Il V postulato di Euclide - IIS-Newton

GIAN PIETRO CHIARO
Il V postulato di Euclide
D O M U S E S T U B I C U M Q U E B E N E E S T
2005

IL V° POSTULATO DI EUCLIDE
di Gian Pietro Chiaro©2005
Proemium ad lectorem
In questo poche pagine cercherò di analizzare l’importanza del V° postulato del I° libro degli
Elementi di Euclide, visto che su di esso è costruita gran parte della nostra geometria, detta per
questo fatto euclidea. In sintesi, facendo uso del linguaggio moderno, esso tratta dell’esistenza e
dell’unicità di una retta parallela ad una retta data, passante per un punto fuori di essa. Per molto
tempo si cercò di dimostrare che il V° postulato è una conseguenza degli altri asserti fondamentali,
ma soltanto duemila anni dopo si è dimostrato che esso è indipendente da essi: cambiandone
l’enunciato si cambia tipo di geometria, anche se gran parte delle costruzioni fatte continua a valere.
Accennerò poi alle cosiddette geometrie non-euclidee (di Riemann 1 e di Lobačevskij 2 ) ed alcune
loro importanti ricadute nel concetto di spazio-tempo, che ha portato Einstein 3 a formulare la sua
nota Teoria della Relatività Generale.
La questione del parallelismo tra rette è uno dei pochi problemi matematici significativi che siano
accessibili anche a non iniziati. L’apparente semplicità del problema è in realtà contraddetta
dall’evidenza dei fatti: ogni dimostrazione, che sembra addirittura non dover richiedere molto
impegno per una soluzione, si dimostra sempre vana. Infatti, sono innumerevoli i tentativi di
dimostrazione, fatti da matematici di tutte le epoche e di tutte le nazionalità, per dare una
consistenza logica a quella che si doveva ritenere una necessità 4 . Ma in che termini si può
ricondurre la questione? È importante anzitutto riportare fedelmente la def. XXXIII ed il postulato
V del I° libro degli Elementi di Euclide 5 :
def. XXIII Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate
illimitatamente dall’una o dall’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna
delle due parti.
post. V [Sia postulato] che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli
interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate
illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli
minori di due retti.
1
Bernhard Riemann (1826 – 1866), tedesco, uno dei maggiori e più originali matematici moderni.
2
Nicolas Ivanovich Lobačevskij (1793 – 1856), matematico russo.
3
Albert Einstein (1879 - 1955), grande fisico-matematico tedesco, naturalizzato americano a causa delle persecuzioni
razziali nella Germania di Hitler.
4
Nel libro “Mutamenti del pensiero matematico” di Herbert Meschkowski (Boringhieri), si legge a pag.32: “Nell’anno
1763, G.S.Klügel, un allievo di Kaestner, ha raccolto nella sua tesi i tentativi di dimostrazione del qui to postulato a lui
accessibili (ottantadue!), e ha dimostrato che essi sono tutti inadeguati. Nel migliore dei casi, essi sostituiscono il
postulato con un assioma equivalente”.
5
Cfr. “Gli Elementi di Euclide”, a cura di A.Frajese e L.Maccioni, (UTET).
2

c
Riferendosi al V° postulato, così scrive il Saccheri 6 :
Figura 1 – il V° postulato di Euclide
! P : P = a ∩ b
“Del resto non vi è nessuno che dubiti della verità dell’enunciato opposto; ma in
questo soltanto accusano Euclide di essersi, cioè, servito del nome Assioma, quasi
appunto [come se] dai soli termini attentamente esaminati desse la certezza a sé
stesso.” 7
Ma perché viene mossa questa accusa ad Euclide? Proclo 8 , nel commentare il V° postulato
usa dei termini ancora più forti del Saccheri stesso, e nel contempo più illuminanti e dotati di
straordinaria ricchezza e modernità 9 :
“Anche questo deve essere assolutamente cancellato dai postulati; perchè è un teorema
che presenta molta difficoltà, le quali Tolomeo 10 ha cercato di risolvere in un suo libro,
e che richiede, per la dimostrazione, molti definizioni e teoremi. […] Ora il fatto che le
rette convergono col diminuire degli angoli retti è vero e necessario: ma il fatto che,
convergendo sempre di più, nel prolungarsi si incontrino, è probabile, ma non
necessario, a meno che non ci sia un ragionamento che dimostri che il fatto è vero per
le linee rette. Che esistano effettivamente delle linee convergenti all’infinito, ma
asintote, per quanto il fatto sembri incredibile o paradossale tuttavia è vero, ed è stato
constato in altre specie di linee. Non sarà dunque mai possibile per le linee rette ciò
che lo è per quelle linee? Perché fino a che non ne saremo convinti da una
dimostrazione, il fatto che questa proprietà si mostri in altre linee attrae
l’immaginazione; che se poi le ragioni che contestano l’incontro fossero
impressionanti, come non respingeremmo a maggior ragione questo fatto, probabile sì,
ma irrazionale, dalla nostra dottrina?”
Dunque il V° postulato stabilisce un metodo per riconoscere se due rette sono parallele,
riconducendo le operazioni di controllo “al finito”. Ed è proprio qui la questione: non viene
contestata la validità del contenuto dell’affermazione di Euclide, ma solo il nome di assioma 11 . In
6 Girolamo Saccheri (1667-1733), gesuita, insegnante di matematica in vari collegi del suo ordine in Italia; nel 1733
cercò di dimostrare, senza riuscirvi, il V° postulato, in quanto usufruì di un elemento intuitivo che equivaleva al
postulato delle parallele. Vedi appendice III.
7 Cfr. G.Saccheri, “Evclides ab omni nævo vindicatus” (Euclide liberato da ogni macchia), Milano 1733.
8 Proclo (410-485), filosofo neoplatonico, autore del “Commento al I° libro degli Elementi di Euclide”
9 Cfr. Proclo, “Commento al I° libro degli Elementi di Euclide”, Pisa 1978, pagg. 164-165.
10 Tolomeo di Alessandria (I° secolo d.C.), matematico ed astronomo greco, autore del libro “Sintassi Matematica”.
11 L’assioma (dal greco “dignità”) è un principio generale evidente ed indimostrabile, che può fare da premessa
ad una teoria. In Euclide, il primo ad avere consapevolezza della necessità di ammettere esplicitamente un gruppo di
P
a
b
3

verità, fin dai tempi di Euclide il dibattito sull’argomento fu acceso. Per tentare di porre fine alla
questione si seguirono nel corso dei secoli due vie 12 . Molti tentarono di sostituire il V° postulato
con un altro equivalente, ma di contenuto più intuitivo ed immediato; altri invece cercarono di
dimostrarlo, sulla base dei precedenti postulati. Delle informazioni preziose su entrambi gli
atteggiamenti ci vengono fornite da Proclo nelle pagine dedicate al commento della:
prop. XXIX Una retta che cada su rette parallele forma gli angoli alterni uguali fra loro,
l’angolo esterno uguale all’angolo interno ed opposto, ed angoli interni dalla
stessa parte la cui somma è uguale a due retti.
c
Riferendosi al V° postulato Proclo dice:
P
Figura 2 – proposizione XXIX
“Ma come sarebbe indimostrabile una proposizione la cui inversa è registrata fra i
teoremi come dimostrabile? Infatti il teorema che due angoli interni di ogni triangolo,
comunque presi, sono minori di due angoli retti, è l’ inversa di questo postulato”,
riprendendo concetti già espressi in precedenza, e portando una nuova motivazione al proprio
convincimento. In effetti si può notare una certa dipendenza implicita tra gli enunciati delle
proposizioni: uno è inverso dell’altro, che a sua volta rappresenta un corollario di un’altra, e così
via. Per convincersene, basta osservare che la
prop. XVIII In ogni triangolo la somma di due angoli presi è minore di due retti.
è proprio l’inversa del V° postulato. D’altra parte la prop. XXIX è l’inversa della prop. XXVII, e
la prop. XXVII è dimostrata mediante la prop. XVI, di cui la prop. XVII è un corollario: visti gli
strettissimi rapporti delle proposizioni citate, non appare del tutto fuori luogo la domanda di Proclo.
regole non dimostrate, il termine postulato è specifico della geometria, mentre con assioma si indica una proprietà non
dimostrata che riguarda però tutte le discipline come, ad esempio: “il tutto è maggiore della parte”.
12 Nel numero 17 della rivista “Le Scienze” (Gennaio 1970) è stato pubblicato un articolo del filosofo ungherese della
matematica Imre Tòth (1921 - ), dal titolo “La geometria non euclidea prima di Euclide” in cui l’autore, partendo da
un’accurata analisi di alcuni passi tratti dalle opere di Aristotele, avanza l’ipotesi che ci sia stato un approccio noneuclideo
al problema delle parallele, da parte di matematici anteriori ad Euclide stesso. In particolare egli riscontra che:
“Una stessa conclusione falsa può derivare da parecchie ipotesi. Per esempio, che due rette si incontrino, e nel caso che
l’angolo interno sia maggiore del corrispondente angolo esterno, e nel caso in cui la somma degli angoli [interni] di un
triangolo sia maggiore di due retti”.
b
a
a || b
4

A
Per completezza è bene riportare anche le
prop. XVI In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è maggiore di
ciascuno dei due angoli interni ed opposti.
prop. XVII Se una retta che venga a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni uguali
fra loro, le due rette saranno fra loro parallele.
c
B
Più avanti nella sua analisi, Proclo riporta per esteso la dimostrazione mediante una riduzione
all’assurdo del V° postulato effettuata da Tolomeo, sfruttando il concetto di rette asintoto. Egli
procede poi in una critica serrata della dimostrazione di Tolomeo, mettendo in luce i lati deboli del
postulato, offrendo nel contempo una propria dimostrazione. Quest’ultima si basa su un assioma già
utilizzato da Aristotele per dimostrare che “il cosmo è limitato”:
“Se due rette partenti da un punto e formanti un angolo, sono prolungate all’infinito,
l’intervallo di esse, aumentando all’infinito, supera ogni grandezza finita” 13
Il ragionamento fatto da Aristotele è il seguente 14 :
“… che il corpo mosso di moto circolare sia di necessità perfettamente finito, appare
evidente da quel che segue. Se ciò che si muove in circolo è infinito, saranno infinite
13 L’inciso è il ragionamento di Proclo.
14 Cfr. “De cælo”, 271 b 28 – 272 a 7.
Figura 4 – proposizione XVII
’
'
C
Figura 3 – proposizioni XVIII e XVI
P
b
a
D
AB || CD ', '.
''
''
a || b
5

anche le linee che partono dal centro. Ma le linee infinite anche intervalli infiniti: e
dico intervallo fra le linee quello al di là del quale non è dato assumere un intervallo
maggiore di quello dato, per modo che, come noi diciamo infinito il numero in quanto
non c’è numero massimo, la medesima ragione vale anche per l’intervallo. Se dunque
l’infinito non si può percorrere tutto, ed essendo infinito, anche l’intervallo è
necessariamente infinito, ne consegue che esso non può muoversi in circolo. Ma noi
vediamo che il ciclo si volge in un circolo e col ragionamento siamo giunti a stabilire
che vi è un corpo cui è proprio il moto circolare… ”
Utilizzando l’assioma sopra citato, Proclo dimostra dapprima che, se una retta taglia una di due
rette parallele, allora taglia anche l’altra, e ricava poi il V° postulato come conseguenza. La
proprietà di passaggio dimostrata da Proclo verrà utilizzata come assioma nel 1769 da Joseph Fenn
nella forma:
“Due rette incidenti non possono essere entrambe parallele ad una terza retta”
mentre la formulazione a noi familiare del V° postulato è nota come assioma di Playfair (1795):
“Attraverso un dato punto P non sulla retta l, esiste soltanto un retta nel piano di P ed l
che non incontra l” 15
Non si trova enunciata da Euclide questa proposizione, anche se essa è immediatamente deducibile
dalla 16 :
prop. XXX Rette parallele ad una stessa retta sono parallele tra loro.
Della questione si occupa invece Proclo in una minuziosa analisi delle propp. XXX e XXXI:
Proprio a proposito di quest’ultima (con la quale Euclide insegna a costruire una parallela ad una
retta data 17 ), dice tra l’altro:
15 M.Kline, “Mathematical thought from ancient to modern times”, OUP 1972, pag. 865.
16 Vedi i commenti di A.Frajese a pagg.123-126 negli “Elementi”, UTET
17 Vedi Appendice II per l’enunciato della prop. XXXI.
P
Figura 5 – V° postulato di Euclide
Figura 6 – proposizione XXX
l’
l
l’
l’’
l
! l’ : l ∩ l’ = Ø
l || l’, l’’ || l ’ l || l’’
6

“[…] in effetti, se per uno stesso punto fossero condotte due parallele alla stessa retta,
sarebbero anche parallele tra loro, ma s’incontrerebbero al punto dato; il che è
impossibile […]”.
Si diceva che l’analisi di Proclo è molto minuziosa, quasi pedante, tanto da indurre lo stesso ad una
sorta di giustificazione di fronte al lettore. Scrive così Proclo 18 :
“[…] era necessario segnalare questi fatti a causa delle difficoltà sollevate dai sofisti e
delle tendenze alle giovanili contestazioni degli studenti: perché molte persone si
compiacciono d’imbattersi in pretesi paralogismi e di infliggere ai dotti un rompicapo
inutile […]”
Una definizione di parallela, diversa da quella di Euclide, viene attribuita da Proclo a Posidonio 19 :
“Posidonio dice che le parallele sono quelle che né si incontrano né si allontanano in
uno stesso piano, ma hanno uguali tutte le perpendicolari condotte dai punti di una
sull’altra”
p
E subito aggiunge:
“Ora tutte le rette che facciano queste perpendicolari sempre più piccole, s’incontrano
tra loro; perché la perpendicolare può determinare le altezze delle aree e le distanze
delle linee; perciò se sono uguali le perpendicolari, sono uguali le distanze fra le due
rette; e se le perpendicolari diventano più grandi o più piccole, la distanza cresce o
diminuisce, e le rette si incontrano tra loro dalla parte dove le perpendicolari
diminuiscono […]”
Limitatamente agli scopi prefissati, non può mancare qui un accenno alla somma degli angoli
interni di un triangolo. Il commento di Proclo alla prop. XXXII è lunghissimo: basterà riportarne
solo la parte finale:
“[…] e infine vi dirò ancora una cosa, che il fatto di avere gli angoli interni uguali a
due a due retti è una proprietà del triangolo in quanto tale; ed è perciò che Aristotele
lo cita come esempio nei suoi trattati apodittici, quando considera ciò che è, in sé e per
sé, ogni oggetto 20 . Allora, come ad ogni figura appartiene, come primaria e peculiare
proprietà, il fatto di essere delimitata, così ad ogni triangolo rettilineo, e non ad ogni
figura, appartiene la proprietà di avere gli angoli interni eguali a due retti. E sembra
che la verità di questo teorema coincida con le nozioni comuni. Se infatti immaginiamo
una linea retta e due linee rette tali che, poste ai suoi estremi ad angolo retto,
18 Commento alla prop. XXX
19 Posidonio (II° - I° sec. A.C.)
20 Aristotele, “Secondi Analitici”, 73 b 25 e seguenti
p’
Figura 7 – definizione di parallela di Posidonio
l || l’ p = p’ p, p’ l , l’
l
l’
7

s’inclinano poi una verso l’altra simultaneamente per generare un triangolo, vediamo
che, di quanto s’inclinano, di altrettanto diminuiscono gli angoli retti che esse
formavano con la retta; cosicché aggiungendo nella misura della loro inclinazione
verso il vertice tanto quanto hanno tolto da quegli angoli retti, necessariamente esse
vengono a formare i tre angoli uguali a due retti”.
Ma il seme da cui nasceranno le geometrie non-euclidee lo gettò Saccheri, quando tentò la riduzione
all’assurdo della necessità di adottare il postulato della parallela 21 . Le geometrie non-euclidee non
riconoscono infatti il V° postulato di Euclide, ed in particolare tale sconfessione può riguardare
l’esistenza o l’unicità della retta parallela. Comunque, la piena consapevolezza delle conseguenze
della negazione del V° postulato di Euclide si ebbe nel XIX° secolo, da parte di Riemann, Bolyai e
soprattutto Lobačevskij. Si suole allora sostituire al V° postulato i seguenti:
post. V1 Non esiste alcuna retta passante per un punto esterno ad una retta data e parallela
a questa. (Riemann)
post. V2 Esistono due diverse rette passanti per un punto esterno ad una retta data e
parallela a questa. (Bolyai - Lobačevskij)
Verso la prima metà dell’ottocento, il giovane matematico tedesco B. Riemann costruì un modello
di geometria non euclidea, sostituendo al V° postulato il postulato V1. Egli assunse come enti
primitivi della sua geometria:
I Il piano costituito da una qualunque superficie sferica .
II Il punto costituito da una qualunque coppia di punti (A0,A1), ottenuti come
intersezione di un diametro di con la superficie sferica .
III La retta costituita da un qualunque circolo massimo di .
Mostriamo la non contraddittorietà di questa geometria, cioè che non possano coesistere una
proposizione e la sua negazione tra le conseguenze degli assiomi adottati, con ovviamente il V°
modificato:
post. I Per due punti del piano passa un'unica retta.
post. II Per un punto del piano passano infinite rette.
post. V1 Non esiste alcuna retta passante per un punto esterno ad una retta data e parallela
a questa
Il primo è indubitabile, considerando il fatto che esiste un’unica circonferenza passante per
quattro punti A0, A1, B0, B1 della superficie sferica .
21 Vedi Appendice III.
A0
A1
Figura 8 – Sfera di Riemann
8

A0
Il secondo è altrettanto evidente, dato che esistono infinite circonferenze n passanti
per due punti A0, A1 della superficie sferica .
Il terzo è invece la necessaria modifica da apportare al corpus assiomatico dato che sulla sfera
non esiste alcun circolo massimo p passante per due punti A0, A1 della superficie sferica e
parallela ad una data circonferenza . Infatti ogni retta p passante per il punto P (caratterizzato
dalla coppia di punti A0, A1 della superficie sferica ) interseca la retta sempre nel punto P’
(caratterizzato dalla coppia di punti B0, B1 della superficie sferica ) diverso da P, quindi essa non
potrà mai essere parallela a .
A0
B0
B0
A0
Figura 10 – postulato II
Figura 11 – postulato V 1
L’altra geometria non-euclidea che prendiamo in considerazione fu elaborata dall’ungherese Bolyai
e dal russo Lobačevskij, quasi contemporaneamente ma indipendentemente tra loro, nel 1829. Essi
sostituirono al V° postulato il postulato V2. Essi assunsero come enti primitivi:
B1
Figura 9 – postulato I
n
A1
A1
A1
B1
p
9

I Il piano costituito da una qualunque cerchio 22 . (Piano di Klein 23 )
II Il punto costituito da una qualunque punto interno al cerchio . (Punto di Klein)
III La retta costituita da un qualunque corda del cerchio , estremi esclusi. (retta di
Klein)
Due rette di Klein sono incidenti se si intersecano in un punto di Klein, cioè si
intersecano in un punto interno e non sul bordo di . Due rette di Klein sono parallele se si
intersecano in un punto del bordo di .
Vogliamo far vedere la non contraddittorietà anche di questa geometria, cioè che anche in essa
valgono i postulati della geometria euclidea, tranne il V°.
post. I Per due punti del piano passa un'unica retta.
post. II Per un punto del piano passano infinite rette.
post. V2 Esistono due rette passanti per un punto esterno ad una retta data e parallela a
questa.
I primi due sono evidentemente verificati. È il terzo che invece diversifica questa geometria da
quella euclidea, infatti, fissata una retta di Klein ed un punto di Klein P fuori da questa, esistono
due distinte rette di Klein passanti per P e parallele a : esse sono le due corde passanti per P
e per gli estremi A∞,B∞ della corda .
A∞
A
C
Figura 12 – postulati I e II
P
Figura 13 – postulato V 2
22 Cerchio, cioè l’insieme dei punti interni alla circonferenza , bordo escluso.
23 Felix Klein (1849 – 1925), matematico tedesco; si deve a lui l’introduzione dei termini ellitica (Riemanniana) ed
iperbolica (Lobačevskijana ) per diversificare le geometrie non-euclidee da quella euclidea.
B
B∞
10

Da quanto detto, le geometrie non-euclidee hanno in comune con la geometria euclidea molti asserti
e teoremi, ma non quelli che dipendono dal V° postulato di Euclide, come ad esempio la prop.
XXXII 24 . Entrambe queste geometrie permettono di costruire modelli alternativi della realtà,
proprio a causa della diversa definizione di retta e piano, con ricadute molto importanti. Così,
nell’esperienza quotidiana, cioè nella fisica delle piccole distanze (che potremmo sintetizzare con
l’intervallo di sensibilità dal millimetro al chilometro), il modello geometrico di riferimento, cioè la
schematizzazione che risulta più idonea a rappresentare la realtà, è sicuramente quello euclideo. Ma
non appena cominciamo a considerare grandi distanze 25 , e vogliamo ad esempio misurare la somma
delle ampiezze dei tre angoli interni ad un triangolo geodetico 26 , bisogna ricorrere alla geometria di
Riemann. Per un tale triangolo costruito sulla superficie sferica, si ha che la somma delle ampiezze
dei suoi angoli interni è superiore a 180° a causa dei suoi lati “curvi”.
A
C
Figura 14 – Triangolo ellittico
Il modello geometrico di Lobačevskij è invece usato nella cosiddetta fisica delle particelle. La
superficie che meglio si adatta alla geometria di Lobačevskij è quella iperbolica, detta anche
superficie a sella, dove le rette sono le curve geodetiche della superficie curva.
24 Vedere Appendice II.
25 Non occorre che siano distanze astronomiche: bastano anche distanze sufficientemente grandi sulla superficie
terrestre (curve geodetiche). Per definizione, si intende per geodetica la linea più breve sulla superficie considerata che
unisce due punti della superficie stessa. Ad esempio un meridiano terrestre è una geodetica della Terra.
26 Cioè di un triangolo i cui lati sono curve geodetiche, ovvero archi di circonferenze massime della terra.
B
Figura 15 – superficie a sella
11

Se consideriamo un triangolo ABC costruito su di essa, con lati curvilinei (perché archi di
geodetiche), la somma sei suoi angoli interni è inferiore a 180°.
A
B
Ecco che allora, nella geometria di Riemann la somma degli angoli interni di un triangolo è
superiore a 180°, mentre in quella di Lobačevskij la somma è minore di 180°, cioè entrambe
contraddicono la prop. XXXII del I° libro degli Elementi di Euclide, in cui si afferma che la
somma degli angoli interni di un triangolo è 180°. Per questo motivo la geometria di Riemann si
dice ellittica, o curvatura positiva, mentre la geometria di Lobačevskij si dice iperbolica, o
curvatura negativa.
Il vero trionfo delle geometrie non-euclidee ebbe luogo con i nuovi modelli della realtà, proposti
dalla “Teoria della Relatività Generale” 27 . Ogni pianeta in orbita intorno al Sole descrive un’orbita
ellittica, di cui il Sole è un fuoco 28 . Ma intorno alla metà del XIX° secolo si scoprì che il perielio 29
dell’orbita di Mercurio non rimane fisso nel tempo, ma si sposta costantemente in avanti, per cui
l’orbita ellittica ruota molto lentamente, in un movimento di precessione 30 . Questo fenomeno fu
attribuito al fatto che, oltre al Sole, anche gli altri pianeti del sistema solare esercitano su Mercurio
un influenza attrattiva non trascurabile. L’entità della precessione misurata però non concordava per
43 secondi d’arco per secolo con quella calcolata usando un modello geometrico euclideo. Per
questo motivo gli astronomi dell’epoca ipotizzarono la presenza di un pianeta nascosto che
ricercarono inutilmente per molto tempo. Invece, nella sua Teoria della Relatività Generale,
Einstein attribuì il fenomeno alla curvatura dello spazio-tempo 31 . Egli spiegò che le leggi della fisica
27 Pubblicata da A. Einstein in una serie di articoli intorno al 1915, a seguito della critica mossa da E. Mach (1836 –
1916 filosofo della scienza francese) alla sua celebre “Teoria della relatività speciale” del 1905. In questa nuova
Teoria egli estese il primo postulato della relatività ristretta (che sancisce l’equivalenza delle leggi della fisica in tutti i
sistemi inerziali, cioè in sistemi che si spostano di moto rettilineo uniforme gli uni rispetto gli altri) anche a sistemi di
riferimento qualsiasi, quindi pure non inerziali, in modo tale che l’accelerazione così come la velocità assumesse un
carattere relativo e non assoluto. Non rimaneggiò invece il secondo postulato (che ratifica la costanza della velocità c
della luce in tutti i sistemi di riferimento) in modo tale che la velocità della luce si può considerare la velocità-limite che
può assumere un corpo in movimento. Sancì inoltre la dilatazione gravitazionale del tempo, ossia lo spostamento verso
il rosso (red-shift) della luce proveniente da una Stella e la deviazione che un raggio luminoso subisce nell’attraversare
un campo gravitazionale. È in questo contesto che si è sviluppata tutta la fisica di quest’ultimo secolo.
28 Secondo la prima legge di J.Keplero (1571 – 1630), astronomo e matematico tedesco.
29 È il punto più vicino al Sole nell’orbita che un corpo descrive intorno ad esso.
30 Fenomeno per cui i punti equinoziali (punti in cui il Sole si trova esattamente sull’equatore; ciò accade due volte
l’anno: il 21 Marzo e 23 Settembre) descrivono tutta l’orbita eclittica, cioè la traiettoria apparentemente circolare
percorsa dal Sole in un anno, in circa 26000 anni. Questa orbita presenta un caratteristico aspetto a “rodonea”, cioè a
curva piana a petali, detta anche rosa proprio per la somiglianza del suo grafico con questo fiore.
31 Egli spiegò che questa curvatura è legata alla distribuzione delle masse nello spazio, la gravitazione incurva così lo
spazio-tempo. Un suggestivo esempio di quanto succede si può ottenere pensando alla luce come una pallina che
percorre un piano elastico deformato dalla presenza di masse (i pianeti e le stelle). Per determinare quale tipo di
geometria descriva correttamente l’Universo dovremmo misurarne la curvatura, legata alla velocità con cui L’Universo
C
Figura 17 – triangolo iperbolico
12

classica rimanevano valide per pianeti più lenti, mentre andava applicata la correzione relativistica
all’orbita di Mercurio, pianeta dotato di velocità orbitale piuttosto elevata visto la sua vicinanza al
Sole. L’accordo del valore misurato con quello previsto dalla sua Teoria sancì il primo grande
successo di questa Teoria. Egli previde inoltre che la luce si comporti come un corpo dotato di
massa propria, cosicché, quando essa passa attraverso un campo gravitazionale tende a deviare il
suo percorso sotto l’azione della forza che genera il campo. La traiettoria del cammino ottico
diventa un arco di geodetica su una superficie fatta a sella piuttosto che rettilinea in uno spazio
euclideo.
Stella 1 Stella 2
Angolo
Terra
Stella 1
Pos. apparente
P’
P
Luna in eclissi
Stella 1
Pos. effettiva
Sole
Terra
Sole
Stella 2
Figura 16 – deviazione della luce
Stella 1
Pos. apparente
Angolo apparente
Angolo apparente
Luna in eclissi
Stella 1
Pos. effettiva
Tale curvatura è stata misurata sperimentalmente per la prima volta nel 1919 in occasione di una
eclissi solare, osservando la posizione di una stella quando i suoi raggi passavano in prossimità del
sole. Per effetto di questa deviazione, la posizione della stella ad un osservatore sulla terra appare in
P’ anziché in P, posizione reale del corpo celeste, individuata in un altro momento, quando il sole,
spostandosi dalla ideale congiungente la terra con la stella nel suo movimento di rivoluzione, non ha
più una diretta influenza sul cammino ottico.
è in espansione a causa del Big-Bang. In base ai dati oggi disponibili sembra che l’Universo sia di tipo iperbolico: la sua
espansione non dovrebbe mai avere fine. Solo se si dovesse trovare la “massa mancante” (circa sette volte quella di
tutte le galassie) si potrebbe dire che l’universo è chiuso, riconducibile dunque ad un Universo “pulsante”, che a
seguito di una espansione, ha poi una contrazione e così via, all’infinito. Ma l’Universo, così come lo conosciamo, è
finito o infinito? Se la curvatura è positiva lo spazio è chiuso, come quello di una sfera, e dunque esso sarebbe finito. Se
la sua curvatura è negativa, lo spazio è aperto come quello di una sella, dunque l’Universo, secondo i dati attualmente in
nostro possesso, è infinito.
Sole
Terra
Terra
Stella 2
13

È interessante notare che, quando facciamo tendere a zero l’area di un triangolo iperbolico, si
riottene l’usuale triangolo con angoli interni pari ad un angolo piatto. Questo succede perché questo
triangolo a lati “dritti” verrebbe costruito sul piano tangente la sella, il quale è sicuramente
“piatto” 32 .
A
Figura 18 – ingrandimento sul piano tangente
La stesso procedimento di passaggio al limite può essere adottato anche al caso di un triangolo
geodetico su una superficie di Riemann: facendo tendere a zero la sua area si riottene un triangolo a
lati “dritti”.
Possiamo allora ritenere che il modello geometrico usuale, cioè quello euclideo, sia una caso
particolare della geometria ellittica od iperbolica, ottenuto da un passaggio al limite? Che in questo
centri per caso il V° postulato? Al lettore la dimostrazione.
32 Lo stesso fenomeno si può descrivere con questa semplice esperienza: come può accorgersi un abitante della Terra
che essa è una superficie curva? Bisogna aumentare sensibilmente l’altezza del suo punto di osservazione, salendo per
esempio sulla vetta di una montagna, perché possa accorgersi che l’orizzonte non è una linea retta, ma una curva.
Dunque egli può ritenere la terra, in prima approssimazione, localmente piatta. Non me ne voglia Cristoforo Colombo!
C
B
14

Enunciati alternativi del V° postulato 33 :
APPENDICE I
1. Esiste un triangolo i cui angoli formano due retti. (Legendre 34 )
2. Data una qualsiasi figura, ne esiste una ad essa simile e di grandezza arbitraria. (Wallis 35 ,
Carnot 36 , Laplace 37 )
3. Si può sempre tracciare per un punto interno ad un angolo minore di ⅔ di un angolo retto una
linea retta che intersechi entrambi i lati dell’angolo. (Legendre)
4. Ogni retta passante per un punto interno ad un angolo interseca almeno un lato dell’angolo.
5. “Se potessi dimostrare che esiste un triangolo rettilineo avente l’area maggiore di qualsiasi
valore dato. Sarei in grado di dimostrare in modo perfettamente rigoroso l’intera geometria”
(Gauss 38 in una lettera a W.Belyai, 1799)
6. Non esiste alcun triangolo in cui ogni angolo sia piccolo a piacere. (Worpitzky)
7. Se in un quadrilatero tre angoli sono retti, anche il quarto è retto. (Clairaut 39 , 1741)
8. Se due rette sono parallele, allora esse sono simmetriche rispetto al punto medio di ogni loro
trasversale. (Veronese 40 , 1904)
9. Due rette parallele intercettano, su ogni trasversale passante per il punto medio di un segmento
compreso fra esse, un altro segmento il cui punto medio coincide con il punto medio dell’altro.
(Ingrami, 1904)
10. Gli angoli interni da una stessa parte formati da due rette parallele con una trasversale sono
supplementari.
11. Una retta che interseca un’altra retta interseca tutte le parallele ad essa.
12. Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro (prop. Transitiva del parallelismo).
13. Due parallele hanno distanza costante.
14. Per tre punti non allineati di un piano passa una ed una sola circonferenza.
15. La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.
33 Tratti da “Euclid’s Elements, translated with introduction and commentary”, T.L.Heath, Dover 1956, vol 1, pag. 220
34 Adrien Marie Legendre, (1752 – 1833), matematico francese.
35 John Wallis (1616 – 1703), matematico, grammatico ed ecclesiastico inglese.
36 Lazare Nicolas Carnot (1753 – 1823), generale, matematico francese, padre del fisico Sadi Carnot.
37 Pierre Simon Laplace (1749 – 1827), matematico ed astronomo francese.
38 Karl Federich Gauss (1777 – 1855), matematico tedesco, considerato il “re” dei matematici.
39 Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765), precoce matematico francese.
40 Giuseppe Veronese (1854 – 1917), docente di geometria all’Università di Padova.
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Costruzione di una parallela ad una retta data.
prop. XXXI Costruzione di una parallela ad una retta data passante per un punto.
Siano A il punto e BC la retta assegnati.
È richiesta la costruzione della retta EF, parallela
a BC, passante per A.
APPENDICE II
Consideriamo un qualsiasi punto D della retta BC e
congiungiamolo ad A.
Costruiamo l’angolo DAE uguale all’angolo ADC
sul segmento DA.
Costruiamo poi la semiretta AF congiunta ad AE in
A ed allineata con AE.
B D C
Dato che il segmento AD produce sulle rette BC ed ED angoli alterni interni EAD e
ADC uguali, segue che EF è parallelo a BC per la prop. XVII. ▀
Questa originale costruzione di Euclide è frequentemente usata nel resto del I° libro a cominciare
dalla proposizione seguente:
prop. XXXII La somma degli angoli interni ad un triangolo è un angolo piatto.
Dimostrazione:
A
B
'
'
Mandata la semiretta CD parallelamente al segmento AB, col procedimento usato
nella prop. XXXI, si viene a costruire un angolo piatto, composto dagli angoli , 'e
'. A causa del parallelismo di CD con AB, succede che
' (perché AB || CD), ' (perché alterni interni)
Allora, dato che ''= 180° si trae la conclusione. ▀
La prop. XXXI è sovente usata anche nei libri II, IV, VI, XI, XII, e XIII. Curiosamente questa
stessa costruzione funziona anche in geometria iperbolica, sebbene differenti parallele per A siano
costruite per differenti punti D.
C
E A F
D
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Note sulla vita e le opere di G.Saccheri.
APPENDICE III
Nell’anno della sua morte, il 1733, egli diede alle stampe il suo famoso libro “Euclides ab omni
nævo vindicatus” in cui si sforzava di dimostrare il postulato delle parallele con un ragionamento
molto sofisticato. Venuto a conoscenza degli sforzi del matematico arabo Nasir Eddin per
dimostrare il postulato quasi cinquecento anni prima, decise di applicare a tale problema la reductio
ad absurdum. Egli partiva da un quadrilatero isoscele birettangolare, oggi noto col nome di
“quadrilatero di Saccheri”, avente i lati AD e BC uguali tra loro, ed entrambi perpendicolari alla
base AB.
D N
C
= =
90° 90°
A M B
Figura 19 – quadrilatero di Saccheri
Senza usare il V° postulato dimostrava dapprima che l’asse MN della base inferiore risulta anche
asse della base superiore, poi che gli angoli superiori Ĉ e Ď erano uguali e che per essi si potevano
avanzare tre ipotesi, da lui espresse come:
[a] angolo acuto,
[r] angolo retto,
[o] angolo ottuso.
Mostrando che le ipotesi [a] e [o] conducono ad un assurdo, egli riteneva con un ragionamento
indiretto di avere dimostrato l’ipotesi [r] come conseguenza necessaria degli altri postulati di
Euclide, diversi dal V°. Sappiamo oggi che egli aveva involontariamente costruito una geometria
non-euclidea perfettamente coerente. Ma siccome egli era intimamente convinto che l’unica valida
geometria fosse quella euclidea, non si accorse della scoperta, anzi, con un ragionamento contorto,
giunse ottusamente a credere che anche l’ipotesi [r] conducesse ad un assurdo. Pertanto si lasciò
sfuggire il diritto di reclamare a sé il vanto di quella che sarebbe stata senza dubbio la scoperta più
notevole del XVIII° secolo: la geometria non-euclidea, vanto che fu poi di Riemann, Bolyai e
Lobačevskij circa un secolo dopo.
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H. Meschkowski “Mutamenti del pensiero matematico” Boringhieri
A.Frajese , L.Maccioni “Gli Elementi di Euclide” UTET
BIBLIOGRAFIA
G.Saccheri “Evclides ab omni nævo vindicatus” Frammenti in internet
Proclo “Commento al I° libro degli Elementi di
Euclide”
Pisa 1978
I. Tòth “La geometria non euclidea prima di articolo da“Le Scienze”
Euclide”
Gennaio 1970
Aristotele “De cælo” SEI
M.Kline “Mathematical thought from ancient to
modern times”
OUP
T.L.Heath “The thirteen books of Euclid's Elements
translated from the text of Heiberg with
Dover Publ. 1956
introduction and commentary”
Sito internet
http://www.perseus.tufts.edu
C.B.Boyer “Storia della matematica” Oscar Studio Mondatori
I.Ghersi “Matematica dilettevole e curiosa” Hoepli
J.D.Wilson, A.J.Buffa “Fisica – percorsi e metodo” – voll 2,3 Principato
C.Mirra “Geometria – con esercizi e problemi per
le Scuole Medie Superiori”
Trevisini Editore Milano
Dichiarazione di saccheggio
Poco, assai poco possiamo aggiungere ad un deliberato saccheggio con copiature profonde dei
lavori insigni dei maestri di scienza. Offro queste mie pagine ai miei allievi perché dalla mia umile
parola possano risalire ai maestri citati, un po’ come “…salire sulle spalle di giganti…”
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