Lezione 8

Lezione 8
Misure per
Produzione ed Automazione
Industriale
Seconda Università di Napoli
Ing. Daniele Gallo
Analisi dei risultati di misura
• Inferenza statistica
– Come dedurre dai parametri di un campione
informazioni su sui parametri dell’intera
distribuzione
• Decisioni su basi statistiche
– Come prendere decisioni oggettive su processi
influenzati da eventi aleatori ottimizzando il livello di
confidenza e l’onere computazionale
• Collaudo Campionario
– Come determinare la numerosità del campione e i
criteri di accettazione/rifiuto per il collaudo di
prodotti e processi
1

Analisi dei risultati di misura
• Analisi della media (ANOM)
– Come attenuare gli effetti delle cause di variabilità
aleatoria del processo di misura volto a
determinare sperimentalmente gli effetti di uno o
più parametri su una caratteristica del sistema
• Analisi della varianza (ANOVA)
–Per discriminare gli effetti di più variabili su una
caratteristica, cercare le eventuali correlazioni,
discriminare le cause speciali rispetto alla
variabilità naturale
Considerazioni preliminari
• I processi di misurazione, sono finalizzati a
prendere delle decisioni
• Problema: ogni decisione è sempre affetta
da un grado di imponderabilità!
• La complessità dei processi industriali è
elevata, per cui i modelli deterministici delle
regolazioni causa-effetto sono inadeguati.
• si assumono decisioni su basi statistiche
2

Considerazioni preliminari
• Aumentare il numero di prove eseguite
aumenta la significatività dei risultati
– Si riduce l’impatto del “rumore” sovrapposto
ai dati di misura, ovvero delle variazioni
aleatorie
• Aumentare il numero di prove implica
l’aumento dei costi di esecuzione
– Ottimizzazione del numero di prove
mediante un opportuno “collaudo
campionario”
Inferenza statistica
L’analisi dell’intera
popolazione di prova è
normalmente troppo
onerosa in termini
di costo o di tempi.
μ σ
CAMPIONE
x S
L’unica alternativa è quella di analizzare un limitato
sottinsieme e dall’analisi dei parametri del campione
(es. la media x e la varianza, S2 ) dedurre i parametri
dell’intera popolazione (la media μ e la varianza, σ2 POPOLAZIONE
)
3

Inferenza statistica
È chiaro che quanto più
numeroso risulta il
campione tanto più
precise saranno le
informazioni che si
otterranno rispetto
all’intera popolazione
→ μ
x S → σ
CAMPIONE 1
POPOLAZIONE
Se il campione si estende fino a coprire l’intera
popolazione i parametri calcolati (la media e la
varianza) sarebbero quelli corretti.
Inferenza statistica
CAMPIONE n
CAMPIONE 2
• Secondo il Teorema del Limite Centrale, la media
campionaria, x, è variabile aleatoria distribuita
secondo una gaussiana con media μ e varianza
σ 2 /n con μ e σ 2 media e varianza dell’intera
popolazione
• per il calcolo delle probabilità relative a x a possiamo
far riferimento alla standardizzazione:
z
=
μ
n
• Per n molto grande, z è gaussiana anche usando la
varianza campionaria, altrimenti è una T Student.
x
σ /
−
4

Intervallo di Confidenza
x − μ
La probabilità che z =
σ / n
cada tra –z(α/2) e +z(α/2) è uguale a (1- α) dove
z(α/2) indica il valore della variabile normale
standardizzata il cui integrale vale α/2:
⎡ ⎛ α ⎞ x − μ ⎛ α ⎞⎤
P⎢−
z⎜
⎟〈
〈 z⎜
⎟⎥
= 1−
α
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ σ / n ⎝ 2 ⎠⎥⎦
⎡ ⎛ α ⎞ σ ⎛ α ⎞ σ ⎤
P⎢x
− z⎜
⎟ 〈 μ〈
x + z⎜
⎟ ⎥ = 1−
α
⎣ ⎝ 2 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ n ⎦
Si ha quindi
Intervallo di Confidenza
⎡ ⎛ α ⎞ σ ⎛ α ⎞ σ ⎤
P⎢x
− z⎜
⎟ 〈 μ〈
x + z⎜
⎟ ⎥ = 1−
α
⎣ ⎝ 2 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ n ⎦
α/2
( α 2 )
− z
z
b α
( 2 )
α/2
5

Intervallo di Confidenza
⎡ ⎛ α ⎞ σ
⎢x
− z⎜
⎟
⎣ ⎝ 2 ⎠ n
⎛ α ⎞ σ ⎤
x + z⎜
⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ n ⎦
Questo intervallo è detto intervallo di
confidenza al [100•(1-α)]%
Probabilità dell’intervallo di contenere
la media della popolazione è (1-α).
;
In pratica α rappresenta la percentuale di
risultati esterni all’intervallo di confidenza.
Intervallo di Confidenza
Questa probabilità è chiamata Livello Di Confidenza e
generalmente è scelto tra 0,95 e 0,99.
Livello di Limiti di α z(α/2)
confidenza confidenza
68.27 % x ± σ/ n 0.317 1.000
90.00 % x ± 1.645 σ/ n 0.100 1.645
95.00 % x ± 1.96 σ/ n 0.050 1.960
95.45 % x ± 2 σ/ n 0.045 2.000
99.00 % x ± 2.58 σ/ n 0.010 2.580
99.73 % x ± 3 σ/ n 0.003 3.000
6

Esempio
Per analizzare una produzione di pelati sono stati
estratti e pesati 1000 barattoli e si sono ottenuti
x = 380g
Applicando
2
S =
100g
⎡ ⎛ α ⎞ σ ⎛ α ⎞ σ ⎤
P ⎢x
− z⎜
⎟ 〈 μ 〈 x + z⎜
⎟ ⎥ = 1 − α
⎣ ⎝ 2 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ n ⎦
Se ne può dedurre per la media μ di prodotto:
⎛ α ⎞ 10
⎛ α ⎞ 10
P[
380 − z⎜
⎟ 〈 μ〈
380 + z⎜
⎟ ] = 1−
α
⎝ 2 ⎠ 1000 ⎝ 2 ⎠ 1000
Esempio
2 = ⎟
⎛ α ⎞
z⎜
⎝ ⎠
2
1.
96
n > 100 ⇒ S
Scegliendo l’intervallo di confidenza al 95%
(1-α=0.95)
Allora
1.
96 1.
96
P[
380 − 〈 μ〈
380 + ] =
10 10
0.
95
Ovvero la media di produzione con una
probabilità del 95% è compresa nell’intervallo
[
379.
38
;
380.
62]
≈ σ
7

Varianza campionaria
Considerando la distribuzione della varianza campionaria,
è possibile provare teoricamente che la variabile
2 ( n − 1)
s
2
J = → χ
2
n
σ
segue una distribuzione del chi-quadrato con (n-1)
gradi di liberà quando la variabile analizzata segue a
sua volta una distribuzione normale e le osservazioni
sono indipendenti.
Questo fatto ci permette di determinare per esempio gli
intervalli di confidenza di una varianza, oppure di
testare se la varianza della popolazione dalla quale ho
estratto il campione è uguale o diversa ad una certa
varianza data
Varianza campionaria
In altre parole, se per esempio,
• estraessi da una popolazione 1000 campioni di n = 10
individui ciascuno
• misurassi in ciascun individuo una variabile continua che
possiede una distribuzione gaussiana
• calcolassi la varianza campionaria s 2 in ciascuno di questi
campioni
• moltiplicassi ognuna delle 1000 varianze per 9 e dividessi
tale prodotto per la varianza della popolazione che
assumo essere nota e pari a σ 2 , ottenendo così 1000
valori della variabile J
La distribuzione di frequenza di questi 1000 valori finali della
variabile J tenderebbe a seguire (seguirebbe, se invece di
1000 campioni analizzassi infiniti campioni) una distribuzione
del chi-quadrato con (n-1) gradi di libertà
−1
8

Test di Fisher
Serve a confrontare le varianze, s1 2 es 2 2 , di due
popolazioni gradi di libertà n 1 e n 2.
Se le due varianze che consideriamo sono
calcolate su due campioni che provengono dalla
stessa popolazione, queste stanno stimando la
stessa varianza σ 2 (solitamente ignota) e il
rapporto delle due varianze campionarie è dato da
F
=
s
s
2
1
2
2
=
χ
σ
( n − )
Test di Fisher
2
( n2
−1)
χn
1 ( 2 1)
1−
n −
=
2 2 2
σ χ ( n −1)
2
n1
−1
2
1 1 χn2
−1
n2
−1
1
La figura di merito, F, si confronta con la
distribuzione di Fisher con n 1 e n 2 gradi di libertà
con livello di significatività α trovato in tabella
2
s
F =
≤ Fα
s
1
2
2
, n1,
n2
Un valore inferiore al livello critico conferma
l’ipotesi di provenienza dalla stessa popolazione
9

Decisioni su basi statistiche
Prendere decisioni oggettive su processi influenzati da
eventi aleatori tenendo in conto la probabilità di sbagliare.
Test delle ipotesi
– Si impostano le ipotesi a confronto
– Si determina il rischio di sbagliare
– Si definisce il criterio di decisione
– Si gestisce la probabilità di accettare una
decisione sbagliata
– Si calcola la numerosità del campione
– Si eseguono le prove e si decide
Esempi di test delle ipotesi
• Test di Significatività
• Test del χ 2
• Test di Fisher
• …
10

Impostazione delle ipotesi
• Impostare le ipotesi vuol dire definire le
popolazioni da mettere a confronto per
determinare se esiste una differenza
significativa fra di esse
• tipicamente si cercano differenze dei parametri
(media o varianza) di due campioni
– Ipotesi nulla (H0 ): non c’è differenza fra i parametri
dei due campioni (tipicamente è l’ipotesi che si
vuole verificare)
– Ipotesi alternativa (H1 ): qualsiasi ipotesi diversa
da quella nulla (c’è differenza fra i parametri)
Impostazione delle ipotesi
•Esempio:
– Si vuole determinare se esiste una
variazione di un processo produttivo
(es., la quantità di rifiuti prodotti) tra
due mesi diversi:
• Ipotesi nulla: la diversità non esiste
• Ipotesi alternativa: la diversità esiste
11

Ipotesi bilaterali
– H 0 : Le medie e le varianze delle popolazioni
sono le stesse
– H 1 : Le medie e le varianze delle popolazioni
NON sono le stesse
non interessa conoscere se una media/varianza è
più grande dell’altra, ma solo se sono diverse. I
test di questo tipo si chiamano a due code (o
bilaterali, o non direzionali)
Ipotesi unilaterali
–H 0 : Le medie delle popolazioni sono le
stesse
–H 1 : La media della popolazione 1 è
maggiore/minore della media della
popolazione 2
Se interessa dare un peso maggiore ad una
”direzione” del test.
12

Esempio: confronto con valore
storico
–H 0 : La media μ 0 è uguale a R 0
–H 1 : La media μ 0 è maggiore/minore di R 0
Se l’interesse è di determinare la
variazione rispetto ad un valore target
specificato, ad esempio un valore medio
ottenuto da analisi storiche.
Il rischio di sbagliare
A causa della natura aleatoria di ogni processo,
ogni decisione ha una probabilità di essere
sbagliata:
– è possibile rifiutare l’ipotesi H 0 quando essa
è vera, con una probabilità di errore pari a α
– è possibile non rifiutare l’ipotesi H 0, quando
essa è falsa con probabilità di errore pari a β
13

Il rischio di sbagliare
Decisione
statistica
ACCETTO H 0
RIFIUTO
H 0
H 0 VERA
Decisione
corretta al (1-α)%
errore
I TIPO
α
Situazione reale
Il rischio di sbagliare
H 0 FALSA
Errore
II TIPO
β
Decisione
corretta al
(1- β)%
• Il rischio α è fissato a priori e determina il
criterio di confronto rispetto a cui prendere la
decisione. (1-α è il livello di significatività del
test)
• Il rischio β è poi determinato a valle del criterio di
decisione. (1-β èdetta potenza del test)
• I due errori NON si possono commettere
contemporaneamente, perché si riferiscono a
ipotesi mutuamente esclusive
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Il rischio di sbagliare
• Più è alto 1- α, maggiore è la probabilità
che, se è vera l’ipotesi nulla, la decisione
sia corretta, ovvero è minore la
probabilità che essa venga rigettata
• α deve essere sufficientemente piccolo
in modo che, se rigetto l’ipotesi nulla, ciò
sia dovuto al fatto che nella realtà è
molto probabile l’ipotesi alternativa.
Il rischio di sbagliare
• β, invece, indica la probabilità che la scelta
dell’ipotesi nulla dipenda da un evento
favorevole che però appartiene ad una
situazione diversa da quella descritta
dall’ipotesi nulla.
• Quanto più è piccolo β tanto più il test ci tutela
da tali occorrenze
• Es. le distribuzioni da cui prelevo i due
campioni sono diverse ma i risultati della
misurazione sono tali da far ritenere che
invece esse siano identiche
15

Il criterio di decisione
Definite le ipotesi e il rischio associato si
deve definire il criterio di decisione, ovvero
una procedura che mi permetta di giungere
ad una decisione:
1. Definire una figura di merito
2. Scegliere la statistica corrispondente
3. Confrontare il valore sperimentale della
figura di merito con la statistica teorica
Il criterio di decisione
• In altre parole, la natura statistica della
nostra decisione deriva dal fatto che ciò che
posso osservare è solo un campione
limitato di n elementi prelevati da una
distribuzione, sul quale basare la decisione.
• Esempio: la media campionaria è variabile
aleatoria distribuita secondo una gaussiana
con media μ e varianza σ 2 /n
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Fissato il rischio α (di sbagliare nel rifiutare H 0 )
α/2
Definizione del Criterio Formale di
Decisione
a b
α/2
Per la distribuzione normale:
⎧F0
( a)
= α / 2
⎨
⎩1
− F0
( b)
= α / 2
per cui a – b “Regione di accettazione”: A ≡ { [ a,
b]
}
{ ] − ∞,
a [ U]
, b,
+∞[
} = B “Regione di rifiuto”
In questo caso il test è bilaterale
Definizione del Criterio Formale di
Decisione
Test è unilaterale:
α corrisponde ad un’unica regione di rifiuto, ad
una delle due estremità dell’intervallo possibile;
α
−
z ( α )
17

Esempio
• Supponiamo che la media storica della
produzione di rifiuti sia μ 0 e la deviazione
standard σ 0 .
• Vogliamo verificare se la modifica di una
parte del processo produttivo riduce la
produzione di rifiuti giornaliera. Posso a
tal fine misurare la produzione per n
giorni e farne la media, μ
– Figura di merito: media della produzione
di n giorni
Esempio
• Utilizzando la variabile standardizzata
z
=
μ −
σ
0
• Fissato il rischio di sbagliare (es α=5%) calcolo
la regione di accettazione
⎡ ⎛ α ⎞ σ 0 ⎛ α ⎞ σ 0 ⎤
⎢μ0
− z⎜
⎟ ; μ0
+ z⎜
⎟ ⎥
⎣ ⎝ 2 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ n ⎦
• Se μ appartiene alla regione, la media di
produzione non è cambiata con un livello di
confidenza del (1-α)%
/
μ
0
n
18

Esempio
• La verifica si può effettuare anche confrontando
il valore di soglia percentile e cioè se
μ − μ 0
σ / n
0
≤
z
⎛
⎜
⎝
α
2
la media di produzione non è cambiata con un
livello di confidenza del (1-α)%
Esempio
• Volendo effettuare un test unilaterale
(es. la produzione è aumentata) deve essere
considerato il nuovo valore di soglia e il nuovo criterio
d’accettazione diventa
Ovvero
⎡
μ
∈ ⎢μ0
− z
⎣
μ −
σ /
0
μ
0
n
≥
− z
la media di produzione è aumentata con un livello di
confidenza del (1-α)%
σ
⎞
⎟
⎠
0 ( α ) ; + ∞⎢
n ⎣
( α )
⎡
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GESTIONE DELLA PROBABILITA’ DI ACCETTARE
UNA DECISIONE FALSA
• Se la figura di merito cade nella regione
d’accettazione, non possiamo escludere che
ciò sia dovuto ad un’occorrenza favorevole
proveniente da una situazione sfavorevole:
– Esempio: la produzione di rifiuti è effettivamente
cambiata (distanza δ), ma non me ne accorgo
perché μ è affetta da variabilità aleatoria che la
porta all’interno della regione di accettazione
GESTIONE DELLA PROBABILITA’ DI ACCETTARE
UNA DECISIONE FALSA
a b
Se la media si è spostata da μ 0 a μ 1
(a parità di σ) esiste una aliquota di valori
che ha probabilità β di finire
nella regione di accettazione.
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GESTIONE DELLA PROBABILITA’ DI ACCETTARE
UNA DECISIONE FALSA
• La probabilità che ciò succeda è data
dalla probabilità che la distribuzione
con media μ 1 ≠μ 0 esibisca dei valori
nell’intervallo di accettazione [a ; b]
(per l’ipotesi bilaterale)
β = F 1 (a) - F 1 (b)
• β dipende dalla distanza tra μ 1 e μ 0 , e
dalla numerosità del campione
GESTIONE DELLA PROBABILITA’ DI ACCETTARE
UNA DECISIONE FALSA
L’errore di secondo tipo non è semplice da determinare.
Infatti, essendo un errore che si compie quando è vera
l’ipotesi alternativa, bisogna specificare un’ipotesi
alternativa per determinarlo.
Può essere conveniente capire quale probabilità
abbiamo di accettare erroneamente l’ipotesi nulla se
fosse vera una specifica ipotesi alternativa, µ’
La scelta del valore di µ’ dovrebbe identificare un valore
particolarmente anomalo, che se fosse veramente la
media della popolazione dalla quale abbiamo estratto il
campione che stiamo analizzando vorremo che venisse
evidenziata
21

GESTIONE DELLA PROBABILITA’ DI ACCETTARE
UNA DECISIONE FALSA
β
N.
B.
Per
Per
(1-α)
β(μ 1 ): caratteristica
operativa del test
μ → ∞
1
μ → μ
1
0
β → 0
β → ( 1−α
)
1−β(μ 1 ): funzione
potenza del test
Numerosità del campione
Scegliendo un livello di confidenza 1- α in un
test bilaterale (α 1 = α 2 = α/2) l’intervallo di
accettazione è:
0
0
[ a;
b]
= ⎢μ0
− z⎜
⎟ ; μ0
+ z⎜
⎟ ⎥
⎝ 2 ⎠ n ⎝ 2 ⎠ n ⎦
⎣
• Al crescere di n
⎡
⎛ α ⎞ σ
⎛ α ⎞ σ
– i due estremi dell’intervallo di
accettazione si avvicinano a μ0 – l’area sottesa dalla curva relativa alla
media μ1 tra i due estremi è minore
⎤
22

Numerosità del campione
• Per il calcolo di β, consideriamo la variabile μ,
gaussiana con media μ 1 e varianza σ 0 2 , il
calcolo della probabilità che cada in [a; b] si
ottiene con riferimento alla standardizzazione
• Gli estremi saranno
z a
=
σ
a
0
−
/
μ
1
n
z
=
σ
μ −
Numerosità del campione
0
• Sostituendo i valori di a e b, l’area risulta
⎡ μ
⎤ ⎡
⎤
0 − μ 1 ⎛ α ⎞ μ 0 − μ 1 ⎛ α ⎞
β = F
⎢ + z ⎜ ⎟ ⎥ − F ⎢ − z ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
σ / ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
/ ⎝ 2
0 n
σ 0 n ⎠ ⎥⎦
Al crescere di n,
cresce la
potenza del test
(1-β)
/
μ
z b
1
n
=
a b
σ
b
0
−
/
μ
1
n
23

Numerosità del campione
• Nella pratica la numerosità del test può
essere scelta proprio in modo da fissare
la probabilità di essere ingannati
– Si fissa la minima variabilità significativa,
δ=μ0-μ1 , e la potenza desiderata, (1-β)
– si calcolala numerosità minima che sia
compatibile con questi valori
Esempio:
Dati iniziali μ 0 = 72 mm σ 0 = 2 mm
Dopo la regolazione si modifica la dimensione
media?
Ipotesi nulla
H 0 : μ = μ 0
Sperimentalmente,
su un campione
N=10 risulta X=75.
Ipotesi alternativa
H a :μ ≠μ 0
⎧ σ 2
⎪
= = 0,
632
N 10
Calcoli: ⎨
⎪ 75 − 72
z0
= = 4,
74
⎪⎩
0,
632
24

Esempio:
Criterio di
accettazione
o rifiuto.
0,025 0,025
-1,96
Probabilità di
errore del I o
tipo (α)
(rifiutare
l’ipotesi vera) è
rappresentata
dall’area
tratteggiata.
Rifiuto accettazione rifiuto
In genere si assume di accettare l’ipotesi al 95%; questo significa:
Respingere H0 quando ΙZ0Ι≥1,96 Accettazione H0 quando ΙZ0Ι < 1,96
che significa che la probabilità di respingere H0 quando è vera è 5%
Esempio:
1,96
Z 0 = 4,74 ≥ 1,96 → H 0 RIFIUTATA
72 75 X
0 4,74 z
La probabilità che NON si sia modifica la media
è esigua!
z
25

Possibili classificazioni :
1)
2)
• Accettazione
• Selezione
•Tipo
PROVE DI COLLAUDO
• Collaudo al 100%
• Collaudo campionario
Saltuario
Percentuale
Statistico
BASI DEL COLLAUDO STATISTICO
Il valor medio μ della caratteristica appartiene ad
una distribuzione normale, con varianza fissa.
Il prodotto è di buona qualità se μ ≤ μ1
Test delle ipotesi:
H
H
0
a
: μ = μ
1
: μ ≠ μ = μ
1
2
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BASI DEL COLLAUDO STATISTICO
β
μ 1
μ a
α → R.
F.
rischio del fornitore
β → R.
C.
rischio del committente
α
μ 2
ANOM (Analisis of Mean)
Si utilizza per valutare gli effetti di p parametri
c 1 …c i …c p su una caratteristica di qualità η, a
partire dall’analisi di N misurazioni.
Si considerano pertanto anche j livelli per
ognuno dei parametri, c i1 …c iq …c ij
Es. per l’evaporazione di un gas si considerano
temperatura e pressione con differenti livelli
T [°k]
P [bar]
300
10
350
20
400
30
450
40
x
27

ANOM (Analisis of Mean)
1. Si calcola la media μ della caratteristica a partire
da tutti i dati sperimentali:
μ =
1 N
∑ ηk
N k = 1
2. Si calcolano le medie condizionate ad ogni
livello q di ogni parametro c i (si utilizzano solo gli n iq
esperimenti eseguiti con il parametro c i al livello q):
m
iq
=
1
n
niq
∑
iq k = 1
3. Si valutano gli effetti dei parametri dalla
differenza tra media generale e medie locali:
η
ANOM (Analisis of Mean)
αiq = miq
− μ
αiq è una stima della capacità di spostare il valor
medio del parametro c i al livello q
In esperimenti con “target” prefissati si
individua il parametro, ed il livello di parametro
che forniscono il minor scostamento dal target.
k
28

ANOVA (Analisi della Varianza )
E’ una procedura che serve ad analizzare la
variabilità dei risultati di una misura
attribuendone la causa a variazioni
deterministiche di uno o più parametri o aleatorie
La forma più semplici di ANOVA può essere
considerata come l’estensione del test delle
ipotesi: invece di confrontare le medie di due
popolazioni, confrontiamo le medie di un
numero maggiore di popolazioni,
simultaneamente in una singola analisi.
ANOVA (Analisi della Varianza )
Supponiamo di avere 4 popolazioni da confrontare. In
questo caso potrei quindi ingenuamente pensare di
fare 6 confronti con 6 test delle ipotesi, ognuno per
ogni possibile coppia di popolazioni.
il problema in questi 6 confronti è quello dell’errore
complessivo di primo tipo, detto anche
Experimentwise Error).
Se la probabilità di compiere un errore di primo tipo
era stata prefissata al valore α in ciascuno dei test, è
chiaro che più test faccio, più aumenta la probabilità di
compiere errori di primo tipo.
29

ANOVA (Analisi della Varianza )
In generale se ripetiamo n test delle ipotesi la
probabilità di non fare nessun errore di primo tipo è
( ) n
−
P = 1−
1 α
Per esempio, se α = 0.05, come di solito, la probabilità
di fare almeno un errore di primo tipo in 6 test è 0.26.
Se facessi 20 test la probabilità sarebbe pari a 0.65.
Con una probabilità molto alta (65%), quindi, almeno
un test darebbe erroneamente un risultato significativo
anche se fosse vera l’ipotesi nulla.
ANOVA (Analisi della Varianza )
TERMINOLOGIA
l’ANOVA serve per confrontare le medie di diverse
(più di due) popolazioni.
Le medie di una variabile quantitativa, come altezza,
peso, concentrazione, etc. misurata sulle singole
osservazioni.
Il fattore, nell’ANOVA, é invece l’elemento che
distingue le diverse popolazioni, e al quale siamo
interessati. Il fattore viene anche detto via, oppure
criterio di classificazione.
Il fattore può essere presente in più livelli
L’anova può essere fatta con più fattori
30

ANOVA (Analisi della Varianza )
Esempio
Supponiamo aver campionato 20 individui in 4 popolazioni
di una certa specie di coleottero prelevati a differenti livelli di
quota. Peso ciascuno degli 80 individui e mi chiedo
se esente una differenza tra i pesi medi
nelle 4 diverse quote di provenienza.
l’ipotesi nulla è di uguaglianza tra le medie nelle 4
popolazioni da cui provengono i campioni:
H0: m1 = m 2 = m 3 = m 4
L’ipotesi alternativa è invece quella che prevede che
ALMENO una media sia diversa.
H1: m1 = m 2 = m 3 = m 4
ANOVA (Analisi della Varianza )
Esempio
variabile: peso degli individui
fattore: quota dell’habitat
livelli del fattore: diversi livelli di quota
31

ANOVA (Analisi della Varianza )
Può essere
ANOVA univariata unifattoriale (One-way
Anova): considera gli effetti di un parametro
controllato sul prodotto (processo)
ANOVA multifattoriale si cerca di capire come
diversi fattori agiscono sulla variabile
considerata e interagiscono tra di loro
Two-way Anova: vi sono due parametri
controllati
Three-way Anova: ………c.s.
ONE WAY ANOVA
Se tutti i campioni provengono da popolazioni con la stessa
media (ossia, se é vera l’ipotesi nulla), esistono due modi
per stimare la varianza della variabile:
Il primo modo é quello di utilizzare le varianze calcolate
nei singoli campioni e calcolarne la media pesata per i
diversi gradi di libertà.
Questa varianza misura la dispersione delle singole
osservazioni rispetto alla media del gruppo dal quale le
osservazioni provengono (e quindi non dipende
dall’eventuale differenza tra le popolazioni). Tale
stima viene si chiama varianza entro gruppi, o varianza
residua, o varianza dell’errore. Noi la chiameremo MSE
(Mean Square Error). La stima MSE, è corretta nel caso
sia vera l’ipotesi nulla, e anche nel caso sia vera
l’ipotesi alternativa
32

ONE WAY ANOVA
Il secondo modo i basa sulla dispersione delle medie
osservate nei diversi campioni.
Abbiamo infatti visto che le medie campionarie estratte da
una popolazione con varianza σ 2 si distribuiscono con una
varianza pari a σ 2 /n (n e’ il numero di osservazioni nel
singolo campione).
Abbiamo a disposizione un numero k di medie campionarie
dalle quali possiamo calcolare direttamente una stima della
varianza delle medie (casa che non potevo fare con un
campione solo), σ 2 (y-barra). Se appunto é vera l’ipotesi
nulla, questa varianza delle medie stimata dalle medie nei
diversi campioni é una stima di σ 2 /n chiamata varianza
tra gruppi, o MSB
ONE WAY ANOVA
Se é vera l’ipotesi nulla, MSE e MSB stimano la stessa cosa
(σ 2 ), e quindi i rapporto MSB/MSE tende ad essere 1 e ad
essere distribuito come la distribuzione teorica Fisher (che é
appunto il rapporto tra due varianze).
Se invece é vera l’ipotesi alternativa, (almeno una media é
diversa dalle altre), MSE stima ancora σ 2 , ma questo non é
più vero per MSB. Infatti MSE é sempre una varianza entro
gruppi, anche se le medie dei gruppi sono diverse. MSB
invece utilizza la varianza delle medie campionarie calcolata
dai dati che, se non é vera l’ipotesi nulla, tende ad essere
maggiore di σ 2 /n. Quindi, se é vera H1, MSB/MSE tende
ad essere maggiore di 1, e posso testare la significatività
di questo rapporto con il test di Fisher.
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ONE WAY ANOVA
ONE WAY ANOVA
Esempio coleotteri
Peso
n i
y i =Σ j x ij
µ i
σ i
1
12.3
12.6
13.1
12.5
12.8
5
63.3
12.660
LIVELLI DI QUOTA
11.9
11.8
11.4
3
35.1
11.700
12.2
12.6
12.5
12.4
4
49.7
12.425
MSB= MSE=
2
3
4
12.1
12.5
12.4
11.7
4
48.7
12.175
totale
16
196.8
12.30
34

ONE WAY ANOVA
Vediamo ora un modo assolutamente equivalente
per arrivare a MSE e MSB, ma a partire dalla
scomposizione degli scarti. La variazione totale può
essere decomposta in :
• variazione della media di tutte le osservazioni
rispetto a zero;
• variazione della media delle osservazioni
relative ad ogni livello del parametro rispetto
alla media di tutte le osservazioni.
• variazione delle singole osservazioni rispetto
alla media delle osservazioni di ogni livello del
parametro.
ONE WAY ANOVA
SSTO
SSTO
SSTO
=
=
=
2
∑(
yij
− yˆ
) = ∑(
( yij
− yˆ
i ) − ( yˆ
i − yˆ
) )
j,
j
2
∑(
yij
− yˆ
i ) −∑
ni
( yˆ
i − yˆ
)
j,
j
SS
e
+ SS
M
j,
j
Devianza totale = Devianza entro gruppi + Devianza tra gruppi
La somma del quadrato dei dati è pari alla somma
del quadrato dei valori medi somma del quadrato
degli errori
j
2
2
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SS
SS
SS
ESEMPIO DI UTILIZZO DI ONE WAY ANOVA
Pompa N.
Velocità di
afflusso
(dl/s)
T
M
e
= 5
2
+ 6
T
N
2
2
1
5
+ 8
2
6
3
8
4
2
Risulta N=8
T=40 dl/s
Ť =5.0 dl/s
ESEMPIO DI UTILIZZO DI NO-WAY ANOVA
⎛
= N⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
=
= 222 − 200 = 22 ( dl / s)
2
+ 2
T
N
2
2
+ 5
2
40
=
8
2
+ 4
2
2
5
5
+ 4
La varianza dell'errore
vale:
2
6
4
+ 6
2
= 200 ( dl / s)
( ν è il numero di gradi di libertà
e
SSe
ν
e
=
2
7
4
8
6
= 222 ( dl / s)
22
7
=
3,
14
per l'errore)
2
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TWO WAY ANOVA
TWO WAY ANOVA
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Progettazione degli esperimenti
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