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Esercizi Determina M.C.D e m.c.m delle terne: 20,30,50; 33,66,99; 528,396,352 Scrivi il più piccolo numero divisibile per 6, avente tutte le cifre uguali a 2 Verifica con qualche esempio se il quadrato di un numero è somma di due numeri primi Il m.c.m fra due numeri può essere 1? E il M.C.D.? Un numero divisibile per 3 e per 5 è sempre divisibile per 15? Proporzioni 3 Proporzione è l’uguaglianza di due rapporti . Es. 3:5 = 6:10 ; : 2 = 3 : 10 5 Proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 3 3 Es nella proporzione : 2 = 3 : 10 , si ha ⋅ 10 = 2 ⋅3 . 5 5 Mediante questa proprietà è possibile individuare un termine incognito in una proporzione. Es. 4:x=5:8 5x=32 x=32/5 Altre proprietà delle proporzioni: permutare: scambiando tra loro i medi o gli estremi di una proporzione, si ottiene ancora una proporzione. Es. data 4:8=17:34 si ha 4:17=8:34 (permutando i medi) e 34:8=17:4 (permutando gli estremi) invertire: scambiando ogni antecedente con il suo conseguente, si ottiene ancora una proporzione Es. data 4:8=17:34 si ha 8:4=34:17 Calcolo letterale Monomi Monomio è un’espressione letterale in cui compaiono solo prodotti fra numeri e lettere. Il prodotto di tutti i fattori numerici si dice parte numerica o coefficiente del monomio. Un monomio è ridotto a forma normale se la parte letterale contiene fattori con basi diverse tra loro. Es. la forma normale di 5ab 3 b è 5ab 4 Grado di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale. Es. ab 5 è di grado 6; 2 3 ab 5 è di grado 6. Monomi che hanno la stessa parte letterale si dicono simili. Es. 2 3 ab 5 1 5 ab 2 sono simili La somma algebrica tra monomi è definita solo per monomi simili ed è un monomio simile a quelli dati, con coefficiente la somma algebrica dei coefficienti .Es. 2 3 ab 5 + 6a è un polinomio, non un monomio; 2 3 ab 5 + 6ab 5 = 14ab 5 Prodotto fra monomi è un monomio che ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti e come parte letterale il prodotto delle potenze contenute nelle parti letterali. Es. 2 3 ab 5 * ab 3 c 2 = 8a 2 b 8 c 2 Polinomi Un polinomio è un’espressione riconducibile a somma algebrica di monomi. 5 4ab 4 Es. + 7 bcd = 2ab + 7 bcd 3 2b Un polinomio è ridotto a forma normale se vi compaiono solo monomi in forma normale e non simili. Es. 4ab 5 + 54ab 5 – 7ab è riducibile in forma normale, ossia 58ab 5 – 7ab Grado complessivo di un polinomio è il massimo grado dei monomi che lo compongono. Es. 58ab 5 – 7ab è di grado 6 Nel calcolo di somme e di prodotti fra polinomi si applicano le proprietà già enunciate per le quattro operazioni elementari. Es. (58ab 5 – 7ab) – (2ab + 7cm) = 58ab 5 – 9ab – 7cm
(58ab 5 – 7ab) * (2ab+7cm) = 116a 2 b 6 + 406ab 5 cm – 14a 2 b 2 - 49abcm Esercizi Sviluppa e determina il grado del polinomio risultato: (a-b)+(b-c)-a (a+b)(a-b)+(a-b) 2 (2a-3b+c)(3a-b+c) (6a 2 +3b)-(6a+b)(a-5)+4 Prodotti notevoli Dette A e B due espressioni algebriche, si ha: (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 (A+B) 3 =A 3 +3A 2 B+3AB 2 +B 3 (A+B)(A-B)= A 2 -B 2 (A+B)(A 2 -AB+B 2 ) = A 3 +B 3 Es. (ab 5 – 7ab) 2 = a 2 b 10 -14a 2 b 6 +49a 2 b 2 in questo caso A = ab 5 e B = – 7ab (ab 5 – 7ab) 3 = a 3 b 15 -21a 3 b 11 +147a 3 b 7 - 343a 3 b 3 in questo caso A = ab 5 e B = – 7ab (ab 5 – 7ab)( ab 5 +7ab) = a 2 b 10 - 49a 2 b 2 in questo caso A = ab 5 e B = – 7ab (ab 5 – 7ab)( a 2 b 10 +7a 2 b 6 +49a 2 b 2 ) = a 3 b 15 -343 a 3 b 3 in questo caso A = ab 5 e B = – 7ab Esercizi Calcola: (5·x - 7) 2 (x + 6) 2 ·(3·x + 4) (2·x - 3) 3 (2·x - 1 + x 2 ) 2 (x + 3) 2 ·(7·x + 10) (x + 3 1 ) 3 1 2 (x + ) 3 Divisione fra polinomi P(x) = D(x)Q(x)+R(x) se il grado di P(x) grado di D(x). Q(x) è il quoziente e R(x) è il resto della divisione. Es. 5x 2 y-3xy 4 = xy(5x-3y 3 ) con R(x) = 0 Scomposizione di un polinomio in fattori Significa scriverlo sotto forma di prodotto di due o più polinomi irriducibili, ossia non più scomponibili. Procedura consigliata: - se possibile raccogliere a fattor comune Es. 4x 2 – 16 = 4(x 2 – 4) - controllare se è un prodotto notevole (o se è somma algebrica di prodotti notevoli) in particolare: - un binomio può essere differenza di quadrati o somma di cubi o differenza di cubi Es. x 2 – 4 = (x + 2)·(x - 2) ; 125·x 3 + 64 = (5·x + 4)·(25·x 2 - 20·x + 16) ; 125·x 3 - 64 = (5·x - 4)·(25·x 2 + 20·x + 16) - un trinomio può essere un quadrato di binomio o trinomio particolare Es. 25·x 2 - 40·x + 16 = (5x-4) 2 x 2 -5x +6 =(x-2)(x-3) - un quadrinomio può essere cubo di un binomio Es. 27·x 6 - 27·x 4 + 9·x 2 – 1 = (3x 2 -1) 3
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