVA multifattoriale si cerca di capire come diversi fattori agiscono sulla variabile considerata e interagiscono tra di loro Two-way Anova: vi sono due parametri controllati Three-way Anova: ………c.s. ONE WAY ANOVA Se tutti i campioni provengono da popolazioni con la stessa media (ossia, se é vera l’ipotesi nulla), esistono due modi per stimare la varianza della variabile: Il primo modo é quello di utilizzare le varianze calcolate nei singoli campioni e calcolarne la media pesata per i diversi gradi di libertà. Questa varianza misura la dispersione delle singole osservazioni rispetto alla media del gruppo dal quale le osservazioni provengono (e quindi non dipende dall’eventuale differenza tra le popolazioni). Tale stima viene si chiama varianza entro gruppi, o varianza residua, o varianza dell’errore. Noi la chiameremo MSE (Mean Square Error). La stima MSE, è corretta nel caso sia vera l’ipotesi nulla, e anche nel caso sia vera l’ipotesi alternativa 32
ONE WAY ANOVA Il secondo modo i basa sulla dispersione delle medie osservate nei diversi campioni. Abbiamo infatti visto che le medie campionarie estratte da una popolazione con varianza σ 2 si distribuiscono con una varianza pari a σ 2 /n (n e’ il numero di osservazioni nel singolo campione). Abbiamo a disposizione un numero k di medie campionarie dalle quali possiamo calcolare direttamente una stima della varianza delle medie (casa che non potevo fare con un campione solo), σ 2 (y-barra). Se appunto é vera l’ipotesi nulla, questa varianza delle medie stimata dalle medie nei diversi campioni é una stima di σ 2 /n chiamata varianza tra gruppi, o MSB ONE WAY ANOVA Se é vera l’ipotesi nulla, MSE e MSB stimano la stessa cosa (σ 2 ), e quindi i rapporto MSB/MSE tende ad essere 1 e ad essere distribuito come la distribuzione teorica Fisher (che é appunto il rapporto tra due varianze). Se invece é vera l’ipotesi alternativa, (almeno una media é diversa dalle altre), MSE stima ancora σ 2 , ma questo non é più vero per MSB. Infatti MSE é sempre una varianza entro gruppi, anche se le medie dei gruppi sono diverse. MSB invece utilizza la varianza delle medie campionarie calcolata dai dati che, se non é vera l’ipotesi nulla, tende ad essere maggiore di σ 2 /n. Quindi, se é vera H1, MSB/MSE tende ad essere maggiore di 1, e posso testare la significatività di questo rapporto con il test di Fisher. 33
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